Processi Stocastici 23-24

Gli studenti registrati per la prova straordinaria di Novembre dovrebbero inviarmi una email al più presto per avere maggiori informazioni su data , orario e aula.

Data prova: 22 Novembre 2024.

Aula e Orario Lezioni:
Martedì: 08:25 - 10:00, Aula G, Guido Castelnuovo
Venerdì: 08:25 - 10:00, Aula G, Guido Castelnuovo

Valutazione corso:
https://www.uniroma1.it/sites/default/files/field_file_allegati/vademecum_per_studenti_opis_2023_24_1.pdf
CODICE OPIS: A8BFXFYJ
E' possibile consultare il programma del corso e la descrizione delle prove d'esame nel file condiviso.

Nota: non c'è lezione il 26 Aprile, il 24 Maggio, il 28 Maggio. 

Testi  di riferimento:
1. Markov Chains, J.R. Norris, University of Cambridge

2. Markov Chains and Mixing Times, D. A. Levin and Y. Peres, American Mathematical Society
3. Probability on Trees and Networks, Lyons and Peres, Cambridge Series

L'ultima lezione verrà trasmessa esclusivamente online:  https://meet.google.com/kgy-sszz-rfa e avrà inizio alle ore 8:25.

Appunti Condivisi

Punteggi Esercizi

Lezione 1: Venerdì 1/3/2024
Definizione di Catena di Markov, panoramica sul corso e argomenti highlights / motivazioni: marce aleatorie su Zd, marce aleatorie su grafi, tempi di Mixing, sistemi di particelle.
Video mostrati a lezione:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2D_Random_Walk_400x400.ogv
https://www.ime.usp.br/~leorolla/simulations/


Lezione 2: Martedì 5/3/2024
Teorema  1.1.1 dimostrazione, Proprietà di Markov e dimostrazione, esempio.
Esercizi assegnati:  1.1.2, 1.1.3 Norris.


Lezione 3: Venerdì 8/3/2024
Teorema 1.1.3 sulla distribuzione dopo k passi,  struttura di classi, Teorema 1.2.1 su "portare a",  tempi di arrivo, Teorema  1.3.2 sui tempi di arrivo.
Esercizi assegnati: 1.2.1, 1.2.2 Norris.

Lezione 4: Martedì 12/3/2024
Esempio su probabilità di arrivo, rovina del giocatore, teorema sui tempi di arrivo, tempi di arresto,  enunciato della proprietà di Markov forte, esempio sulla proprietà di Markov forte.
Esercizi assegnati: 1,2,3 eserciziario, completare esercizio assegnato nella parte finale della lezione. 

Lezione 5: Venerdì 15/3/2024
Sigma algebra di arresto, proprietà di Markov forte, coupon collector problem (caratterizzazione del tempo medio e stima della deviazione dalla media).
Esercizio assegnato: dimostrare che i tempi di arrivo nel "coupon collector problem" sono quasi certamente finiti.

Lezione 6: Martedì 19/3/2024
Problema dell'uscita dall'insieme. Stati ricorrenti e transienti, lemma sulla distribuzione dei tempi di escursione.
Esercizi assegnati: 4,5,6 eserciziario .

Lezione 7: Venerdì 22/3/2024
Teorema sulla dicotomia e lemma ausiliario, la ricorrenza è una proprietà di classe, ogni classe aperta è transiente, ogni classe chiusa e finita è ricorrente.

Lezione 8: Martedì 26/3/2024
Se la classe è ricorrente ogni stato viene visitato con probabilità 1. Prima parte del teorema di Polya e stima della probabilità che la marcia aleatoria si trovi all'origine (slides della lezione non reperibili al momento).
Esercizi assegnati: 7,8,9 eserciziario.

Lezione 9: Venerdì 5/4/2024
Seconda parte teorema di Polya. Definizione di distribuzione e misure invarianti. Lemma ausiliare su misure invarianti non nulle. Definizione di misura gamma. 
Esercizi assegnati: Norris 1.6.1, 1.6.2. 

Lezione 10: Martedì 9/4/2024
Discussione esercizio 4 eserciziario. Teorema sull'invarianza della misura gamma per catene ricorrenti, teorema sulla relazione tra misura gamma e una misura invariante per catene ricorrenti.

Lezione 11: Venerdì 12/4/2024
Stati positivamente ricorrenti e ricorrenti nulli, equivalenza tra stati positivamente ricorrenti e esistenza di distribuzioni invarianti, correzione dell'esercizio 7.
Esercizi assegnati: esercizio 10, 11, 12 eserciziario e due esercizi assegnati in classe.

Lezione 12: Martedì 16/4/2024
Teorema di convergenza, inversione temporale, teorema sulla distribuzione della catena invertita. 
Esercizi assegnati: dimostrazione claim teorema convergenza, dimostrazione proprietà della matrice stocastica P cappello.

Lezione 13: Venerdì 19/4/2024
Reversibilità e bilancio dettagliato. Discussione di diversi esempi. Introduzione teorema ergodico.
Esercizi assegnati: 13, 14, 15 eserciziario.

Lezione 14: Martedì 23/4/2024
Dimostrazione teorema ergodico. Google Page Algorithm.  

Lezione 15: Martedì 30/4/2024
4 caratterizazioni della distanza di variazione totale, distanza dalla stazionarietà e relazione tra d(t) e d tilde t.
Diversi esercizi assegnati sul completamento di dimostrazioni.

Lezione 16: Venerdì 2/5/2024
Correzione esercizio 9. Submoltiplicatività di d tilde. Coupling di catene di Markov, coupling Markoviani di catene di Markov.
Esercizi assegnati: primi 4 della seconda parte eserciziario.

Lezione 17: Martedì 7/5/2024
Esempio di coupling di catene di Markov non markoviano. Teorema sulla stima dall'alto della distanza dalla stazionarietà. Tempo di Mixing per marcia aleatoria su ipercubo. 

Lezione 18: Venerdì 10/5/2024
Tempo di Mixing per  "striscia vincente" e marcia aleatoria semplice simmetrica pigra sull'ipercubo. Definizione di colorazioni proprie uniformi.
Esercizi assegnati: primi 5 e 6 della seconda parte eserciziario.

Lezione 19: Martedì 14/5/2024
Catene di Markov di metropolis, tempo di Mixing per la catena di Metropolis per colorazioni proprie nel regime di disordine.

Lezione 20: Venerdì 17/5/2024

Commenti su dimostrazione colorazioni proprie. Marce aleatorie sulle reti, caratterizzazione dell'estensione armonica.
Esercizi: equivalenza tra catena di Markov reversibile e marcia aleatoria sulla rete, caratterizzazione misura invariante. 

Lezione 21: Martedì 21/5/2024
Rete, potenziale, flusso, flusso da A a Z, flusso di corrente. Proprietà del flusso di corrente.
Esercizi assegnati: dimostrazione lemma assegnato, 1, 2, e 3 parte III dell'eserciziario

Lezione 22: Venerdì 31/5/2024

Resistenza effettiva, conduttanza effettiva, interpretazioni probabilistiche: resitenza effettiva, potenziale, funzione di Green, flusso di corrente.
Esercizi assegnati: 4, 5 parte III eserciziario.

Lezione 23: Martedì 4/6/2024
Series law, parallel law,  esempio generico e albero.
Esercizi asssegnati: 5,6,7 parte III eserciziario.

Lezione 24: Venerdì 7/6/2024
Catene di Markov a tempo continuo.

L'ultima lezione verrà trasmessa esclusivamente online:  https://meet.google.com/kgy-sszz-rfa