Matte klass 9

Post date: Sep 6, 2015 2:21:31 PM

MATTE VECKA 19

Kapitel 3.6 Proportionalitet i ekvationer (sidorna 258-266)

• Analogi:
  • Produkten av yttertermerna är lika stor som produkten av mellantermerna.
  • Lös med korsvis multiplikation
• Direkt proportionalitet:
  • Ökar det ena så ökar det andra.
  • Minskar det ena så minskar det andra.
  • Förhållandet är konstant även om värdena ändras
• Omvänd proportionalitet:
  • Ökar det ena så minskar det andra
  • Minskar det ena så ökar det andra
  • Den ena storhetens värde ökar i samma förhållande som den andra storhetens värde minskar
  • Produkten av storheterna är konstant
• Användning av analogi:
  • Förhållandena i en analogi bestäms utgående från vilket slags proportionalitet det är frågan om
  • Vid direkt proportionalitet bildas förhållandena radvis eller kolumnvis
  • Vid omvänd proportionalitet inverteras det ena förhållandet

Prov torsdagen den 27.2.2017

• Kapitel 2.7 Enhetsomvandlingar (sidorna 166-169)
• Kapitel 2.8 Cylindrar (sidorna 170-177)
• Kapitel 2.9 Cirkulära cylindrar (sidorna 178-185)
• Kapitel 2.10 Kon (sidorna 186-193)
• Kapitel 2.11 Cirkulär kon (sidorna 194-201 inte sidorna 196-197)
• Kapitel 2.12 Klot (sidorna 202-207)
• Kapitel 2.13 Sammansatta kroppar (sidorna 208-213)

MATTE VECKA 17

Kapitel 2.14 Repetition (sidorna 214-217)

• 2.7 Kroppar
• 2.8 Cylindrar
• 2.9 Cirkulära cylindrar
• 2.10 Kon
• 2.11 Cirkulär kon
• 2.12 Klot
• 2.13 Sammansatta kroppar

MATTE VECKA 16

Kapitel 2.13 Sammansatta kroppar (sidorna 208-213)

• Man kan dela många kroppar i delar vars volym och area man kan räkna ut även om man inte kan räkna ut hela kroppens volym och area direkt

MATTE VECKA 14-15

Kapitel 2.12 Klot (sidorna 202-207)

• Ett klot är en kropp som begränsas av den yta som bildas av alla punkter som har samma avstånd till en given punkt (klotets medelpunkt)
• Avståndet mellan klotets medelpunkten och dess yta är klotets radie

Andra nyttiga länkar:

• Klot och sfärer

MATTE VECKA 14

Kapitel 2.11 Cirkulär kon (sidorna 194-201 inte sidorna 196-197)

• Volymen av en cirkulär kon:

basytans area * höjden Pi * r^2 * h

Konens volym = ------------------------------- V = ---------------

3 3

• Den cirkulära konen har en basyta som är en cirkel vars yta beräknas

MATTE VECKA 13

Kapitel 2.10 Kon (sidorna 186-193)

• En kons begränsningsyta består av en basyta och en mantelyta
• Konens volym:

basytans area * höjden Ab * h

Konens volym = ------------------------------- V = ------------

3 3

• En pyramid är en kon, där basytan är en månghörning

• Arean av en pyramids begränsningsyta fås genom att addera basytans och mantelytans area:
• A = Ab + Am

Andra nyttiga länkar:

• Koner
• Pyramider

MATTE VECKA 12

Kapitel 2.9 Cirkulära cylindrar (sidorna 178-185)

• En cirkulär cylinder har en basyta som är en cirkel
• Volymen av en cirkulär cylinder får man genom att multiplicera basytan med cylinderns höjd

• Arean av en rak cylinders mantelyta får man genom att multiplicera basytans omkrets med cylinderns höjd
• Arean av en rak cirkulär cylinders begränsningsyta får man genom att addera arean av basytorna med arean av mantelytan

Andra nyttiga länkar:

• Rätblock och kuber
• Prismor
• Cirklar
• Cylindrar

MATTE VECKA 11

Kapitel 2.8 Cylindrar (sidorna 170-177)

• Cylindern består av en basyta och en mantelyta
  • Volymen av en cylinder är basytan * höjden (V=Ab*h)
  • Arean av en cylinders begränsningsyta är arean av basytorna + arean av mantelytan (A=2*Ab+Am)
• Prismat är en cylinder vars basyta är en månghörning
• Rätblocket är ett prisma vars alla sido- och basytor är rektanglar (6 ytor)
  • Volymen av ett rätblock är längd * bredd * höjd (V=a*b*c)
  • Arean av rätblockets begränsningsyta är summan av 2 begränsningsytor och 4 sidoytor (A=2ab+2ac+2bc)

