Tutti gli studenti sono pregati di registrarsi sul canale Teams del corso
Codocente del corso: Prof.ssa Ilaria Damiani
Orario Lezioni: Lunedì 14-16 (Aula 11), Martedì 11-13 (Aula 11), Mercoledì 11-13 (Aula 11), Venerdì 9-11 (Aula 11)
Ricevimento Studenti: Lunedì 16-17, Martedì 14-15 o per appuntamento.
Gli studenti che intendono venire in presenza al ricevimento del martedì sono pregati di avvisarmi entro la domenica precedente.
Programma di massima: Studieremo varie strutture algebriche, quali insiemi, gruppi e anelli. Ci occuperemo di come tali strutture possono essere combinate per dar luogo a strutture dello stesso tipo, di come interagiscono (morfismi) e di alcune delle loro proprietà basilari.
Esonero: 22/11/2021 h. 10, Aula 11. Voti
Testi di riferimento:
[C] G.Campanella, "Dispense di Algebra"
[H] I.N. Herstein, “Algebra”, Editori Riuniti; (nostra prima referenza)
[A] M. Artin, “Algebra”, Bollati Boringhieri.
Ulteriore materiale:
Dispense del Prof. Giulio Campanella: parte 1, parte 2
Trovate inoltre moltissimi esercizi sulla pagina del corso di Alg1 2020/21 del Prof. Gavarini, raggiungibile tramite questo link. Attenzione: il corso di quest'anno divergerà (soprattutto nella parte finale) da quello dello scorso anno. NON è pertanto sufficiente guardare le registrazioni delle lezioni del Prof. Gavarini per superare l'esame.
Diario delle lezioni: (in blu indicati i paragrafi di [H] dove potete trovare il materiale discusso)
4 ottobre: Elementi di Teoria degli insiemi: insieme come concetto primitivo, appartenenza di un elemento a un insieme, insieme vuoto, sottoinsiemi, sottoinsiemi propri, insieme delle parti, unione e intersezione, proprietà distributiva; differenza di due insiemi, complemento, enunciato delle leggi di De Morgan, prodotto Cartesiano di due insiemi; famiglia di insiemi, unione/intersezione di una famiglia di insiemi; insiemi disgiunti (a due a due) [H,1.1];
5 ottobre: Corrispondenze (o relazioni) tra insiemi; applicazioni (o funzioni), esempi (funzione identità, proiezione dal prodotto Cartesiano a ciascun fattore, inclusione di un sottoinsieme, ...); dominio, codominio, immagine, immagine e controimmagine di sottoinsiemi (di dominio e codominio rispettivamente); iniettività, suriettivià, biiettività; composizione di funzioni (associatività, composizione di due funzioni iniettive/suriettive ha stessa proprietà); funzioni invertibili (una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva); insieme delle permutazioni di un insieme e sue proprietà [H,1.2];
6 ottobre: Relazioni su un insieme, relazioni riflessive, simmetriche, antisimmetriche, transitive, totali; relazioni di equivalenza (esempi e non-esempi vari, tra cui: relazioni banale o vuota, relazione caotica, elazione identità o uguaglianza, relazione "stessa parità" su Z, relazione di parallelismo tra rette nel piano reale) partizioni di un insieme; corrispondenza tra relazioni di equivalenza su un insieme e partizione dell'insieme in questione; insieme quoziente, applicazione quoziente canonica, funzione compatibile con una relazione di equivalenza; [H,1.1] o [C, Cap I.3]
11 ottobre: relazione canonica associata ad una funzione; insieme dei rappresentanti (definizione, esempi); Teorema: data una funzione f compatibile con una relazione di equivalenza, essa induce (in modo unico) una funzione dall'insieme quoziente al codominio di f (tale funzione è iniettiva se la relazione è la relazione d'equivalenza canonicamente associata ad f), esempio degli interi con relazione ``stessa parità"; numeri naturali e assiomi di Peano (definizione di terna di Peano); definizione di ordine totale; definizione di addizione e sua commutativit\`a; [C, Cap I.3 e I.5.(A)]
12 ottobre: richiami della definizione terna di Peano e di addizione; proprietà associativa dell'addizione (solo enunciato), definizione di moltiplicazione e dimostrazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione; relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di equipotenza è una relazione di equivalenza sulla famiglia degli insiemi, definizione di cardinalità; definizione di insieme finito, numero cardinale, insieme infinito, insieme numerabile; l'insieme delle parti è equipotente all'insieme delle funzioni caratteristiche, formula esplicita per la cardinalità dell'insieme delle parti nel caso finito; [C,.Cap I.5.(A) e I.6]