a hangolás az egy nagyon bonyolult dolog. definícióként valami olyasmivel próbálkoznék, hogy
,,a hangolás feladata, hogy a darabban szereplő hangok frekvenciáját meghatározza''.
ebbe az is beleértendő, hogy az azonos nevű hangok is lehetnek különböző frekvenciájúak. namost egy lehetséges követelmény, hogy szolfézsilag legyen korrekt a dolog, azaz azonos nevű hangoknak legyen azonos a frekvenciája és azonos hangközök legyenek egyenlőek. másmilyen (egyáltalán nem precíz) követelmény, hogy úgy körülbelül akkorák legyenek a hangközök, amikhez hozászoktunk. ezt valamelyest precízebbé lehet tenni, ha a felhangsorhoz mérünk, és azt mondjuk, hogy az oktáv legyen kb. 2, a kvint kb. 3/2, a kvart kb. 4/3, a nagy terc kb. 5/4, a kis terc kb. 6/5. a legegyszerűbb hangolások úgy működnek (a fentieket betartva), hogy a hangközöket határozzák meg; ezután egy hang frekvenciájának megválasztásával (pl. a1=440Hz) minden hang teljesen meghatározott.
nem mennék bele a matematikába, de tény az, hogy ha a fenti követelményeknek mind meg akarunk felelni, akkor két hangköz meghatározásából már kijön a többi is. a dolog annyival bonyolultabb, hogy nem biztos, hogy akármelyik két hangköz alkalmas, de néhány gyakorlatban alkalmazható példa:
t8,t5
b1,k2
k3,n3
végül, ha a mai zongorabillentyűzetre gondolok, akkor az is követelmény, hogy az enharmonikus hangközök egyenlőek legyenek. node nem muszáj zongorán játszani, és nem muszáj az összes követelményt tökprecízen betartani.
először tekintsünk olyanokat, ahol egyforma hangközök egyenlőek, és a t8,t5 párt fogom használni. néhány fontos hangköz a következőképpen számítható:
t4 = t8-t5
n2 = t5-t4
n3 = 2n2
k3 = t5-n3
k2 = t4-n3
b1 = n3-k3
(matematikai kitérő: mivel a hangközt a frekvenciaARÁNY jellemzi, ezért ha két hangköz összegének frekvenciaarányát akarod kiszámítani, akkor az egyes hangközök frekvenciaarányát össze kell szorozni; különbség kiszámításához osztani kell; ha pl. négy kvintet akarsz kiszámítani, akkor a kvint frekvenciaarányát negyedik hatványra kell emelni; ha egy hangköz negyedére vagy kíváncsi, akkor negyedik gyököt kell vonni; és végül ha azt akarod kiszámítani, hogy mondjuk ,,hány kvint egy oktáv'', akkor az oktáv frekvenciaarányának kell a kvintfrekvenciaarány-alapú logaritmusát venni. gyakran szoktak különböző hangközöket centekben kifejezni. egy cent az (akusztikus) oktáv 1200-ad része, azaz az egyenletes félhang százada.)
általában a t8-ot pont 2-nek választják, azaz csak egy ponton változtatgathatunk, hogy mennyi legyen a t5. első nekibuzdulás: pont 3/2. ez az úgynevezett pitagoraszi hangolás. ekkor az enharmonikus hangok nem lesznek egyenlőek, sőt, ha egy hangról elindulunk kvintekkel is meg oktávokkal is, akkor soha nem fog a kettő összeérni, bár helyenként igen közel lesz egymáshoz, sőt, ha elég türelmesek vagyunk, akkor tetszőleges közelséget is lehet találni, ha elég messze megyünk. például elindulok a szubkontra asztól, megyek 12 kvintet illetve 7 oktávot, akkor a következőket kapom:
Asz2 Esz1 B1 F c g d1 a1 e2 h2 fisz3 cisz4 gisz4
1 3/2 9/4 27/8 81/16 243/32 729/64 2187/128 6561/256 19683/512 59049/1024 177147/2048 531441/4096
1 2 4 8 16 32 64 128
Asz2 Asz1 Asz asz asz1 asz2 asz3 asz4
a jelenséget azzal a kifejezéssel szokás illetni, hogy ,,a kvintoszlop nem záródik kvintkörré''. a kettő különbsége (12t5-7t8) a pitagoraszi komma, kb. 23,46 cent, valamivel több, mint egy kilencedhang, de kevesebb, mint egy nyolcadhang.
