Введение

Дорогие посетители сайта!

Приветствуем Вас на сайте, созданном с целью демонстрации возможностей современных компьютерных технологий в области теоретической механики и необходимости тщательного контроля исследователем всех этапов решения задачи.

Видеофрагмент 1. Качение круглого диска по шероховатой плоскости

Одним из мощнейших в современной науке является метод математического моделирования, позволяющий создавать и анализировать математические аналоги реальных объектов. Первые модели, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях, появились в небесной механике. По решениям этих уравнений были сделаны удивительно точные предсказания движения небесных тел, включая столь волнующие события, как солнечные и лунные затмения. Этот научный подход открыл новую страницу в истории человечества.

С развитием механики и математики расширялись возможности изучения природных и технических систем, совершенствовались методы анализа теоретико-механических моделей. В настоящее время математическое моделирование и компьютеры являются одними из определяющих факторов научно-технического прогресса. С помощью компьютера можно строить сложные виртуальные аналоги различных систем, описывать движение этих систем, и тем самым предсказывать их будущее поведение, возможные свойства, недостатки и достоинства. Умение проводить аналитический, численный и графический анализ с использованием компьютерных методов - обязательное качество любого квалифицированного исследователя окружающего нас мира.

Компьютер – превосходный инструмент в руках учёного, инженера, аспиранта, студента, школьника, позволяющий решать всё более сложные, глубокие, многопараметрические задачи и представлять результаты решения в разнообразных формах. Весьма важным стал относительно новый этап создания анимации движений виртуальных объектов и наблюдения влияния различных параметров на вид самих движений и характеризующих их объектов. Современный инструментарий компьютерной математики составляют мощные математические системы, широко применямые в исследовательской и образовательной деятельности. Приведённые здесь результаты получены с помощью системы компьютерной алгебры Mathematica 7.

В видеофрагменте 1 представлено качение без скольжения однородного круглого диска по горизонтальной неподвижной абсолютно шероховатой плоскости.

Движение соответствует частному решению уравнений динамики диска при следующих значениях параметров

m = 10 кг, ρ = 5,5 м, g = 9,8 м∙с^{- 2}, x₀ = y₀= ψ₀ = φ₀ = 0, θ₀ = 1,918, ψ'₀ = 0,6 с^{- 1}, θ'₀ = 0,718 с ^-1,

φ'₀ = 0,0287 с^-1.

Здесь m, ρ - масса и радиус диска, g - ускорение свободного падения, x₀,y₀, ψ₀, θ₀, φ₀ - начальные значения координат центра масс диска, углов прецессии, нутации и собственного вращения диска (системы координат введены на странице Диск на шероховатой плоскости ) соответственно, ψ'₀,θ'₀,φ'₀- начальные значения угловых скоростей прецессии, нутации и собственного вращения диска.

На правом графике строится нормальная реакция плоскости R_n в точке контакта диска и плоскости. Неотрицательное значение R_n показывает, что наблюдаемое движение физически реализуемо.

Важно помнить, что создавая ту или иную виртуальную модель легко переступить границу между реальностью и математическим упражнением, лишенным физического смысла (очень часто исследователь даже не замечает этого перехода). В видеофрагменте 2 показано физически нереализуемое качение однородного круглого диска по горизонтальной неподвижной абсолютно шероховатой плоскости при следующих значениях параметров

m = 10 кг, ρ = 5,5 м, g = 9,8 м∙с^{- 2}, x₀ = y₀= ψ₀ = φ₀ = 0, θ₀ = 1,8644, ψ'₀ = 1,4 с^{- 1}, θ'₀ = 0,086 с ^-1,

φ'₀ = 1,2 с^-1.

Видеофрагмент 2. Физически нереализуемое качение круглого диска по шероховатой плоскости

Числовые значения параметров в рассмотренных примерах выбраны с целью создания выразительных иллюстраций.

Авторы будут благодарны за замечания и предложения по улучшению сайта.

Сайт разработан в 2011 году при поддержке гранта РФФИ 09-01-00593а.

Редакция сайта произведена в 2017 году при поддержке гранта РФФИ 16-01-00429.

При использовании материалов данного сайта ссылка обязательна.