Calcolo Integrale

Da Aprile 2022 non sono più responsabile del corso.

Programma:
Lezione 1 (Lunedì 22 Febbraio)
Somme e simbolo di sommatoria, calcolo di alcune somme, esempi.
Esercizi assegnati: 1-4, 7-12, da 15 a 22 nella Sezione 5.1.

Lezione 2 (Venerdì 26 Febbraio)
Calcolo delle aree come limiti di somme, somme di Riemann superiore e inferiore, esempi.
Esercizi assegnati: 5, 9, 10, 16, 17 nella Sezione 5.2.

Lezione 3 (Lunedì 1 Marzo)
Definizione di integrale definito, integrabilità e non integrabilità, calcolo di alcuni integrali.
Esercizi assegnati: 1, 2, 3, 4, 7, 8 nella Sezione 5.3.

Lezione 4 (Venerdì 5 Marzo),
Somme di Riemann generali e convergenza, condizioni sufficienti per l'integrabilità, otto proprietà degli integrali definiti, esempi ed esercizi.
Esercizi assegnati: 11, 12 della Sezione 5.3.

8 Marzo (Lezione 5) annullata per il malfunzionamento della rete rete internet nella città universitaria.

Lezione 6 (Venerdì 12 Marzo),
Teorema del valore medio degli integrali, integrale definito per le funzioni continue a tratti, richiami sulle derivate, antiderivate, integrali indefiniti, esempi.
Esercizi assegnati: 35, 36 della Sezione 5.4 e 5, 6, 7, 8, 9,10, 15,16, 21 della Sezione 2.10.

Lezione 7 (Lunedì 15 Marzo),
Teorema fondamentale del calcolo con dimostrazione completa. Applicazioni del teorema: calcolo degli integrali definiti, calcolo delle aree, calcolo del valor medio delle funzioni.
Esercizi assegnati: 13-18, 30-32, 35, 36 della Sezione 5.5.

Lezione 8 (Venerdì 19 Marzo)
Esempi sul primo e il secondo punto del teorema fondamentale del calcolo, esempio in cui non si può applicare il secondo punto del teorema fondamentale a causa della discontinuità della funzione nell'intervallo di integrazione, utilizzo del teorema nel il calcolo dei limiti delle somme di Riemann. Metodo di sostituzione per gli integrali indefiniti ed esempi.
Esercizi assegnati: 33, 34, 49, 41, 42, 52 nella Sezione 5.5, da 5 a 8 e da 13 a 16 nella Sezione 5.6.
Tabella Integrali mostrata a lezione.

Lezione 9 (Venerdì 26 Marzo)
Esempi sul metodo di sostituzione, Metodo di sostituzione negli integrali definiti, esempio in cui il metodo non funziona. Calcolo delle aree di regioni delimitate da più curve.
Esercizi assegnati: 17, 18, 21, 22, 47, 48 nella Sezione 5.6 e 13,14, 24, 25 nella Sezione 5.7.

Lezione 10 (Venerdì 9 Aprile)
Integrazione per parti negli integrali indefiniti e definiti, formule di riduzione, correzione di un esercizio sul calcolo dell'area dell'ellisse.
Esercizi assegnati: 13-16 19, 20, 21, 22, 29, 31 e 32 nella Sezione 6.1

Lezione 11 (Lunedì 12 Aprile)
Integrali impropri del primo e del secondo tipo, esempi.
Esercizi assegnati: 15, 16, 17, 18, 24, 25 nella Sezione 6.5

Lezione 12 (Venerdì 17 Aprile)
Integrali impropri del secondo tipo, integrali impropri con funzioni a tratti, p-integrali, determinazione della convergenza e divergenza tramite confronto. Correzione Esercizio 24 Sezione 5.7. Ordine delle equazioni differenziali, discussione dell'equazione logistica.
Esercizi assegnati: 32, 33, 34, 35, 46 Sezione 6.5

Lezione 13 (Lunedì 19 Aprile)
Equazioni differenziali del primo ordine separabili, metodo della decomposizione in frazioni parziali.
Esercizi assegnati: 5,6,7,8,9 Sezione 7.9, più esercizio assegnato in classe sulla decomposizione in frazioni parziali.

