SOLUCIONES DE NÚMEROS
1. NINGÚN Nº PRIMO. 201, 202, ..., 210. Otras: 321, 322, ..., 330 y 511, 512, ..., 520.
2. FRACCIONES EXTRAÑAS. Quitando en cada caso, el número repetido, el resultado es el mismo: 19/95=1/5; 26/65=2/5; 16/64=1/4.
3. TODOS LOS PRIMOS. a) Termina en 0, porque P tiene los factores 2 y 5. b) La cifra de las decenas es impar; porque si fuera par, P sería múltiplo de 4, lo que es imposible.
4. ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9.
5. DIVISIONES EXACTAS. 7 x 11 x 13 = 1001 > 234 x 1001 = 234234 > 234234 : 1001 = 234. Es decir, las dos únicas operaciones que hacemos son: 1ª) Multiplicar por 1001 el número de partida. 2ª) Dividir por 1001 de forma disfrazada. Obviamente debe dar el número de partida.
abcabc = abc x 1001; abcabc/7x11x13 = abcabc/1001 = abc.
6. LA BASE DESCONOCIDA. Sea b la base desconocida. 2b²+5b+3=136. Resolviendo b=7.
7. MENOR NÚMERO. Sea n el número desconocido. Ya que n dividido por 2 da resto 1, n+1 es divisible por 2, ya que al dividir n por 3 da resto 2, n+1 es divisible por 3, etc. De la misma manera, n+1 es divisible por 4, 5 y 6. Ahora bien, el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 es 60. Así: n+1=60. Luego n=59.
8. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. 219, 438, 657.
9. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 3.024 no acaba ni en 0 ni en 5; luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. Si los números fueran mayores que 10, el producto sería mayor que 10.000. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9.
10. EL MENOR CON X DIVISORES. Con 7 divisores 64. Con 8 divisores 24.
11. LA CIFRA BORROSA. El resultado es múltiplo de cada uno de los factores. En particular de 11. Si aplicamos el criterio de divisibilidad por 11:
Suma de las cifras pares: 3+7+7+3+8+0 = 28
Suma de las cifras impares: 1+0+X+4+6+0+0+ = 11+X
La diferencia de estas cantidades ha de ser 0, 11 o múltiplo de 11, la única posibilidad es que X=6.
Podríamos haber utilizado los criterios de divisibilidad por 3 o por 9; pero con ellos no siempre la solución es única.
12. ACERCA DE LOS PRIMOS. Formando el factorial de 11, tenemos que: 11!+2 es divisible por 2, 11!+3 es divisible por 3, ..., 11!+10 es divisible por 10, 11!+11 es divisible por 11, ya que el factorial de 11 es divisible por 2,3,...,11, al ser factores suyos. Por lo tanto una solución (hay infinitas), es: 39916802, 39916803, ..., 39916811.
13. EL GRAN DESFILE. Hay que hallar el menor número que tiene exactamente 64 divisores. El menor número es 7560 soldados. 7560 = 23 33 5 7. El número de divisores es: (3+1)(3+1)(1+1)(1+1) = 4 4 2 2 = 64.
14. CON 4 TRESES.
1 = 33/33 = 3-3+3/3,
2 = 3/3+3/3,
3 = (3+3+3)/3,
4 = (3x3+3)/3,
5 = 3+(3+3)/3,
6 = 3+3+3-3=(3+3)x3/3,
7 = 3+3+3/3,
8 = 33/3-3,
9 = 3x3x3/3,
10 = 3x3+3/3.
15. CON 4 CINCOS.
1 = 55/55 = 5-5+5/5,
2 = 5/5+5/5,
3 = (5+5+5)/5,
4 = (5x5-5)/5,
5 = 5+(5-5)/5,
6 = (5x5+5)/5,
7 = 5+(5+5)/5,
8 = 5!/(5+5+5),
9 = 5+5-5/5,
10 = (55-5)/5.
16. ESCRITURA DEL CIEN (1).
100 = 111-11+1-1+1-1
100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2
100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3)
100 = 444:4-4-4-4+(4:4)
100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5
100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)]
100 = 7x7x (7+7):7+(7:7)+(7:7)
100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)]
100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9)
17. EL MAYOR PRODUCTO. Por ensayo y error se llega a 631 x 542.
18. SUMA POR PRODUCTO. 29.400 = 24 25 49. Los números buscados son 24 y 25.
19. BUSCANDO UN DIVISOR. Las condiciones son sencillas, pero la tarea es terriblemente complicada. Solamente tiene dos divisores: 2.071.723 y 5.363.222.357, y su descubrimiento es una tarea sumamente ardua.
20. MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. Hay que recordar el criterio de divisibilidad por 11. Un número que cumpla el enunciado es, por ejemplo: 415.276.839. Para encontrar el número mayor hay que tratar que la diferencia entre las cifras del lugar impar sea 0, (que no se puede) u 11. Así sale: 987.652.413. De forma similar el más pequeño es: 123.475.869.
21. EL NUMERO 1.089. Si las cifras del número inicial son a, b y c, con a mayor que c. Dicho número es: 110a+10b+c. Al invertir las cifras se obtiene: 100c+10b+a. Restándolos se obtiene:
100a-100c+c-a = 100a-100c-100+90+10+c-a = 100(a-c-1)+90+(10+c-a)
Invirtiendo sus cifras se obtiene: 100(10+c-a)+90+(a-c-1)
Sumando los dos últimos sale: 900+180+9 = 1.089.
22. EL NÚMERO MÁGICO 495. Se obtiene el número 495. Con dos cifras se obtiene el 9. Con cuatro cifras se obtiene el 6.174. La razón ..........