MATTE VECKA 10

Kapitel 2.7 Enhetsomvandlingar (sidorna 166-169)

• Då man jobbar med kroppar räknar man med längder, areor och volymer
  • Förhållandet mellan längdenheter är 10
  • Förhållandet mellan areaenheter är 100
  • Förhållandet mellan volymenheter är 1000

Andra nyttiga länkar:

• Volymer och volymenheter

MATTE VECKA 8

Repetition kap 2.6 och 3.7 (sidorna 158-161 & 267)

Prov onsdagen den 22.2.2017

• Kap 2.1 Likformiga rätvinkliga trianglar (sidorna 116-125)
• Kap 2.2 Tangens (sidorna 126-133)
• Kap 2.3 Tillämpningar med tangens (sidorna 134-141)
• Kap 2.4 Sinus och cosinus (sidorna 142-149)
• Kap 2.5 Tillämpningar med trigonometriska funktioner (sidorna 150-157)
• Kap 3.1 Potensuttryck (sidorna 220-227)
• Kap 3.2 Räkna med polynom (sidorna 228-235)

MATTE VECKA 6-7

Kapitel 3.2 Räkna med polynom (sidorna 228-235)

• Sammanslagning av likformiga termer
• Addition och subtraktion av polynom

• Multiplikation av ett monom med ett monom
• Multiplikation av ett polynom med ett monom
• Multiplikation av polynom
• Minnesregler

Andra nyttiga länkar:

• Uttryck med variabler
• Förenkla uttryck med parenteser
• Uttryck med potenser
• Ekvationslösning

MATTE VECKA 6

Kapitel 3.1 Potensuttryck (sidorna 220-227)

• Värdet av en potens och potensregler

MATTE VECKA 5

Kapitel 2.5 Tillämpningar med trigonometriska funktioner (sidorna 150-157)

Andra nyttiga länkar:

• Räkna med potenser
• Små tal som potenser

Facit: Tangens förhör

MATTE VECKA 4

Kapitel 2.4 Sinus och cosinus (sidorna 142-149)

• Förhållandet mellan en vinkels motstående katet och hypotenusan i en rätvinklig triangel kallas sinus (betecknas med sin)
• Förhållandet mellan en vinkels närliggande katet och hypotenusan i en rätvinklig triangel kallas cosinus (betecknas med cos)

MATTE VECKA 4

Kapitel 2.3 Tillämpningar med tangens (sidorna 134-141)

Att bestämma längden av en katet

• Om man känner den ena katetens längd och storleken på en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel kan man bestämma den andra katetens längd med hjälp av tangens.
• En vinkels motstående katet bestäms genom att sätta in värdet x för kateten i formeln för tangens och räkna ut x

• En vinkels närliggande katet bestäms genom att sätta in värdet x för kateten i formeln för tangens och räkna ut x

Andra nyttiga länkar:

• Trigonometri med tan, sin och cos

MATTE VECKA 3

Kapitel 2.2 Tangens (sidorna 126-133)

Förhållande mellan katetrarna i likformiga rätvinkliga trianglar

• I likformiga rätvinkliga trianglar är förhållandet mellan den motstående kateten längd och den närliggande katetens längd konstant

Tangens för en vinkel

• Förhållandet mellan längderna av en vinkels motstående och en närliggande katet i en rätvinklig triangel kallas tangens för vinkeln
• En kort beteckning för tangens är tan

Värdet av tangens för en vinkel

• I en rätvinklig triangel motsvarar varje spetsig vinkel av ett bestämt tangensvärde
• Om man känner storleken på en spetsig vinkel i triangeln kan man bestämma förhållandet mellan vinkelns motstående och närliggande katet, dvs. tangens för vinkeln med en miniräknare

En vinkels storlek

• Sambandet mellan en vinkels storlek och katetrarnas längder gäller även omvänt
• Varje tangensvärde motsvaras av en bestämd vinkelstorlek

En vinkels storlek med hjälp av tangens

• Om man känner kateternas längder kan man med hjälp av tangens bestämma storleken på de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel

MATTE VECKA 2

Kapitel 2.1 Likformiga rätvinkliga trianglar (sidorna 116-125)

• Rätvinklig triangel består av en rät vinkel, två katetrar och en hypotenusa
• En spetsig vinkel i en rätvinklig triangel har en motstående och en närliggande katet
• Vinkelsumman i en triangel
  • I en rätvinklig triangel är summan av de spetsiga vinklarna 90 grader
• Pythagoras sats

I varje rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateterna lika med summan av kvadraten på hypotenusan

• Likformiga rätvinkliga trianglar
  • Två trianglar är likformiga om motsvarande vinklar är lika stora
• Förhållandet mellan sidor i likformiga trianglar
  • I likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor konstant.
  • Dessutom gäller att förhållandet mellan två av sidorna i den ena triangeln är detsamma som motsvarande förhållande i den andra triangeln.