Lezione 14 (Venerdì 23 Aprile)
Esempio riguardante reazione chimica, esempio riguardante oggetto in caduta libera, altri esempi. Equazioni differenziali lineari, la somma di soluzioni di equazioni differenziali lineari è anche una soluzione. Soluzione di equazioni differenziali lineari di primo ordine omogenee e non-omogenee.
Esercizi assegnati: 27, 29 Sezione 7.9

Lezione 15 (Lunedì 26 Aprile)
Esempi riguardanti equazioni differenziali lineari di primo ordine, equazioni differenziali omogenee.
Esercizi assegnati: da 15 a 22 della Sezione 7.9, 5 e 6 della Sezione 17.2 (riportati anche sugli appunti del corso)

Lezione 16 (Venerdì 30 Aprile)
Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee e a coefficienti costanti, tre casi ed esempi.
Esercizi Assegnati: 1,2,5,6,8,10 Sezione 3.7

Lezione 17 (Lunedì 3 Maggio)
Problema a valori iniziali per le equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti, equazione del moto armonico semplice, ampiezza periodo e frequenza, equazione del moto armonico smorzato. Definizione di successione, proprietà delle successioni.
Esercizi assegnati: 13, 14, 33, 35 nella Sezione 3.7, da 1 a 6 nella Sezione 9.1.

Lezione 18 (Venerdì 7 Maggio)
Relazione tra successioni e funzioni, dimostrazione della monotonia di una funzione attraverso il calcolo della derivata. Proprietà dei limiti delle successioni, calcolo dei limiti per successioni, incluso quelle definite attraverso una relazione di ricorrenza. Calcolo del limite di una successione attraverso la regola di de l'Hopital applicata alla funzione associata alla successione. Teoremi sulla convergenza di una successione monotona e limitata.
Esercizi assegnati: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 della Sezione 9.1.
Nota bene: le 6 proprietà sui limiti delle successioni spiegate nelle pagine 6 e 7 delle note valgono solo nell'ipotesi che a_n e b_n siano successioni convergenti.

Lezione 19 (Lunedì 10 Maggio)
Altro teorema sulla convergenza di una successione monotona e limitata, convergenza della successione x^n e confronto con il fattoriale, alcuni limiti notevoli e gerarchia degli infiniti. Definizione di serie infinita, successione delle somme parziali, definizione della convergenza e divergenza della serie, definizione di serie geometrica e studio della convergenza della serie geometrica.
Esercizi assegnati: 27, 28, 29, 30 Sezione 9.1

Lezione 20 (Venerdì 14 Maggio)
Esempi sulle serie geometriche, serie telescopiche, serie armonica. Quattro teoremi sulle serie che mettono in relazione la convergenza della serie con il limite della successione costituita dai termini della serie. Criterio di convergenza dell'integrale, convergenza della p-serie, convergenza della serie 1/n log(n)^p.
Esercizi assegnati: 7,8,9,10, 11, 12, 17, 18 nella Sezione 9.2

Lezione 21 (Lunedì 17 Maggio)
Criterio del confronto ed esempi, criterio del confronto al limite ed esempi, criterio del rapporto ed esempi, criterio della radice ed esempi.
Esercizi assegnati: da 5,6,7,8,11,12,13,14,19,20,21,22 nella Sezione 9.3

Lezione 22 (Venerdì 21 Maggio)
Convergenza assoluta, la convergenza assoluta implica la convergenza, esempi. Convergenza semplice, convergenza per le serie oscillanti, serie di potenze, tre possibili comportamenti delle serie di potenze, teorema sul raggio di convergenza.
Esercizi 9, 10, 11, 12, 21, 22, 23, 24 della Sezione 9.4 e 1,2,3,4,5,6 della Sezione 9.5

Lezione 23 (Lunedì 24 Maggio)
Esempi sulla determinazione del raggio di convergenza di serie di potenze, operazioni algebriche di serie di potenze (somma, prodotto, derivata, integrale).

Lezione 24 (Venerdì 28 Maggio)
Esercitazione generale.
Esempio prova d'esame
Testo prova scritta di Giugno
Testo seconda prova scritta di Luglio
Testo prova scritta di Settembre

Prerequisiti: tutto il programma del corso Calcolo Differenziale.

Testo di riferimento: Calcolo Differenziale 1, Funzioni di una variabile reale, di Robert A. Adams e Christopher Essex, quinta edizione, Casa Editrice Ambrosiana. Il programma del corso è contenuto nei capitoli 5, 6 e 9 e nelle sezioni 7.9, 3.7, 2.10.

Modalità della prova scritta: la prova scritta si svolgerà esclusivamente in presenza. Durante la prova scritta occorre esibire il proprio documento di identità. Il testo della prova scritta consisterà in 4 o 5 esercizi inerenti tutto il programma del corso. La prova scritta durerà due ore.

Prova orale: la prova orale è facoltativa. Essa è consigliata solo a studenti ben preparati che vogliano aumentare il loro punteggio dello scritto (ma che siano pronti al rischio che questo possa scendere!). Essa consiste in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione, inclusi enunciati dei teoremi e dimostrazioni svolte, integrati eventualmente da qualche esercizio per verificare il livello di comprensione raggiunto.