Example 3 (Linear Algebra)

1. กำหนดให้

i) จงหาค่าเจาะจง (eigenvalues) ทั้งหมดของ A พร้อมทั้ง เวกเตอร์เจาะจง (eigenvectors) ที่สมนัยกับค่าเจาะจงดังกล่าว

ii) จงหา เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์ส P และเมทริกซ์ทแยงมุม D ที่ทำให้

i) Sol

Find the characteristic polynomial of A

Find the eigenvalues of A

The roots of the characteristic polynomial of A are the eigenvalues of A.

Find an eigenvector of A belonging to the eigenvalue

Substitute in to obtain the matrix

The eigenvectors belonging to form the solution of the homogeneous system

That is

The system has only one independent solution:

We choose

Thus,

is an eigenvector which spans the eigenspace of

Find an eigenvector of A belonging to the eigenvector

Substitute in to obtain the matrix

The eigenvectors belonging to from the solution of the homogenous system

The system has only one independent solution, we choose

Thus,

is an eigenvector which spans the eigenspace of

ii) The matrix A is now diagonalized as