Andra nyttiga länkar:

• Pythagoras sats
• Likformighet

V Å R T E R M I N E N 2 0 1 7 (MATTE)

PROV onsdagen den 14.12.2016

• Kap 1.8. Olika ekvationer (sidorna 64-69)
• Kap 1.9. Ekvationer i textuppgifter (sidorna 70-77)
• Kap 1.11. Ekvationssystem - grafisk lösning (sidorna 86-93)
• Kap 1.12. Ekvationssystem - algebraisk lösning (sidorna 94-101)
• Kap 1.13. Tillämpningar med ekvationssystem (sidorna 102-110)
• Repetition: 1.14 valda delar

MATTE VECKA 47-48

Dokumenterade hemuppgifter: 492 och 496

Kapitel 1.13 Tillämpningar med ekvationssystem (sidorna 102-110)

Ex 1

En metallstång som är 480 cm delas i två delar. Den ena delen är 60 cm längre än den andra delen. Hur långa är delarna?

Metod 1

Bilda ett ekvationssystem med hjälp av given information

[ x = y + 60

[ x + y = 480

Insättningsmetoden: Sätt in x = y + 60 i den andra ekvationen

y + 60 + y = 480

y + y = 480 - 60

2y = 420 !! : 2

y = 210

Räkna ut x ur ekvationen x = y + 60

x = 210 + 60

x = 270

SVAR: De två delarna är 270 cm och 210 cm

Metod 2

Delarna betecknas x + 60 och x

Vi bildar en ekvation med hjälp av den givna informationen och löser ekvationen:

x + 60 + x = 480

x + x = 480 - 60

2x = 420 !! : 2

x = 210

Delarna är 210 cm + 60 cm = 270 cm och 210 cm

Metod 3

Vi räknar bort 60 cm av stångens längd och delar återstoden med 2:

(480 - 60) : 2 = 210

Delarna är 210 cm + 60 cm = 270 cm och 210 cm

Ex 2

Jonas och Mia delar 288 € i förhållandet 2 : 7. Hur mycket fick var och en?

Vi betecknar andelarna 2x och 7x och bildar en ekvation.

2x + 7x = 288

9x = 288 !! : 9

x = 32

Jonas andel var 2x = 2 * 32 € = 64 €

Mias andel var 7x = 7 * 32 € = 224 €

Ex 3

En lokaltidning erbjöd sina läsare ett förmånskort som berättigar till rabatt på biobiljetter. Med förmånskortet kostade en biljett 12 € och utan kort kostade den 15 €. Antalet biobesökare var 162 och biljettintäkterna var 2100 €. Hur många biobesökare använde tidningens erbjudande och hur många betalade fullt pris?

Vi betecknar antalet biobesökare som använde förmånskortet med x och antalet biobesökare som betalade fullt pris med y. Vi bildar två ekvationer - en för antalet biobesökare och en för biljettinkomsterna:

[ x + y = 162

[ 12x + 15y = 2100

Vi löser den första ekvationen med avseende på y:

x + y = 162

y = -x + 162

Vi sätter in y = -x + 162 i den andra ekvationen och löser den med avseende på x:

12x + 15(-x +162) = 2100

12x - 15x + 2430 = 2100

12x - 15x = 2100 - 2430

-3x = -330 !! :(-3)

-330

x = ------- = 110

-3

Vi beräknar y:

y = -x + 162 = -110 + 162 = 52

SVAR: 110 besökare använde förmånskort och 52 betalade fullt pris.

Grafisk lösning

Många praktiska problem som skulle kräva ekvationssystem kan lösas grafiskt. Då kan man dra nytta av att kunna avläsa grafernas skärningspunkt. (se figurerna i matteboken sida 105-106)

Linjär optimering

Man kan använda linjer för att undersöka vilket av flera alternativ som det lönar sig att välja. En sådan jämförelse av olika alternativ kallas linjär optimering. (se figuren i matteboken sida 106)

MATTE VECKA 46

Dokumenterad hemuppgift: 479

Kapitel 1.12 Ekvationslösning - algebraisk lösning (sidorna 94-101)

Insättningsmetoden

Ex 1

Lös ekvationssystemet

[ x = 5

[ x + y = 7 ( ersätt variabeln x med 5)

