Semestre 5

Algèbre bilinéaire et méthode des moindres carrés (UE obligatoire - 4 ECTS 19,5h de cours, 19,5 h de td.

• Algèbre bilinéaire : formes bilinéaires, formes quadratiques.
• Matrice d’une forme bilinéaire en dimension finie.
• Espaces euclidiens : définition, Inégalité de Cauchy-Schwarz.
• Orthogonalité et procédé d’orthogonalisation de Schmidt.
• Projecteur orthogonal, symétrie orthogonale sur un sous-espace.
• Isométries vectorielles , caractérisation des isométries en dimension 2 ou 3.
• Méthode des moindres carrés.

Estimation et tests paramétriques (UE obligatoire - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5 h de td)

• Échantillonnage : Notions d’échantillon aléatoire, estimateur et estimation, qualités d’un estimateur : biais, convergence, erreur quadratique.
• Étude de la statistique, cas des échantillons gaussiens.
• Autres distributions d’échantillonnage : Student, Fisher-Snedecor.
• Estimation par intervalle : principes et méthode.
• Intervalles de confiance usuels : intervalles de confiance pour l’espérance, intervalles de confiance pour la variance, intervalles de confiance pour une proportion.
• Tests d’hypothèse paramétriques : méthodologie, probabilités d’erreur de première et deuxième espèce, puissance.
• Tests paramétriques usuels portant sur un paramètre : tests de comparaison de l’espérance à un standard, tests de comparaison de la variance à un standard, tests pour une proportion p (grand échantillon).
• Tests paramétriques usuels de comparaison de deux échantillons indépendants :
  • Tests de de Student : tests de comparaison de deux espérances,
  • Tests de Fisher-Snedecor : tests de comparaison de deux variances.
• Tests de comparaison de deux proportions (grands échantillons)

Optimisation (UE optionnelle - 4 ECTS, 19,5h de cours, 19,5 h de td)

• Partie 1 - Minimisation sans contrainte :
  • Conditions d’optimalité.
  • Méthode du gradient.
  • Méthode de Newton.
  • Algorithme sans gradient.
• Partie 2 - Minimisation avec contrainte d’égalité :
  • Pénalisation.
  • Lagrangien.
• Partie 3 - Minimisation avec contrainte d’inégalité :
  • Condition de Khun et Tucker.
• Partie 4 - Programmation linéaire :
  • Dualité.
  • Algorithme du simplexe.

Initiation à la théorie de la mesure des probabilités approfondies (UE obligatoire - 6 ECTS, 19,5h de cours, 39h de td)

• Algèbre, tribu, mesure – Exemple de mesures : Dirac, comptage, Lebesgue, probabilité. Ensembles négligeables. Notions de tribu engendrée, d'application mesurable et de variable aléatoire. Notions d'espace mesuré et d'espace probabilisé.
• Intégration par rapport à une mesure, de fonctions étagées puis de fonctions mesurables positives par convergence monotone. Cas particuliers : intégration par rapport à la mesure de Dirac, par rapport à la mesure de Lebesgue et par rapport à la mesure de comptage. Notion de mesure image et de loi de probabilité. Intégration par rapport à la mesure image, théorème de transfert.
• Intégration d'une fonction à valeurs réelles, application intégrable par rapport à une mesure, intégrale de Lebesgue. cas particulier de la mesure de Lebesgue : rapport avec l'intégrale de Riemann et la convergence absolue des intégrales généralisées. Cas particulier de la mesure de comptage et rapport avec la convergence absolue des séries. Intégration par rapport à une mesure à densité, espérance d'une variable aléatoire réelle.
• Conditionnement et indépendance : probabilités totales, Bayes, indépendance mutuelle et indépendance deux à deux. Variables aléatoires indépendantes.
• Lois de variables aléatoires réelles : lois discrètes, lois absolument continues, fonction de répartition, lois classiques. Fonction génératrice. Moments.
• Vecteurs aléatoires, lois conjointes, lois marginales, lois conditionnelles, moments, covariance.
• Vecteurs gaussiens, loi loi du Khi2, Student, Fisher-Snedecor