Programa
1. Revisão de algumas ideias e técnicas de Geometria Analítica no espaço Euclidiano. Curvas, limites e continuidade em IRn (ênfase nos casos n=2 ou 3); comprimento de curva; vector tangente, velocidade e aceleração; coordenadas polares. Gráficos de funções de duas variáveis; conjuntos abertos, pontos interiores, pontos aderentes; conjuntos fechados; limite de sucessões em IRn; funções de IRn em IRm (ênfase nos casos m ou n=1, 2 ou 3); conjuntos limitados e funções limitadas; limites, continuidade, reconhecimento das funções contínuas.
2. Bases do Cálculo Diferencial em IRn: derivadas parciais e direcionais, teorema de Schwarz sobre as derivadas mistas; diferenciabilidade; plano tangente e aproximação linear; matriz jacobiana; derivação em cadeia; significado do gradiente; superfícies de nível; funções dadas implicitamente e cálculo das suas derivadas; fórmula de Taylor; problemas de extremo e de extremo condicionado; teorema de Weierstrass.
3.. Bases do Cálculo Integral em IRn: integral de Riemann de funções contínuas; propriedades básicas; teoremas de Fubini e de mudança de varíavel; cálculo de integrais duplos e triplos; utilização de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; aplicações ao cálculo de grandezas de natureza geométrica ou física como volumes, massa, centro de massa; densidade.
4. Introdução à Análise Vectorial: campos vectoriais; divergência e rotacional; integral de caminho; campos vectoriais conservativos e teorema de Poincaré; teorema de Green; superfícies elementares parametrizadas; integral de superfície; teoremas da divergência e de Stokes.
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Bibliografia
Há bibliografia abundante em inglês sobre a matéria do curso. Existe também alguma bibliografia em português. Listamos alguns livros de texto recentes ou com edições recentes:
C. Canuto, A. Tabacco, Mathematical Analysis II, Springer 2010.
Sallas, Hille, Etgen, Calculus, one and several variables, John Wiley and Sons 2007.
R. Larson, R.P. Hostetler e B.H. Edwards, Cálculo, Vol. II, 8a.ed., McGraw Hill, S. Paulo, 2006.
J. Marsden e A. Weinstein, Calculus, Vol. III, 3rd. Edition, Springer–Verlag, 1991.
J. Stewart, Cálculo, Vol. II (5a. ed.) Thomson, S. Paulo, 2006.
L. Sanchez, Análise em Rn, Vol. I: Métodos do Cálculo Diferencial, A.E.F.C.L., 1997; Vol. II: Integração e Análise Vectorial, A.E.F.C.L., 1994.
C. Sarrico, Cálculo Diferencial e Integral, Esfera do Caos, 2009.
Indicamos também dois clássicos:
T. M. Apostol, Cálculo, Vol. 2, Editorial Reverté, 1999.
R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Introduction to Calculus and Analysis, Vol. II/2 (Springer, Classics in Mathematics, 1989)
Finalmente, observamos que há materiais na internet, com permissão de acesso, que cobrem com qualidade e clareza de exposição a matéria do curso. Por exemplo:
Multivariable Calculus, Lecture Notes, por Wong Yan Loi, Department of Mathematics, National University of Singapore, Singapore 119076.
Calculus – texto escrito inicialmente por David Guichard. Disponibilizado através de autorização: Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. Para consultar a autorização, ver http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
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Os materiais em anexo (destinados às aulas de problemas) foram elaborados com a colaboração dos colegas: Jorge Buescu, Teresa Faria, Áurea Quintino e Jean-Claude Zambrini.