5 + y = 7 (flytta konstanterna till höger)

y = 7 - 5 = 2

x + y = 7 (ersätt variabeln y med 2)

x + 2 = 7 (flytta variablerna till höger)

x = 7 - 2 = 5

Ekvationssystemets lösning är : [ x = 5

[ y = 2

Ex 2

Lös ekvationssystemet

[ 4x + y = 1 (ersätt y med uttrycket 3x +1)

[ y = 3x + 1

4x + (3x + 1) = 1

4x + 3x +1 = 1 (sammanslå x-termerna)

7x +1 = 1 (flytta konstanterna till höger)

7x = 1 - 1

7x = 0

x = 0

y = 3x + 1 (ersätt termen x med 0)

y = 3*0 + 1

y = 1

Ekvationssystemet lösning: [ x = 0

[ y = 1

Ex 3

Lös ekvationssystemet

[ x = 2y - 4

[ x = y + 2 (ersätt x med uttrycket 2y -4)

2y - 4 = y + 2 (samla variablerna y till vänster och konstanterna till höger)

2y - y = 2 + 4

y = 6

x = y + 2 (ersätt variabeln y med 6)

x = 6 + 2

x = 8

Ekvationssystemet lösning: [ x = 8

[ y = 6

Additionsmetoden

Ex 3

Lös ekvationssystemet

[ 2x + y = 7

[ x - y = 2 (addera ekvationerna ledvis)

-----------------

3x = 9 !! :3

x = 3

x - y = 2 (ersätt variabeln x med 3)

3 - y = 2 (samla konstanterna till höger)

- y = 2 - 3

- y = -1 !! :(-1)

y = 1

Ekvationssystemet lösning: [ x = 3

[ y = 1

Ex 4

Lös ekvationssystemet:

[ 3x + 2y = 1

[ -2x + 4y = 10

[ 3x + 2y = 1 !! *2 (man försöker hitta lämpliga tal att multiplicera med)

[ -2x + 4y = 10 !! *3

[ 6x + 4y = 2

[ -6x + 12y = 30 (Addera ekvationerna ledvis)

-----------------------

16y = 32 !! :16

y = 2

3x + 2y = 1 (ersätt variabeln y med 2)

3x + 2*2 = 1

3x + 4 = 1

3x = -3 !! : 3

x = -1

Ekvationssystemets lösning: [ x = -1

[ y = 2

MATTE VECKA 45

Kapitel 1.11 Ekvationslösning - grafisk lösning (sidorna 86-93)

1. En linjes ekvation har två obekanta, x och y
2. Alla punkter på linjen är lösningar för ekvationen
3. Skärningspunkten mellan två linjer är ekvationssystemets lösning

Ex 1

Linjerna y = 5 och 2x - y =1 ritas i ett koordinatsystem

De representerar ekvationssystemet

[ y = 5

[ 2x - y = 1 (Lös denna ekvation med avseende på y för att enklare kunna rita linjen)

[ y = 5 (en vågrät linje)

[ y = 2x -1 (en linje som skär y-axeln i punkt -1 och är stigande: ett steg till höger, 2 uppåt)

Skärningspunkten mellan linjerna är (3, 5)

Alltså: [ x = 3

[ y = 5

Närmevärde för lösningar

Då man löser ett ekvationssystem grafiskt och får endast en ungefärlig skärningspunkt blir x- och y-koordinaterna endast närmevärden.

Parallella linjer

Om två linjer är parallella skär de inte varandra eller också sammanfaller de (ligger ovanpå varandra).

• Parallella linjer saknar lösningar
• Sammanfallande linjer har oändligt många lösningar

MATTE VECKA 43-44

Kapitel 1.9 Ekvationer i textuppgifter (sidorna 70-77)

Man kan ofta lösa en textuppgift med hjälp av en ekvation med hjälp av följande steg:

1. Vad frågas det efter och vad är givet
2. Rita en modellfigur om det är möjligt
3. Beteckna den obekanta variabel med en bokstav t.ex. x
4. Bilda en ekvation med den givna informationen och lös den
5. Kontrollera lösningen, Är den rimlig ?
6. Skriv svaret med ord

Ex 1

Peter har tre gånger så mycket pengar som Emma, och Kalle har två gånger så mycket som Emma. Hur mycket pengar har var och en om de tillsammans har 240 € ?

Peter Kalle Emma

3x + 2x + x = 240 (Räkna ihop x-termerna)

6x = 240 !!:6 (Dividera bort koefficienten framför x)

x = 40

Peter: 3 * 40 = 120 €

Kalle: 2 * 40 = 80 €

Emma: 1 * 40 = 40 €

SUMMA: 240 €

Ex 2

Dela 360 € i förhållandet 2 : 7

2x + 7x = 360

9x = 360 !! :9

x = 40

Del 1: 2 * 40 = 80 €

Del 2: 7 * 40 = 280 €

SUMMA: 360 €

Ex 3

Olle är 15 år gammal och hans mamma är 41 år gammal. Efter hur många år är mamma dubbelt så gammal som Olle?