néhány érdekesség:
b1>k2 (2187/2088 > 256/243; 113,685cent > 90,225cent; kb. 5k2=4b1)
a n3 a híres pitagoraszi terc, 407,82 cent, az akusztikus n3-nél (5/4, 386,31371 cent) az ún. didümoszi kommával nagyobb, melynek értéke 81/80, kb. 21,5 cent. A vele enharmonikus sz4 8192/6561 kb. 384,36 cent, azaz kevesebb mint 2 centtel kisebb az akusztikusnál.
egy másik fontos hangolás, ami ugyanezen elvekre épül: a középhangos. a kvintet nem 3/2-nek választjuk, hanem úgy, hogy a n3 5/4 legyen. mivel 2t8+n3=4t5, 4t5=5, t5=(negyedik gyök öt). mivel ez irracionális, nem írom fel a fenti táblázatot. ebben az esetben 12t5<7t8 (125 < 128), a különbség kicsit több, mint 41 cent (ötödhang), ez már elég sok. a pitagoraszival ellentétben b1<k2, a különbség jóval nagyobb: 76,049 cent < 117,10786 cent; 3b1 kicsit kevesebb, mint 2k2!
(kis kitérő: a középhangos hangoláshoz elég közel áll az egyenletes 31-fokú hangolás, ebben 3b1=2k2, az enharmonikus hangköz nem a szűk szekund, hanem a négyszeresen szűkített terc, a skála egy részlete valahogy így fest:
h cesz hisz c hiszisz=deszesz cisz desz ciszisz d.)
mit tehetünk, ha minden hármashangzatot tisztának akarunk (5/4-es nagyterc, 6/5-ös kisterc, 3/2-es kvint, 2-es oktáv)? meg lehet azt tenni, hogy elkezdjük (tisztán) a darabot, minden akkordváltásnál a közös hango(ka)t megtartjuk, a többit meg a fentiek szerint intonáljuk (felteszem, hogy a darab csupa hármashangzatból áll, és mindig van közös hang). ezzel az a baj, hogy akárhova megérkezhetünk, nagy valószínűséggel lecsúszunk, egy-két oldalanként egy félhangot. tegyük fel, hogy C-dúrról indultunk. vagy egy terccel, vagy egy kvinttel (kvarttal) lépünk odébb (feltettem, hogy van közös hang). az irodalomban általában több az autentikus lépés, mint a plagális, azaz lelépő kvintláncokat (fellépő kvartokat) sokszor nem fellépő kvintlánc, hanem terclépés kompenzál (pl. a-d-G-C-a). a tiszta hangközök meg a közös hangok miatt a második a egy didümoszi kommával lejjebb van, mint az első.
Szemléltető diagram:
fisz cisz gisz disz aisz eisz
d a e h fisz cisz gisz
b f c g d a e h
desz asz esz b f c g
fesz cesz gesz desz asz esz
- irányban (3/2-es) t5-ek vannak,
/ irányban (5/4-es) n3-ek,
\ irányban (6/5-ös) k3-ek.
a rendszer mindhárom irányban végtelen. 2-es oktávokat feltételezve az egyes (vízszintes) sorokban levő azonos nevű hangok között a különbség soronként egy-egy didümoszi komma.
lehetséges megoldások:
nem törődünk az eséssel (amíg bírjuk - hosszabb darabok esetén ez nem olyan biztos).
baromira figyelünk, hogy hol járunk, és néha (pl. nincs közös hang; úgyis meglehetősen disszonáns az akkord) ugrunk a diagram kívánt részére, azaz a kézenfekvő lépés helyett egy (rossz esetben több) kommával nagyobbat (kisebbet) lépünk.
