Геометрическая интерпретация стационарных движений

Известно [8], что в рассматриваемой задаче о качении без проскальзывания диска по неподвижной шероховатой плоскости, имеются три интеграла с₁, с₂, h, h - интеграл энергии. Множество стационарных движений диска может быть представлено в виде поверхностей в пространстве с₁, с₂, h или с₁, с₂, θ₀, называемыми диаграммами Смейла и Пуанкаре-Четаева соответственно [13,14,15].

Геометрическая интерпретация стационарных движений диска может быть дана также [12] в пространстве параметров θ₀, ωφ₀, ωψ₀. Уравнение (20) определяет в переменных ωφ₀, ωψ₀,θ₀ поверхность стационарных движений диска, показанную на рис. 9. Сечениями этой поверхности плоскостями θ₀ ≠ π/2 являются гиперболы, соответствующие качению по окружностям (прецессиям). Сечение поверхности плоскостью

θ₀ = π/2 представляет собой пару перпендикулярных прямых ωφ₀ = 0, ωψ₀ = 0, которым отвечают верчение и качение диска по прямой. Точка пересечения этих прямых - состояние покоя диска, при котором его плоскость вертикальна.

Рис. 9. Поверхность стационарных движений диска

Условие равенства нулю коэффициента a характеристического уравнения (17):

а = 12 ωφ₀²+ 5 ωψ₀² + 14 ωφ₀ ωψ₀ cos θ₀ - 4 sin θ₀ = 0 (30)

также определяет показанную на рис. 10 поверхность, разделяющую пространство параметров θ₀, ωφ₀, ωψ₀ на область устойчивых, вне поверхности (30), и неустойчивых, внутри поверхности (30), стационарных движений. Область внутри "восьмёрки", закрашенная розовым цветом, на рис. 7 представляет собой проекцию поверхности (30) на координатную плоскость О θ₀ ωψ₀.

Рис. 10. Поверхность нулевого значения коэффициента a

На рис. 11 поверхности (20) и (30) изображены вместе. На рис. 12 внутри поверхности (30) видна область поверхности (20), соответствующая неустойчивым стационарным движениям диска.

Рис. 11. Поверхность стационарных движений диска (жёлтый цвет) и поверхность нулевого значения коэффициента a (синий цвет)

Рис. 12. Область поверхности стационарных движений диска (жёлтый цвет) внутри поверхности нулевого значения коэффициента a (синий цвет)

На рис. 13 показана линия пересечения этих поверхностей (толстая чёрная замкнутая линия) на поверхности (20). Точки поверхности (20), расположенные в области, внешней по отношению к указанной линии, соответствуют устойчивым стационарным движениям, точки поверхности (20) во внутренней области - неустойчивым.

Рис. 13. Линия пересечения поверхности стационарных движений диска и поверхности нулевого значения коэффициента a (толстая чёрная замкнутая линия) на поверхности стационарных движений диска (жёлтый цвет)