Tidpunkt. Olles ålder Mammas ålder

Nu. 15 41

Efter x år 15 + x 41 + x

41 + x = 2(15 + x)

41 + x = 30 + 2x

x - 2x = 30 - 41

-x = -11 !! :(-1)

x = 11

Ekvationer med proportionalitet

Ex 4

En del till en maskin är 24 cm i verkligheten och 1,6 cm på en arbetsritning. Hur lång är en annan del i verkligheten om den på ritningen är 12 mm.

Längd på ritningen (cm) Längd i verkligheten (cm)

1,6 24

1,2 x

Direkt proportionalitet => korsvis multiplikation

1,6 24

------- = --------

1,2 x

1,6x = 1,2 * 24 !! :1,6

1,2 * 24

x = -----------

1,6

x = 18

Ex 5

Det tar 3,5 timmar för familjen Andersson att köra till sin sommarstuga då de kör med medelhastigheten 70 km/h. Hur mycket skulle de vinna i tid om de ökade medelhastigheten med 15 km/h ?

Hastighet (km/h) Tid (h)

70 3,5

85 x

Omvänd proportionalitet => multiplicera rakt över

85x = 70 * 3,5 !! :85

70 * 3,5

x = -----------

85

x = 2,882.... (0,882 * 60 = 52,941.. min) Resan tar 2 timmar 50 minuter. Tidsvinsten är 40 minuter

Ex 6

Priset på en flygbiljett steg med 8 % och biljetten kostade efter höjningen 270 €. Vad kostade biljetten efter förhöjningen?

8 % förhöjning = 100% + 8% = 108%. 108% = 1,08

Biljettens pris före höjningen är x.

1,08x = 270 !! :1,08

270

x = ------

1,08

x = 250 Biljettens pris var 250 € före höjningen.

MATTE VECKA 41- 42

Kapitel 1.5 Olika samband (sidorna 38-47)

Direkt proportionalitet

• Två storheter är direkt proportionella om deras värden förändras i samma proportion
• " Ökar den ena storheten så ökar den andra / Minskar den ena storheten så minskar den andra"

Ex 1

En bil kör med 80 km/h med jämn hastighet. Den körda sträckan är en funktion av tiden.

Sträcka (km): 0 80 160 240

Tid (timmar) : 0 1 2 3

Förhållandet mellan sträcka och tid: v = s/t (v=hastighet, s=sträcka, t=tid)

80 km / 1 h = 160 km / 2 h = 240 km / 3 h = 80 km/h

Sambandet mellan sträcka och tid kan beskrivas med funktionen: y = 80x

Tid (h) Sträcka (km)

x y = 80x f(x) = 80x

====================================

0 80 * 0 = 0 f(0) = 0

0,5 80 * 0,5 = 40 f(0,5) = 40

1 80 * 1 = 80 f(1) = 80

1,5 80 * 1,5 = 120 f(1,5) = 120

2 80 * 2 = 160 f(2) = 160

• Om tiden dubbleras ( 2*0,5=1) så dubbleras även motsvarande sträcka (2*40=80)
• Om tiden halveras (2/2=1) så halveras även sträckan (160/2=80)

Om man prickar in talparen (x,y) i ett koordinatsystem ser man att de ligger på en linje som går igenom origo (0,0)

Grafen till en funktion som åskådliggör en direkt proportionalitet är en linje genom origo: y = kx

Kapitel 1.8 Olika ekvationer (sidorna 64-69)

Ekvationslösningens olika steg:

1. Om ekvationen innehåller parenteser börjar vi med att bortskaffa dem
2. Vi flyttar alla termer som innehåller en obekant variabel (t.ex. x) till ekvationens vänstra led och övriga till det högra ledet.
3. Då en term flyttas från ett led till ett annat dvs. byter led, så byter den också förtecken
4. Vi sammanslår likformiga termer
5. Vi dividerar ekvationens båda led med koefficienten för den obekanta variabeln.
6. Vi kontrollerar lösningen genom att byta ut den obekanta variabeln i den ursprungliga ekvationen mot lösningen. Har höger och vänster led samma värde.

