Ricevimento Studenti: Martedì, 14-16, oppure per appuntamento.
Orario Lezioni: Martedì 11-13 (Aula 11), Venerdì 11-13 (Aula 11)
Codocente: Prof Fabio Gavarini
Appelli sessione estiva anticipata: 22 gennaio 2018 (Aula 29A), h10:00; 8 febbraio 2018 (Aula 29A), h10:00
Appello straordinario: 19 febbraio 2018, h. 14:00.
Appelli sessione estiva: 12 giugno 2018, h. 9:00 (Aula 29A); 2 luglio 2018, h.9:00 (Aula 29A).
Appelli sessione autunnale: 27 agosto 2018, h. 9:00 (Aula 29A); 28 settembre, h. 15:00 (Aula 29A).
Per poter sostenere l'esame è necessario prenotarsi su Delphi.
Programma di massima: teoria delle categorie; teoria dei moduli; algebre su un anello commutativo; (un assaggio di) teoria delle rappresentazioni. Piu' precisamente, i temi che si intendono coprire durante il corso sono:
Teoria delle categorie: prime definizioni ed esempi (categoria, diagrammi commutativi, gruppoidi, categoria opposta, sottocategorie); funtori, funtori covarianti e controvarianti; trasformazioni naturali, equivalenze, funtori rappresentabili; oggetti terminali e iniziali,proprietà universali, prodotti, coni, limiti e colimiti; monomorfismi ed epimorfismi, monomorfismi ed epimorfismi che spezzano, monomorfismi ed epimorfismi regolari, sotto-oggetti, funtori che preservano limiti; oggetto iniziale come limite, proiettivi e iniettivi; definizioni ed esempi di funtori aggiunti; alcune conseguenze/proprietà dell'aggiunzione, unità e counità, equivalenze aggiunte, aggiunzione e limiti
Teoria dei moduli: prime definizioni ed esempi (moduli, omomorfismi, sottomoduli, quozienti), somme dirette e prodotti diretti, duali, moduli liberi, prodotto tensoriale (proprietà universale, costruzione); estensione/restrizione scalari; successioni esatte, funtori esatti, esatti a destra, esatti a sinistra; aggiunzione ed esattezza.
Algebre su un anello commutativo: Prime definizioni ed esempi (algebre, algebre associative, prodotti tensoriali, algebre di Lie, prodotti), l'algebra universale inviluppante di un'algebra di Lie, definizione con proprietà universale, algebra simmetrica di uno spazio vettoriale e costruzione esplicita dell'algebra universale inviluppante; aggiunzione (sinistra) al funtore che manda ogni algebra associativa unitaria nella corrispondente algebra di Lie, anello di Lie, endomorfismi di uno spazio vettoriale
Teoria delle rappresentazioni: prime definizioni ed esempi di rappresentazioni di algebre associative e di algebre di Lie; sotto-rappresentazioni, rappresentazioni semplici e indecomponibili; rappresentazioni di un'algebra di Lie e dell'algebra universale inviluppante (equivalenza di categorie); sl2
Testi di riferimento:
Michael Atiyah, I. G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra"
Julia Goedecke, Category Theory Notes
James Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory"
Serge Lang, "Algebra"
Saunders Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician"
Appunti del corso (note che scrivo per me, corredate di esercizi)
Diario delle Lezioni:
3 ottobre 2017: definizione ed esempi di categorie, isomorfismi, gruppoidi, sottocategorie, categorie opposte, diagrammi commutativi;
6 ottobre 2017: categorie prodotto, categorie quoziente, categoria delle frecce, categoria (co)fetta, categoria delle relazioni, funtori, categoria delle categorie, funtore dimenticante ed altri esempi;
10 ottobre 2017: funtori pieni e fedeli, funtori controvarianti, altri esempi; trasformazioni naturali, definizione ed esempi, categoria dei funtori;
13 ottobre 2017: isomorfismi naturali, equivalenze, esempi; funtori essenzialmente suriettivi sugli oggetti, un funtore è parte di un'equivalenza se e solo se è fedele, pieno, essenzialmente suriettivo sugli oggetti (assunto l'assioma della scelta per il solo se);
17 ottobre 2017: (lezione tenuta dal Prof. Gavarini) richiami sul funtore Hom, immersione di Yoneda, caratterizzazione di ogni trasformazione naturale, enunciato Lemma di Yoneda;
20 ottobre 2017: (lezione tenuta dal Prof. Gavarini) dimostrazione del Lemma di Yoneda; il funtore di Yoneda è pieno e fedele; funtori rappresentabili e rappresentazioni di funtori, esempi vari di rappresentazioni di funtori;
