Análise Matemática II

Disciplina de introdução à Análise Real do 1º ano das licenciaturas em Matemática e Matemática Aplicada.

Leccionada na FCUL em 2013/14 e 2014/15.

PROGRAMA

1 - Complementos sobre a fórmula de Taylor.

Estudo de técnicas que permitem obter desenvolvimentos de Taylor sem usar derivações sucessivas. Aplicações da fórmula de Taylor ao cálculo de limites. Funções assintoticamente iguais nas vizinhanças de um ponto.

2 - Séries numéricas.

Série numérica. Séries geométrica e de Mengoli. Regras elementares de cálculo com séries. Resto de uma série. Critérios de comparação para séries de termo geral não negativo. Série absolutamente convergente. Critérios de Cauchy e de D’Alembert. Critério de Leibniz.

3 - Técnicas de primitivação.

Primitiva e função primitivável. Referência às funções elementares da Análise e à existência de primitivas não elementares. Regras de primitivação por partes e por substituição. Primitivação de funções racionais. Estudo de alguns métodos sistemáticos de primitivação por substituição.

4- O integral de Riemann.

Definição do integral de Riemann a partir do conceito de somas de Riemann. Propriedades elementares do integral de Riemann. Teorema sobre a integrabilidade das funções contínuas. Referência a integral de funções com descontinuidade de salto. Fórmulas de integração por partes e por mudança de variável. Valor médio e média ponderada de uma função. Primeiro teorema da média do cálculo integral. O "integral indefinido" e o teorema fundamental do Cálculo.

5- Integrais impróprios.

Integrais impróprios de primeira espécie e sua analogia com as séries. Integrais impróprios de segunda espécie. Critérios de comparação para integrais impróprios.

6 - Sucessões e séries de funções.

Convergência pontual e uniforme de uma sucessão de funções. Teoremas sobre continuidade, integrabilidade e diferenciabilidade da função limite. Séries de funções. Critério de convergência uniforme de Weierstrass. Séries de potências. Propriedades das funções definidas por séries de potências. Integração e derivação termo a termo. Funções analíticas. Desenvolvimento em série de potências das funções usuais.

7 – Integral paramétrico.

Noção de continuidade para funções de duas variáveis. Derivada parcial. Continuidade e diferenciabilidade do integral paramétrico: casos de integração num intervalo compacto e caso de integrais impróprios. Exemplos e estudo de algumas funções importantes na Análise.

BIBLIOGRAFIA

OS CLÁSSICOS:

Apostol, T. M. - Calculus, Vol. 1. Wiley, 1967.

Courant, R. e F. John - Introduction to Calculus and Analysis. Vol. 1. Wiley, 1965.

Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, 1987.

LIVROS DE TEXTO RECENTES:

Claudio Canuto, Anita Tabacco, Mathematical Analysis I (Universitext) Paperback – Springer 2008

Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal. Departamento de Matemática da FCUL, 1996.

A. Machado - Análise Matemática I, Textos de Matemática, FCUL, 2014.

C. Sarrico - Análise Matemática: Leituras e exercícios. Gradiva 1997.

OUTROS MATERIAIS:

Há muito material disponível na internet. Entre os textos de qualidade destaco

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE, apontamentos de curso por Francisco Javier Pérez González, Universidade de Granada.