Ex 1

Lös ekvationen: 6x - 25 = 2x + 19

6x - 25 = 2x + 19 (Flytta x-termerna till vänster och konstanterna till höger)

6x - 2x = 19 + 25 (Slå samman likformiga termer)

4x = 44 !! : 4 (Dividera båda leden med koefficienten för x-termen)

Kontroll: 6*11 - 25 = 2*11 + 19

66 - 25 = 22 + 19

41 = 41

Ex 2

Lös ekvationen: 4y + 2 = 2(y - 2)

4y + 2 = 2y - 4

4y - 2y = -4 - 2

2y = -6 !! : 2

y = -3

Kontroll: 4*(-3) + 2 = 2(-3 -2)

-12 + 2 = 2*(-5)

-10 = -10

Ekvationer med nämnare

• Ekvationer med nämnare multipliceras med ett tal som är delbart med alla nämnare.
• En ekvation i analogiform kan lösas med korsvis multiplikation

Ex 1

2x - 5 x

--------- + --- = 2 !! * 12 (Multiplicera ekvationen med 12)

3 4

12 (2x - 5) 12x

-------------- + ----- = 12 * 2 (Förkorta bort nämnarna)

3 4

4 (2x - 5) + 3x = 24 (Bortskaffa parentesen)

8x - 20 + 3x = 24 (Variablerna till vänster och konstanterna till höger)

11x = 24 + 20

11x = 44 !! :11 (Dividera bort koefficienten framför x )

x = 4

Ex 2

27 t

---- = ---- (Ekvationen är en analogi => korsvis multiplikation)

4,5 2

4,5t = 27 * 2 !! :4,5 (Dividera bort koefficienten framför variabeln t )

27 * 2

t = --------

4,5

t = 12

Speciella ekvationer

Vid sammanslagning av termer kan den obekanta termen försvinna

1. 0x = b dvs. 0 = b Ekvationen saknar lösning
2. Om b = 0 får vi 0x = 0 dvs, 0 = 0 Ekvationen satisfieras av alla tal

PRAO VECKA 39-40

PROV Tisdagen den 20.9.2016

• Kap 1.1 Funktioner (sidorna 6-13)
• Kap 1.2 Samband i koordinatsystem (sidorna 14-21)
• Kap 1.3 Linjens ekvation (sidorna 22-29)
• Kap 1.4 Linjens ekvation i allmän form (sidorna 30-37)
• Kap 1.6 Att rita och tolka grafer (sidorna 48-59)
• Kap 1.7 Repetition, berörda kapitel (sidorna 60-63)

MATTE VECKA 37

Kapitel 1.6 Att rita och tolka grafer (sidorna 48-59)

Sambandet mellan många fenomen i det dagliga livet kan åskådliggöras med en funktionsgraf. Grafen behöver inte vara en linje.

Funktionsvärde

y

^

I

I

I

------------------> x Variabelvärde

• I en graf kan man bestämma variabelvärdet och motsvarande funktionsvärde
• Man kan avläsa funktionsvärdet för en viss variabel
• Man kan avläsa variabelvärdet för ett viss funktionsvärde

En funktions extremvärde

• Funktionen har sitt minsta värde i grafens lägsta punkt
• Funktionen har sitt största värde i grafens högsta punkt

En funktions nollställen

• En funktions nollställen är de värden på variabeln x där f(x) = 0 (skärningspunkten med x-axeln)

Växande och avtagande funktion

• En funktion är växande för de x-värden som dess graf stiger när man får från vänster till höger
• En funktion är avtagande för de x-värden som dess graf sjunker från vänster till höger

MATTE VECKA 36

Kapitel 1.4 Linjens ekvation i allmän form (sidorna 30-37)

• y = kx +b (linjens ekvation i k-form)
• ax + by + c = 0 (linjens ekvation i allmän form)

Ex 1

Lös ekvationen x + y = 5 med avseende på y

x + y = 5

y = -x + 5

Funktionen x + y = 5 har som graf linjen y = -x + 5

Ex 2

Lös ekvationen 2x -y = 1 med avseende på y

2x - y = 1

-y = -2x + 1 !! : (-1)

y = 2x - 1

Ekvationen kan skrivas i formen y = 2x - 1, och dess graf är då på en linje med riktningskoefficienten 2 ( 2/1). Linjen skär y-axeln i punkt (0, -1)

En punkt på en linje

Koordinaterna för alla punkter på en linje satisfierar linjens ekvation

• En linje bildas av alla punkter som satisfierar linjens ekvation

Ex 3

Undersök om punkterna (2, -1) ligger på linjen 2x + y = 3

2x + y = 3 (Sätt in koordinaterna för punkten (2, -1) i linjens ekvation)

2 * 2 + (-1) = 3

4 - 1 = 3

3 = 3 (Sant, punken (2, -1) satisfierar ekvationen 2x + y = 3, dvs. den ligger på linjen

En linjes nollställe

En linjes nollställe är det x-värde där linjen skär x-axeln. I nollstället är y:s värde noll

Ex 4

Bestäm nollstället för linjen y = 2x + 4 genom att beräkna

Vi ersätter y i ekvationen med 0 och löser den

2x + 4 = 0

2x = -4 !! : 2

x = -2 ( Linjens nollställe är x = -2)

Undersök en linje

Ex 5

Bestäm riktningskoefficienten för linjen 4x - 2y = 8, linjens och y-axelns skärningspunkt och linjens nollställe.