(billentyűs hangszerrel csak ezt tehetjük:) kiválasztunk egy részt (pl.
h fisz cisz gisz
g d a e
esz b f c
), és végig itt maradunk. (ekkor bizonyos akkordok, melyek nem egy kupacban vannak (pl. c-e-g, c-esz-g, e-gisz-h, e-g-h), hamisak lesznek (az enharmonikusokról (h-disz-fisz helyett h-esz-fisz) nem is beszélve).
ezzel érintettük a legfontosabb gyakorlati problémát, a billentyűs hangszerek hangolását. az úgynevezett jóltemperálások kimondottan billentyűs hangolások. gyakran úgy néznek ki, hogy vesznek egy kvintoszlopos hangolást, aztán egyes kvinteket úgy módosítanak, hogy a tizenkét kvint pont hét (2-es) t8 legyen (a kvintoszlop kvintkörré zárul). ha jól tudom és jól emlékszem, a legyakrabban használt ilyen hangolás a Kirnberger III, ahol a pitagoraszi hangolásból indul ki. itt ugye a 12 t5 nagyobb, mint a 7 t8, a pitagoraszi kommával. négy kvintet összébbhúz a pitagoraszi komma negyedével, méghozzá a következőket: f-c, g-d, d-a, a-e. néhány akkord a következőképp alakul (a terc fölé írt szám azt jelzi, hogy a kvint hány centtel tér el a 3/2-estől, az alap és a terc, illetve a terc és a kvint közé írott értelemszerű):
0 0
c e g c esz g
+3,911 -3,911 -15,635 +15,635
-5,865 -5,865
f a c f asz c
+3,911 -8,776 -21,5 +15,635
0 0
b d f b desz f
+9,77 -9,77 -21,5 +21,5
-5,865 -5,865
g h d g b d
+3,911 -8,776 -15,635 +9,77
-5,865 -5,865
d fisz a d f a
+9,77 -15,635 -9,77 +3,911
-5,865 -5,865
a cisz e a c e
+15,635 -21,5 -8,776 +3,911
0 0
e gisz h e g h
+21,5 -21,5 -3,911 +3,911
0 0
desz f asz desz fesz asz
+21,5 -21,5 -21,5 +21,5
más tészta pl. a hárfák hangolása. ugye úgy működik, hogy a húrokat valami diatonikus hangsorra hangoljuk, és ezt gyárilag beállított mértékben lehet egy vagy két félhanggal odébbtenni.
érdekes az érintős hangszerek hangolása, az érintők ugyanis félhangonként követik egymást, de hogy mennyi is ez a félhang, az érintőközönként változhat. ha viszont változik (nem egyenletes hangolást használunk), akkor az akkordjáték problematikus lehet, mert lehet, hogy az egyik húron giszt, a másikon aszt fogunk. ez persze némi odafigyeléssel kikerülhető (azaz úgy kell fogni az akkordokat, hogy ne legyen benne gisz is meg asz is). egy gitárt például be lehet hangolni úgy kvintoszlopokkal, hogy a törzshangok minden húron megvannak (pontosabban be lehetne, ha mozgathatnánk az érintőket, mint egy gambán):
k2 b1 k2 b1 k2 k2 b1 k2 b1 k2 k2 b1
E F Fisz G Gisz A B H c cisz d esz e
A B H c cisz d esz e f fisz g asz a
d esz e f fisz g asz a b h c1 desz1 d1
g asz a b h c1 desz1 d1 esz1 e1 f1 gesz1 g1
h c1 cisz1 d1 disz1 e1 f1 fisz1 g1 gisz1 a1 b1 h1
viszont ekkor nem használható a barré-technika(???).
megemlítek még egy gyakorlati finomságot. a valóságban a felhangok frekvenciaarányai nem egész számokként követik egymást. egy húron pl. a hullámhosszok valóban 1, 1/2, 1/3, 1/4, stb. arányban jönnek, de a frekvencia nem fordítottan arányos a húrhossszal, ugyanis a húr (vastagsága miatt) nehezebben hajlítható rövidebb hullámra, mint hosszabbra, így a felhangok közti rés nagyobb, mint az elméleti. pl. egy cimbalom esetén, ahol nagyon rövid ÉS nagyon vastag húrok is akadnak, ez a rés elég nagy tud lenni. nagybőgőn a húrok ugyanolyan hosszúak, de különböző vastagságúak, így (ha ugyanolyan anyagból vannak) az alsó húrokon nagyobb a rés, mint a felsőkön. fafúvós hangszereken még bonyolultabb a helyzet, ott a páratlan felhangok magasabbak, a párosak viszont mélyebbek az ideálisnál. ezért aztán nehéz úgy összehangolni két hangszert (de még egy hangszer két húrját is), hogy egymás felhangjait figyelik.