24 ottobre 2017: oggetti finali ed iniziali, prodotto e coprodotto di due oggetti, coni e coconi, limiti e colimiti, esempi (oggetti finali, prodotti ed equalizzatori come limiti)
27 ottobre 2017: oggetti iniziali come limiti, (co)prodotti fibrati; monomorfismi, epimorfismi, monomorfismi/epimorfismi regolari, monomorfismi/epimorfismi che spezzano, epi+mono regolare implica iso;
31 ottobre 2017: oggetti proiettivi ed iniettivi, i funtori rappresentabili sono proiettivi nella categoria dei funtori; definizione e primi esempi di aggiunzioni, composizione di aggiunzioni;
3 novembre 2017: unita e counità, aggiunzione tramite unità e counità;
7 novembre 2017: equivalenze aggiunte, ogni equivalenza puo' essere resa un'equivalenza aggiunta; aggiunzione tramite oggetti iniziali;
10 novembre 2017: unicita dell'aggiunto sinistro a meno di isomorfismo unico; aggiunzione e limiti: un funtore che ammette aggiunto sinistro preserva i limiti, un funtore da una categoria che ammette tutti i limiti ha un aggiunto sinistro se e solo se preserva i limiti (idea della dimostrazione); esempi di aggiunti del funtore dimenticante (tra cui funtore gruppo libero);
14 novembre 2017: definizione e primi esempi di moduli su anello commutativo unitario; omomorfismi di moduli; la categoria dei moduli su un anello commutativo unitario; sottomoduli; moduli quoziente; teoremi di isomorfismo;
17 novembre 2017: (in)dipendenza A-lineare, generatori di un modulo, base, moduli liberi, proprieta universale delle basi, moduli finitamente generati, un modulo e finitamente generato se e solo se è quoziente di un opportuno modulo libero; duali e doppi duali;
21 novembre 2017: duale di un modulo libero finitamente generato; equivalenza di categorie tra A-moduli liberi finitamente generati e la sua opposta; prodotto tensoriale di due (e più) moduli; proprietà varie prodotto tensoriale; restrizione di scalari;
24 novembre 2017: estensione di scalari, aggiunzione estenzione e restrizione scalari; aggiunzione tensore/Hom:successioni esatte di moduli, successioni esatte corte (di moduli); Amod(P, .) e Amod(., P) sono esatti a sinistra;
28 novembre 2017: aggiunzione ed esattezza; moduli piatti; algebre su anelli commutativi unitari, prime definizioni ed esempi;
1 dicembre 2017: prodotto tensoriale di algebre, coprodotto nella categorie di algebre commutative unitarie associative; algebra tensoriale
5 dicembre 2017: proprietà universale dell'algebra tensoriale di un modulo; algebra simmetrica e sua proprietà universale, isomorfismo con algebra di polinomi nel caso libero e finitamente generato; aggiunzioni (T,U) e (S,U); unicità ed esistenza algebra inviluppante universale di un'algebra di Lie.
12 dicembre 2017: algebra filtrata e algebra graduata associata; enunciato Teorema di PBW (Poincaré-Birkhoff-Witt); inizio dimostrazione teorema di PBW;
15 dicembre 2017: dimostrazione teorema di PBW (vedere note per ERRATA della dimostrazione dell'ultimo lemma visto in aula);
19 dicembre 2017: conclusione dimostrazione del teorema di PBW; (lezione tenuta dal Prof. Gavarini) moduli e rappresentazioni di monoidi, algebre associative unitarie e algebre di Lie (definizioni); moduli su anelli unitari e moduli su ZZ-algebre unitarie; equivalenza di categorie tra rappresentazioni di un'algebra di Lie e della sua algebra inviluppante universale;
22 dicembre 2017: (lezione tenuta dal Prof. Gavarini) algebra monoide su un anello commutativo unitario, equivalenza tra la categoria delle sue rappresentazioni e quelle del corrispondente monoide; sottomoduli e quozienti; prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e finali; decomposizione e riduzione; completa riducibilità delle rappresentazioni per gruppi finiti in caratteristica che non divida l'ordine del gruppo;
9 gennaio 2018: (lezione tenuta dal Prof. Gavarini) esempi vari (linearizzazione di G-azioni, algebra di Lie speciale lineare, restrizione di rappresentazioni, algebra dei polinomi non -commutativi ed algebra di Weyl); Lemma di Schur; rappresentazioni irriducibili nel caso commutativo;
12 gennaio 2018: classificazione rappresentazioni finito-dimensionali irriducibili di sl2.