4x - 2y = 8

- 2y = -4x + 8 !! : (-2)

y = 2x - 4 (Linjens riktningskoefficient är 2 och linjens och y-axelns skärningspunkt är (0, -4)

Linjens nollställe:

2x - 4 = 0 (Sätt y = 0)

2x = 4 !! : 2

x = 2 ( Linjen har nollstället x = 2)

Nyttiga länkar:

MATTE VECKA 35

Kapitel 1.3 Linjens ekvation (Sidorna 22-29)

Ekvationen för en linjär funktion kallas linjens ekvation. Ekvationen visar variabeln y som en funktion av variabeln x i formen y = kx + b, där bokstäverna k och b står för något tal. Genom att se på linjens ekvation kan man utläsa linjens lutning och placering i koordinatsystmet.

Riktningskoefficient

Talet k framför variabeln x i ekvationen y = kx +b kallas riktningsskoefficient

• En linje är stigande om riktningskoefficienten k i ekvationen y = kx + b är positiv
• En linje är fallande om riktningskoefficienten k i ekvationen y = kx + b är negativ

Parallella linjer

• Linjer som har lika stora riktningskoefficienter är paralleella

Ex 1

Linjerna y = 2x - 4, y = 2x - 2, y = 2x, och y = 2x + 3 är parallella linjer

Konstant term

• I linjens ekvation ekvation y = kx + b anger konstanttermen linjens skärningspunkt med y-axeln
• Ekvationen för en linje genom origo har formen y = kx

Ex 2

Linjen y = 1/2 x +1 har riktningskoefficienten 1/2 och skär y-axeln i punkten (0, 1)

x y = 1/2 x +1

======================

-2 y = 1/2 * (-2) +1 = 0

0 y = 1/2 * 0 +1 = 1

2 y = 1/2 * 2 + 1 = 2

Beräkna riktningskoefficienten

differensen mellan y-koordinaterna

Riktningskoefficienten k = ------------------------------------------------

differensen mellan x-koordinaterna

Ex 3

Riktningskoefficienten för en linje som går igenom punkterna (1, -2) och (3, 4) beräknas på följande sätt:

4 - (-2) 4 + 2 6

k = ---------- = -------- = ---- = 3

3 - 1 3 - 1 2

Linjer som är parallella med koordinataxlarna

• Om riktningskoefficienten är noll i ekvationen y = kx + b, så blir ekvationen y = b. Linjen är då vågrät, dvs. den är parallell med x-axeln. Varialben y:s värde är hela tiden detsamma
• Om linjen är parallell med y-axeln så är x:s värde detsamma oberoende av värdet på y. En lodrät linje har ekvationen x = a.

Bestäm en linjes ekvation eller rita en linje

En linje är entydigt bestämd om man känner till dess riktningskoefficient och dess konstantterm

• Sök först fram konstanttermen i ekvationen och sätt in i koordinatsystemet (skärningspunkten med y-axeln)
• Använd trappstegsmetoden nedan för riktningskoefficienten k:
• Konstanten k skall vara i bråkform ( 3 = 3/1, 1 = 1/1, 0,25 = 1/4, 0,5 = 1/2)

Î (förflyttning i y-axelns riktning + (uppåt) eller - (neråt))

Trappstegsmetoden: k = --------

--> (förflyttning i x-axelns riktning (till höger))

Nyttiga länkar:

MATTE VECKA 34

Kapitel 1.2 Samband i koordinatsystem (Sidorna 14-16 & 18-21)

Vi betecknar ofta funktionsvärdet med variabeln y. I stället för att tala om funktionsuttrycket talar vi om ekvationen för sambandet mellan x och y

Funktionsvärde

y

^

I

I

I

------------------> x Variabelvärde

Ex 1:

• Beräkna y-värdet i ekvationen y = 2x + 1 då värdena på x är -1, 0 1 och 2
• Märk ut talparet (x,y) i ett koordinatsystem. Punkterna kommer att bilda en linje

Lösning:

x y = 2x +1 (x,y)

=============================

-1 2 * (-1) + 1 = -1 (-1,-1)

0 2 * 0 + 1 = 1 (0,1)

1 2 * 1 + 1 = 3 (1,3)

2. 2 * 2 + 1 = 5 (2,5)

Grafen till en funktion

Ekvationer med variablerna x och y anger vad funktionsvärdet y är för variabelvärdet x. Mot varje x-värde svarar ett y-värde. Då vi prickar in alla talpar (x,y) i ett koordinatsystem får vi funktionens graf.