23. EL MÁGICO NUMERO 68. ......
24. SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS.
49999/99998 = 4999/9998 = 499/998 = 49/98 = 4/8 = 1/2.
16666/66664 = 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4.
9999/99995 = 1999/9995 = 199/995 = 19/95 = 1/5.
Sea n el número de las cifras b de la fracción.
El numerador de la primera fracción es:
a 10n + b (10n-1 + 10n-2 + ... + 1) = a 10n + b (10n-1)/9
El denominador de la primera fracción es:
b (10n + 10n-1 + ... + 10) + c = b 10 (10n-1)/9 + c
Transportemos a la fracción e igualemos los productos de los extremos y de los medios:
a 10n c + b (10n-1)/9 c = b 10 (10n-1)/9 a + c a
9ac = 10ab - bc ===> b = 9ac/(10a-c) es la relación buscada.
Curiosidad que viene a cuento: Simplificando la fracción (a2-b2)/(a-b) de la forma que suelen hacer algunos alumnos: «a2 entre a es a, menos entre menos es + y b2 entre b es b» se obtiene el resultado correcto (a+b).
25. CURIOSA PROPIEDAD (1). El 26 y el 27. 263=17.576. 273=19.683.
26. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 3=17469/5823, 5=13485/2697, 6=17658/2943, 7=16758/2394, 8=25496/3187, 9=57429/6381.
27. CURIOSA PROPIEDAD (2). El 11 y el 22.
28. DELANTE Y DETRÁS. 8 x 86 = 688.
1639344262295081967213114754098360655737704918032787 x 71 =
116393442622950819672131147540983606557377049180327877.
Los números 83, 86 y 71 son los únicos multiplicadores de dos dígitos que cumplen la condición, aunque el multiplicando puede aumentarse. Así, si prefijamos a 41096 el número 41095890, repetido cualquier número de veces, el resultado puede siempre multiplicarse por 83 de la forma dicha.
31. ESCRITURA DEL CIEN (2).
111 - 11 = 100
33 x 3 + (3:3) = 100
5x5x5 - 5x5 = (5+5+5+5) x 5 = 100
34. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. ...
35. ERROR MECANOGRÁFICO. 2592 = 2592.
Sea N=acba.
a=1 se puede rechazar. a=2 daría: 2bc2=2bc2.
Hágase la tabla de las primeras nueve potencias de 2 y los cuadrados de los primeros nueve números. El producto de los distintos elementos de las dos tablas ha de dar cuatro cifras y debe terminar en 2. Sólo se halla la solución: 2592 = 2592.
Para a=3 se comprueba rápidamente que no tiene solución.
36. AÑO DE NACIMIENTO. Sea mcdu es el año de nacimiento.
1000m + 100c + 10d + u - (m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9.
37. MÚLTIPLO DE 9. Ninguna. Es una propiedad general de los números naturales.
Veamos para uno de tres cifras abc: 100a+10b+c-a-b-c=99a+9b=9(11a+b).
38. FECHAS INDETERMINADAS. Cada mes tiene 11 fechas ambiguas (pues la fecha 8-8-77 no es ambigua, por lo que en total hay 11x12=132. [La fecha 8-8-77, también podría considerarse «ambigua», porque no se sabe si el primer 8 significa mes o día. En este caso la solución sería 12x12=144]
39. OBREROS DE SIEMPRE. Por lo que hace a los restos, serían posibles estas soluciones: 82-18, 47-53, 12-88.
La desigual distribución impide las soluciones extremas. Así: 47-53 es la buscada.
40. VENTA DE PELOTAS. El número 60.377 ha de ser el producto del número de pelotas vendidas, por el precio de cada una, que será inferior a 200. Por consiguiente, hay que buscar un divisor de 60.377 menor que 200. Ahora bien, la última cifra del importe total siendo un 7 ha de provenir del producto de 1x7 ó de 3x9. No tenemos más que buscar algún número primo que termine en cualquiera de estas cifras, divida a 60.377 y sea menor que 200. El único es 173, y, por tanto, el número de pelotas vendidas 349.
El problema hubiera sido indeterminado, si los factores primos del número dado hubiesen sido más numerosos y tales que dos al menos fuesen inferiores a 200.
41. EL NÚMERO MÁGICO 481. Se obtiene el número ababab. Siendo ab el número de dos cifras de partida.
42. CUADRADO PERFECTO. En todo sistema de numeración de base mayor que 2, el número 121 es cuadrado perfecto. En cualquiera de estas bases 11x11=121.
43. EL MENOR TRIPLETE. 1, 5, 7.
44. QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Para que la cifra final sea un 7 ha de serlo la del número buscado. El único número acabado en 7 que elevado a 5 da un resultado de 7 cifras es 17. [Hay que hacer notar que todo número elevado a la 5ª potencia da un resultado cuya última cifra es la misma que la de su base]
45. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. En 9, ya que las potencias de 7 acaban en 7, 9, 3 ó 1, repitiéndose las terminaciones cada 4 factores. Dividiendo 87578 entre 4, como el resto es 2, quiere decirse que la potencia buscada acaba en 9.
46. TRES AGUJAS EN UN PAJAR. No tres, sino un número infinito que cumplan tal condición:
999.999, 999.999.999, 999.999.999.999, etc.
47. CABRAS Y OVEJAS. 9 cabras y 9 ovejas. Su producto 81, se transforma en el espejo en 18, que es el número de animales del rebaño.
48. A²+2=B3. 5² + 2 = 33. Fermat demostró que es la única solución.
49. EL CORRAL DE PALOMO. El señor Palomo debe haber tenido 8 ovejas en su rebaño. Ocho postes dispuestos en un cuadrado tendrán la misma superficie que diez postes dispuestos en un rectángulo con cinco postes en el lado más largo y dos en el lado más corto.
50. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.
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