Semestre 6

Compléments d'analyse (UE obligatoire du parcours MID - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

1. Séries entières
   • Convergence d’une série entière. Rayon de convergence.
   • Somme d’une série entière d’une variable réelle.
   • Exponentielle complexe.
2. Suites de fonctions : définition et modes de convergence.
3. Séries de fonctions : définitions et critères de convergence.

Équations différentielles, systèmes différentiels

Initiation aux séries chronologiques (UE obligatoire - 2 ECTS, 19,5 h de cours, 19,5h de td)

• Décomposition d’une série temporelle.
• Moyennes mobiles.
• Lissage

Méthodes numériques (UE optionnelle - 4 ECTS, 19,4h de cours, 19,5h de td)

• Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange, interpolation de Hermite, estimations d’erreur, points de Tchebychev.
• Intégration numérique (de type Lagrange): notion d’ordre, formules de Newton-Cotes, majorations d’erreur.
• Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires : théorème de convergence, méthodes classiques de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxations.
• Résolution d’équations non-linéaires : méthodes de Lagrange, Newton, théorèmes de convergence.

Pour chaque thème, l’enseignement comprend des exercices théoriques, l’écriture d’algorithmes ainsi que des applications sur machine en langage Scilab.

Méthodes statistiques (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

1. Méthodes d’estimation paramétrique :
   • Méthode des moments.
   • Méthode du maximum de vraisemblance.
   • Méthode des moindres carrés
2. Initiation aux méthodes d’estimation non paramétriques :
   • Fonction de répartition empirique d’un échantillon (définition, convergence : convergence presque sûre, théorème de Glivenko-Cantelli, théorème de Kolmogorov. Applications (tests d’ajustement,…).
   • Estimation de densité De l’histogramme à la fenêtre mobile : introduction à la méthode du noyau.

Régression et analyse de la variance (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

Partie 1 - Modèles de régression linéaire

• Formulation du modèle linéaire simple gaussien standard.
• Estimation des paramètres du modèle : optimalité statistique du critère des moindres-carrés ordinaire.
• Équation de la variance (avec démonstration) et calcul du coefficient de détermination.
• Propriétés des estimateurs des paramètres et propriétés des valeurs prédites par le modèle (lois et intervalles de confiance).
• Tests de Fisher d’hypothèses linéaires ou affines sur les paramètres.
• Extension, sans démonstration, au modèle linéaire multiple gaussien standard.

Partie 2 - Modèles usuels d’analyse de la variance à un facteur

• Les différentes formulations du problème de moindres carrés.
• Propriétés des estimateurs.
• Équation de la variance et test de Fisher pour l’égalité des moyennes.

Partie 3 - Tests de normalité (sans démonstration)

• Droite de Henry
• Test de Shapiro-Wilk

Tests non paramétriques (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5h de td)

• Tests non paramétriques de comparaison de deux échantillons indépendants : Test de Smirnov, Test de Wilcoxon-Mann-Whitney.
• Comparaison de moyennes d’échantillons appariés : le cas gaussien, test des signes, test de Wilcoxon.
• Tests d’ajustement : test du khi-deux, test de normalité de Shapiro-Wilk.
• Test d’indépendance du khi-deux pour deux variables qualitatives.
• Test d’homogénéité du Khi-deux