PROGRAMA

Capítulo 1: Teoremas que envolvem funções contínuas: Teoremas de extensão (Urysohn, Tietze). Teorema de aproximação de Stone-Weierstrass. Teorema de compacidade (Ascoli-Arzelà). Categorias de Baire e aplicações. Semicontinuidade.

Capítulo 2: Convexidade, teorema de Hahn-Banach e aplicações: Hiperplanos. Conjuntos convexos e seminormas. Teorema de Hahn-Banach. Separação de convexos por hiperplanos.

Capítulo 3: Generalidades sobre espaços normados: Desigualdade de Young. Espaços de sucessões e de funções contínuas; L^p e l^p. Espaços normados de dimensão finita. Produto, soma directa e quociente.

Capítulo 4: Operadores lineares contínuos. L(X) como álgebra de Banach. Teorema da limitação uniforme. Torema de Banach-Steinhaus. Teorema da aplicação aberta. Teorema do gráfico fechado. Exemplos de funcionais e operadores. Representação analítica de funcionais nos espaços L^p e nos espaços de funções contínuas.

Capítulo 5: Espaço de Hilbert e teoria espectral elementar (operadores autoadjuntos compactos)

Capítulo 6: Topologias fracas e dualidade. Espaços reflexivos. Teorema da imagem fechada.

Capítulo 7: Regularização e compacidade nos espaços L^p.

Capítulo 8: Introdução à Análise espectral e à teoria de operadores não limitados.

BIBLIOGRAFIA

Há muitos livros de texto de alta qualidade sobre Análise Funcional, cobrindo a matéria do curso e contendo capítulos mais avançados. Para não alongar a lista, mencionamos:

- entre os clássicos:

K. Yosida, Functional Analysis, 6th edition, Springer 1980

Kolmogorov e Fomin, Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover 1961

Kantorovitch e Akylov, Functional Analysis, Pergamon 1982

H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, théorie ey applications, Masson 1983

- entre as publicações recentes, dois livros muito interessantes:

W. Cheney, Analysis for Applied Mathematics, Springer 2001

M. Willem, Principes d’Analyse Fonctionnelle, Cassini 2007

Também há textos de alta qualidade que são notas de curso e estão disponíveis online. Destaco os excelentes cursos de Buhler e Salamon (ETH Zurich, 2016) e Alan Sokal (UCL 2013).