Ex 2:

• En funktion definieras med hjälp av ekvationen y = -2x + 3. Man kan rita funktionens graf då x får alla reella tal.
• Grafen kommer att beskriva en linje (som lutar åt vänster)

x y = -2x + 3

=====================

-1 -2 * (-1) + 3 = 5

0 -2 * 0 + 3 = 3

1 -2 * 1 + 3 = 1

2 -2 * 2 +3 = -1

Linjär funktion

Grafen till en funktion y = -2x + 3 är en linje. Talet -2 och 3 kan bytas ut mot vilket tal som helst, och grafen är ändå alltid en linje. En sådan funktion kallas för en linjär funktion. En linjär funktion kan allmänt skrivas y = kx + b. För att rita en linje räcker det med att bestämma koordinaterna för minst två punkter på linjen.

Ex 3:

y = 1/2 x - 2

x y = 0,5x - 2

===================

0 0,5 * 0 - 2 = -2

2 0.5 * 2 - 2 = -1

4 0,5 * 4 - 2 = 0

• Man väljer x-värden som gör att y-värdena är lätta att beräkna
• Linjen kommer att luta åt höger
• Från linjen kan man avläsa t.ex. y-värdet då x = 0, y-värdet då x = 4, x-värdet då y = -2 och x-värdet då y =0

Nyttiga länkar:

• Koordinatsystem och grafer

MATTE VECKA 33

Kapitel 1.1. Funktion (Sidorna 6-13)

Teori för funktionen

• Två storheter kan bero av varandra, så att då vi vet den ena storhetens värde kan vi beräkna värdet av den andra.
• Ett sådant samband mellan två storheter kallas en funktion.

Ex 1:

• Priset på ett mobilsamtal beror på samtalets längd i minuter, dvs. priset är en funktion av tiden. Om minutpriset är 8 cent så kostar ett 10 minuters samtal 8 x 10 cent = 80 cent
• På motsvarande sätt kostar ett 25 minuters samtal 8 x 25 cent = 200 cent = 2,00 €.

Funktionsmaskinen

• Funktioner kan åskådliggöras med hjälp av en funktionsmaskin. Då funktionsmaskinen matas med något tal, räknar maskinen ut ett funktionsvärde enligt en given regel.

F(x) = x + 3

Variabel. Funktionsuttryck

En funktions värde

f(x) = x + 3

f(5) = 5 + 3 = 8

f(-3) = -3 + 5 = 2

Skriv uttryck för en funktion

Man kan ofta resonera sig till uttrycket för en funktion om man känner till tillräckligt många variabelvärden och motsvarande funktionsvärden.

x f(x)

0 0

1 3

-1 -3

5 15

Funktionsvärder f(x) får vi genom att multiplicera variabelvärdet x med talet 3, dvs. f(x) = 3x

Nyttiga länkar:

• Funktioner

EXTRA:

Omvänd proportionalitet

• Två storheter är omvänt proportionella om den ena storhetens värde ökar i samma förhållande som den andra storhetens värde minskar
• " Ökar den ena storheten så minska den andra / Minskar den ena storheten så ökar den andra"

Ex 2

Vi undersöker en rektangel vars area är 6 kvadratcentimer. Rektangelns bas och höjd är omvänt proportionella storheter. Basen (x) * höjden (y) = arean: xy = 6 dvs. y = 6/x

Bas (cm) Höjd (cm) Basen * höjden (cm^2)

x y xy

============================================

0,5 12 0,5 * 12 = 6

1 6 1 * 6 = 6

2 3 2 * 3 = 6

3 2 3 * 2 = 6

4 1,5 4 * 1,5 = 6

6 1 6 * 1 = 6

12 0,5 12 * 0,5 = 6

• Om basen dubbleras ( 2*1=2) så halveras höjden (6/2=3)
• Om basen halveras (4/2=2) så dubbleras höjden (1,5*2=3)

Om man prickar in talparen (x,y) i ett koordinatsystem och utökar antalet punkter får man en kurva som beskriver det omvänt proportionella sambandet mellan basen och höjden.

Produkten av omvänt proportionella storheter är alltid densamma. Grafen beskriver en böjd kurva som börjar nära y-axeln, böjer sig och närmar sig x-axeln.