PROGRAMA
Capítulo 1: Teoremas que envolvem funções contínuas: Teoremas de extensão (Urysohn, Tietze). Teorema de aproximação de Stone-Weierstrass. Teorema de compacidade (Ascoli-Arzelà). Categorias de Baire e aplicações. Semicontinuidade.
Capítulo 2: Convexidade, teorema de Hahn-Banach e aplicações: Hiperplanos. Conjuntos convexos e seminormas. Teorema de Hahn-Banach. Separação de convexos por hiperplanos.
Capítulo 3: Generalidades sobre espaços normados: Desigualdade de Young. Espaços de sucessões e de funções contínuas; Lp e lp. Espaços normados de dimensão finita. Produto, soma directa e quociente.
Capítulo 4: Operadores lineares contínuos. L(X) como álgebra de Banach. Teorema da limitação uniforme. Torema de Banach-Steinhaus. Teorema da aplicação aberta. Teorema do gráfico fechado. Exemplos de funcionais e operadores. Representação analítica de funcionais nos espaços Lp e nos espaços de funções contínuas.
Capítulo 5: Espaço de Hilbert e teoria espectral elementar (operadores autoadjuntos compactos)
Capítulo 6: Topologias fracas e dualidade. Espaços reflexivos. Teorema da imagem fechada.
Capítulo 7: Regularização e compacidade nos espaços Lp.
Capítulo 8: Introdução à Análise espectral e à teoria de operadores não limitados.
BIBLIOGRAFIA
Há muitos livros de texto de alta qualidade sobre Análise Funcional, cobrindo a matéria do curso e contendo capítulos mais avançados. Para não alongar a lista, mencionamos:
- entre os clássicos:
K. Yosida, Functional Analysis, 6th edition, Springer 1980
- entre as publicações recentes, dois livros muito interessantes:
W. Cheney, Analysis for Applied Mathematics, Springer 2001
M. Willem, Principes d’Analyse Fonctionnelle, Cassini 2007
Também há textos de alta qualidade que são notas de curso e estão disponíveis online. Destaco os excelentes cursos de Buhler e Salamon (ETH Zurich, 2016) e Alan Sokal (UCL 2013).