Probabilità e Statistica in Alta Dimensione
A. A. 2025-2026

CODICE OPIS CORSO: EHH8MZBU
Vademecum per gli studenti

Prima lezione: 26 Settembre ore 08:30 Aula G

Lezioni di teoria:
Giovedì ore 14:15 - 16:00 Aula G, Guido Castelnuovo
Venerdì ore 08:30 -10:00 Aula G, Guido Castelnuovo

Esercitazioni con il Prof. Fachechi

Gli studenti interessati a frequentare il corso sono invitati a registrarsi su Google Classroom cliccando sul link (codice corso: z5xfdb2e) per ricevere le comunicazioni relative al corso.

Testi di riferimento:
High Dimensional Probability, Vershynin
High Dimensional Statistics, Wainwright
(i testi si possono trovare nella cartella condivisa)

Cartella condivisa: appunti, testi...

Lezione 1 ( 26/9/2025)
Introduzione al corso, richiami su disuguaglianze di concentrazione.

Lezione 2 (2/10/2025)
Concentrazione per variabile casuale Gaussiana, disuguaglianza di Hoeffding per variabili casuali Rademacher e Bernoulli, esercizio su lancio di monete, disuguaglianza di Hoeffding per variabili casuali limitate, potenziamento di algoritmi randomizzati. 

Lezione 3 (3/10/2025)
Sciopero

Lezione 3 ( 9/10/2025)
Variabili casuali subgaussiane, proposizione di equivalenza.

Lezione 4 (10/10/2025)
fine dimostrazione proposizione di equivalenza, Chernoff Bound, variabili casuali sigma-subgaussiane, norma subgaussiana, esercizi.

Esercizi assegnati: 1-6.

Lezione 5 (16/10/2025)
esercizi su norma sub-gaussiana, norma subgaussiana, finitezza e caso in cui la norma subgaussiana vale zero, lo spazio delle v.c. sub-gaussiane è normato, proprietà di equivalenza con norma sub-gaussiana

Lezione 6 (17/10/2025)
Somma di v.c. subgaussiane, disuguaglianza di Hoeffding, Centering. Spazi di Orlicz.  

Lezione 7 (23/10/2025)
l'esempio del quadrato della gaussiana e della norma euclidea di un vettore gaussiano, definizione variabili casuali sub-esponenziali, concentrazione per sub-esponenziali, esercizio

Esercizi assegnati: 7-12

Lezione 8 (24/10/2025)
stima di chernov per somma di sub-esponenziali, enunciato del teorema di Johnson-Lindenstrauss, esercizio su somma di sub-esponenziali.

Esercizi assegnati: 13, 14.

Lezione 9 (30/10/2025)
dimostrazione del teorema di Johnson-Lindenstrauss.  epsilon-net: motivazione.

Lezione 10 (31/10/2025)
epsilon-net, epsilon-separato, numero di ricoprimento, numero di impacchettamento, relazione tra epsilon-separato massimale e epsilon-net.

Esercizi assegnati: 15, 16.

Lezione 11 (6/11/2025)
Equivalenza tra covering e packing number. Covering e packing numbers per sottoinsiemi di Rn.

Lezione 12 (7/11/2025)
Stima della norma operatoriale di una matrice tramite epsilon net. Concentrazione per la norma operatoriale di una matrice simmetrica con entrate indipendenti.

Lezione 13 (13/11/2025)
Concentrazione per la norma operatoriale di una matrice simmetrica con entrate indipendenti subgaussiane sopra la diagonale. Teoria perturbativa di matrici. 

Lezione 14 (14/11/2025)
Studio della transizione di fase nel grafo di Erdos-Renyi e esercizi in classe. 

Esercitazione 1 (Lunedì 17/11/2025 - ore 13:00)
su Johnson-Lindenstrauss Lemma.

Tutti gli esercizi dall'1 al 20 sono stati assegnati.

Lezione 15 (Giovedì 20/11/2025 - ore 12:15
Grafi aleatori, simulazioni, Percolazione. 

Lezione 16 (Lunedì 24/11/2025 - ore 13:00)
Modello Stochastic Block. Analisi degli autovettori e autovalori della matrice D.

Esercizi assegnati: 20, 21.

Lezione 17 (Giovedì 27/11/2025 - ore 12:15)
Definizione algoritmo spectral clustering, stima del numero di vertici classificati male, teorema su spectral clustering, considerazioni su performance dell'algoritmo e stima del numero di vertici mal classificati.

Esercizi assegnati: 22, 23

Lezione 18 ( Venerdì 28/11/2025 - ore 8:30)
Dimostrazione del teorema su spectral clustering per lo stochastic block model. Discussione.
(Lezione erogata in modalità mista causa sciopero dei mezzi.)

Lezione 19 (Lunedì  1/12/2025 - ore 13:00)
RINVIATA

Esercitazione 2 (Giovedì 4/12/2025 - ore 12:00, Aula 1)
su Stochastic Block Model.

Lezione 19 (Venerdì 5/12/2025 - ore 8:30, Aula G)
Transizione di fase inferenziale  per la ricerca di comunità nel modello stochastic block, sogliadi Kesten-Stigum. Riflessioni su regimi non coperti dal teorema. Clustering.

Esercizo assegnato: 24

Lezione 20,  (Giovedì 11/12/2025 - ore 12:15, Aula G)
Algoritmo k-means: definizione ed evoluzione dell'algoritmo.

Lezione 21, ultima lezione di teoria (Venerdì 12/12/2025 - ore 08:30, Aula G)
Normalized Laplacian.
Lezione trasmessa anche a distanza al seguente link: https://meet.google.com/dtm-gpxs-fjo

Esercitazione 3 (Lunedì 15/12/2025 - ore 13:00, Aula 1)

Esercitazione 4 (Venerdì 19/12/2025 - ore 13:00, Aula 2). 


Simulazione Erdos-Renyi