Прямая и обратная задача кинематики роботов

Задачи кинематики

Изучение кинематики роботов манипуляторов заключается в установлении свойств функций, задающих положение, скорость, ускорение различных точек роботов, в зависимости от времени или каких-либо других параметров. При этом рассматриваются только геометрические соотношения между функциями без учёта сил, действующих на роботы.

При планировании траекторий и управлении движением роботов требуется решать прямую и обратную задачи кинематики. Cформулируем постановки этих задач без рассмотрения скоростей и ускорений точек. В литературе [16] такие задачи называются позиционными.

Пусть положение робота определяется обобщёнными координатами q_i, i = 1-n. Схват манипулятора или инструмент, удерживаемый схватом, будем называть рабочим органом и считать его абсолютно твёрдым телом, положение которого в пространстве задаётся в общем случае шестью [17] независимыми параметрами x_i, i = 1−6, параметрами локации рабочего органа.

Прямая задача кинематики заключается в нахождении параметров локации рабочего органа x_i, i = 1−6, по обобщённым координатам q_i, i = 1-n, робота, т.е. в установлении зависимо

X = X(Q),

X =( x₁, ...,x₆)^T, Q =( q₁, ...,q_n)^T, T - знак транспонирования. Здесь и далее векторы и матрицы обозначены прямым полужирным шрифтом.

Эта задача может быть решена как задача преобразования системы координат, связанной с абсолютным пространством, к системе координат, закреплённой на рабочем органе. При этом часто на практике используются квадратные четвёртого порядка матрицы однородных преобразований, зависящие от параметров Денавита-Хартенберга [16,18-20]. Однако такой способ является неэффективным в вычислительном отношении, т.к. требует выполнения значительного числа математических операций. В некоторых случаях решение прямой задачи кинематики может быть получено геометрически в явном виде без использования матриц преобразования координат.

Обратная задача кинематики состоит в нахождении обобщённых координат q_i, i = 1-n, по параметрам локации рабочего органа x_i, i = 1−6. Решение этой задачи имеет вид

Q=Q(X).

Трудность решения обратной задачи кинематики обусловлена нелинейностью уравнений, которые могут быть совместны, определённы, неопределённы, несовместны. При этом наличие точного решения является преимуществом, позволяющим получать всё множество решений, а также строить эффективные по времени алгоритмы управления. Точное решение существует лишь для отдельных типов конструкций [21], в остальных случаях решение следует искать с помощью приближённых численных методов.

В учебном процессе кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин НИУ МЭИ используется мобильный манипулятор KUKA youBot с открытым программным обеспечением [22], предназначенный для образовательных и исследовательских целей. Этот робот представляет собой снабжённую колёсами всенаправленного движения (меканум колёсами) управляемую платформу, на которой установлен пятиосный манипулятор рис. 15.

Рис.15 Мобильный манипулятор KUKA youBot

В общей постановке обратной задачи кинематики считаются заданными в виде функций времени все шесть параметров локации рабочего органа. Положение в абсолютном пространстве KUKA youBot как механической системы, состоящей из платформы и руки, определяется восемью обобщёнными координатами. Решение обратной задачи кинематики при этом зависит от двух свободных неизвестных. KUKA youBot поэтому является кинематически избыточным роботом [16,18-20], у которого число обобщённых координат превосходит число уравнений обратной задачи кинематики. Кроме того, известно [23,24], что обратная задача кинематики этого мобильного манипулятора имеет точное решение. При этом фиксированному положению рабочего органа и фиксированным значениям каких-либо двух обобщённых координат его платформы соответствуют, вообще говоря, четыре конфигурации звеньев руки [25].

Далее рассмотрим решение прямой задачи кинематики для KUKA youBot.