Semestre 6

Compléments d'analyse (UE obligatoire du parcours MID - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

  1. Séries entières
    • Convergence d’une série entière. Rayon de convergence.
    • Somme d’une série entière d’une variable réelle.
    • Exponentielle complexe.
  2. Suites de fonctions : définition et modes de convergence.
  3. Séries de fonctions : définitions et critères de convergence.

Équations différentielles, systèmes différentiels

Initiation aux séries chronologiques (UE obligatoire - 2 ECTS, 19,5 h de cours, 19,5h de td)

  • Décomposition d’une série temporelle.
  • Moyennes mobiles.
  • Lissage

Méthodes numériques (UE optionnelle - 4 ECTS, 19,4h de cours, 19,5h de td)

  • Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange, interpolation de Hermite, estimations d’erreur, points de Tchebychev.
  • Intégration numérique (de type Lagrange): notion d’ordre, formules de Newton-Cotes, majorations d’erreur.
  • Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires : théorème de convergence, méthodes classiques de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxations.
  • Résolution d’équations non-linéaires : méthodes de Lagrange, Newton, théorèmes de convergence.

Pour chaque thème, l’enseignement comprend des exercices théoriques, l’écriture d’algorithmes ainsi que des applications sur machine en langage Scilab.

Méthodes statistiques (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

  1. Méthodes d’estimation paramétrique :
    • Méthode des moments.
    • Méthode du maximum de vraisemblance.
    • Méthode des moindres carrés
  2. Initiation aux méthodes d’estimation non paramétriques :
    • Fonction de répartition empirique d’un échantillon (définition, convergence : convergence presque sûre, théorème de Glivenko-Cantelli, théorème de Kolmogorov. Applications (tests d’ajustement,…).
    • Estimation de densité De l’histogramme à la fenêtre mobile : introduction à la méthode du noyau.

Régression et analyse de la variance (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

Partie 1 - Modèles de régression linéaire

  • Formulation du modèle linéaire simple gaussien standard.
  • Estimation des paramètres du modèle : optimalité statistique du critère des moindres-carrés ordinaire.
  • Équation de la variance (avec démonstration) et calcul du coefficient de détermination.
  • Propriétés des estimateurs des paramètres et propriétés des valeurs prédites par le modèle (lois et intervalles de confiance).
  • Tests de Fisher d’hypothèses linéaires ou affines sur les paramètres.
  • Extension, sans démonstration, au modèle linéaire multiple gaussien standard.

Partie 2 - Modèles usuels d’analyse de la variance à un facteur

  • Les différentes formulations du problème de moindres carrés.
  • Propriétés des estimateurs.
  • Équation de la variance et test de Fisher pour l’égalité des moyennes.

Partie 3 - Tests de normalité (sans démonstration)

  • Droite de Henry
  • Test de Shapiro-Wilk

Tests non paramétriques (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

  • Tests non paramétriques de comparaison de deux échantillons indépendants : Test de Smirnov, Test de Wilcoxon-Mann-Whitney.
  • Comparaison de moyennes d’échantillons appariés : le cas gaussien, test des signes, test de Wilcoxon.
  • Tests d’ajustement : test du khi-deux, test de normalité de Shapiro-Wilk.
  • Test d’indépendance du khi-deux pour deux variables qualitatives.
  • Test d’homogénéité du Khi-deux