Semestre 6
Compléments d'analyse (UE obligatoire du parcours MID - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)
- Séries entières
- Convergence d’une série entière. Rayon de convergence.
- Somme d’une série entière d’une variable réelle.
- Exponentielle complexe.
- Suites de fonctions : définition et modes de convergence.
- Séries de fonctions : définitions et critères de convergence.
Équations différentielles, systèmes différentiels
Initiation aux séries chronologiques (UE obligatoire - 2 ECTS, 19,5 h de cours, 19,5h de td)
- Décomposition d’une série temporelle.
- Moyennes mobiles.
- Lissage
Méthodes numériques (UE optionnelle - 4 ECTS, 19,4h de cours, 19,5h de td)
- Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange, interpolation de Hermite, estimations d’erreur, points de Tchebychev.
- Intégration numérique (de type Lagrange): notion d’ordre, formules de Newton-Cotes, majorations d’erreur.
- Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires : théorème de convergence, méthodes classiques de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxations.
- Résolution d’équations non-linéaires : méthodes de Lagrange, Newton, théorèmes de convergence.
Pour chaque thème, l’enseignement comprend des exercices théoriques, l’écriture d’algorithmes ainsi que des applications sur machine en langage Scilab.
Méthodes statistiques (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)
- Méthodes d’estimation paramétrique :
- Méthode des moments.
- Méthode du maximum de vraisemblance.
- Méthode des moindres carrés
- Initiation aux méthodes d’estimation non paramétriques :
- Fonction de répartition empirique d’un échantillon (définition, convergence : convergence presque sûre, théorème de Glivenko-Cantelli, théorème de Kolmogorov. Applications (tests d’ajustement,…).
- Estimation de densité De l’histogramme à la fenêtre mobile : introduction à la méthode du noyau.
Régression et analyse de la variance (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)
Partie 1 - Modèles de régression linéaire
- Formulation du modèle linéaire simple gaussien standard.
- Estimation des paramètres du modèle : optimalité statistique du critère des moindres-carrés ordinaire.
- Équation de la variance (avec démonstration) et calcul du coefficient de détermination.
- Propriétés des estimateurs des paramètres et propriétés des valeurs prédites par le modèle (lois et intervalles de confiance).
- Tests de Fisher d’hypothèses linéaires ou affines sur les paramètres.
- Extension, sans démonstration, au modèle linéaire multiple gaussien standard.
Partie 2 - Modèles usuels d’analyse de la variance à un facteur
- Les différentes formulations du problème de moindres carrés.
- Propriétés des estimateurs.
- Équation de la variance et test de Fisher pour l’égalité des moyennes.
Partie 3 - Tests de normalité (sans démonstration)
- Droite de Henry
- Test de Shapiro-Wilk
Tests non paramétriques (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)
- Tests non paramétriques de comparaison de deux échantillons indépendants : Test de Smirnov, Test de Wilcoxon-Mann-Whitney.
- Comparaison de moyennes d’échantillons appariés : le cas gaussien, test des signes, test de Wilcoxon.
- Tests d’ajustement : test du khi-deux, test de normalité de Shapiro-Wilk.
- Test d’indépendance du khi-deux pour deux variables qualitatives.
- Test d’homogénéité du Khi-deux