En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real

con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes,

. Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es

La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:

Donde i es la unidad imaginaria.

Representación gráfica en la recta

Coseno de una suma o resta de ángulos

• • Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:

• • Por igualación se define que

• • Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir

• • Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda

• • Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro

• • Simplificando nos queda la identidad trigonométrica

Coseno de la suma de dos ángulos

• • Si hacemos

• • obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale

Forma resumida

Coseno de un ángulo doble

Tenemos que

Hagamos

Entonces

Coseno del ángulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea

Como

la podemos escribir como

Sea

Entonces obtenemos

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

Transformación de una suma de cosenos en producto

Demostración

Sabiendo que

Entonces

Hagamos

y

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

Reemplazando se obtiene

Análogamente se demuestra para

Derivada del coseno

Según la definición de derivada:

lo que es

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

Sabiendo que y que el primer límite queda determinado, entonces