Заседание 6. Можно ли построить на плоскости треугольник, сумма внутренних углов которого не равна 180 градусам?

Дата публикации: 10.10.2012 18:09:35

Ответ легко найти на страницах школьного учебника геометрии:

Т е о р е м а. Сумма углов треугольника равна 180°.

Возможно, что обратившийся к нам школьник изучает геометрию по другому учебнику? Но и в школьном учебнике других авторов мы увидим:

Т е о р е м а. Сумма углов треугольника равна 180°.

В каждом из учебников имеется доказательство этой теоремы.

Следовательно, ответ на заданный нам вопрос очевиден: построить на плоскости треугольник, сумма внутренних углов которого больше или меньше 180°, невозможно.

Формально здесь можно было бы поставить точку. Но мы немного продолжим. Вы заметили, что формулировки теоремы о сумме углов треугольника в двух учебниках полностью, дословно совпадают? Это проявление многовековой традиции. Геометрия, которую изучают в школе, называется евклидовой геометрией. Основы геометрии были изложены в знаменитом сочинении под названием “Начала” древнегреческого ученого Евклида (примерно 365-300 гг. до н. э.). Евклидова геометрия строится на основе нескольких исходных положений, которые называют аксиомами. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Аксиомы определяют важнейшие соотношения между точками и прямыми.

Можно вообразить, что ГЕОМЕТРИЯ – это государство, в котором живут точки, прямые, другие геометрические фигуры, а аксиомы – это основные законы, определяющие порядок в этом государстве. Из истории известно, что есть государства-республики (парламентские или президентские), есть государства-монархии и т.д.

Так вот, система аксиом, которую предложил Евклид, представлялась людям столь совершенной, что казалось: никаких других систем аксиом и быть не может! Так было на протяжении двух тысяч лет. И сейчас наши школьники по учебникам изучают фактически геометрию Евклида.

При этом на протяжении многих веков особое внимание математиков привлекала аксиома Евклида о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, не пересекающая данную прямую и называемая параллельной прямой. В началах Евклида эта аксиома была пятой по счету и называлась пятый постулат (постулат – синоним слова аксиома). Многие математики пытались доказать пятый постулат Евклида, то есть вывести его из других аксиом. Однако все попытки оказывались неудачными. И только в начале XIX века великий русский математик Николай Иванович Лобачевский доказал, что сделать это невозможно. Пятый постулат независим от других аксиом Евклида. Следовательно, можно принять этот постулат в качестве аксиомы, и тогда получится евклидова геометрия. А если пятый постулат заменить на другую аксиому, то получится другая геометрия с другими аксиомами, то есть с другими законами!

Расскажем об одной неевклидовой геометрии. Населяют эту геометрию, как обычно, точки. Точнее, обычные точки некоторой обычной полуплоскости. Если рассмотреть привычную плоскость с декартовыми прямоугольными координатами, то в геометрию входят лишь точки, у которых ордината положительна. Особым образом определяются здесь прямые линии. Естественно требовать, чтобы через каждые две точки проходила единственная прямая.

Пусть есть две точки А и В с декартовыми координатами (a;b) и (a;c) – у этих точек равные абсциссы. Прямой, проходящей через эти две точки, назовем множество точек {(a;y)}, y > 0. Итак, в роли новой прямой выступает обычный луч. К этому обстоятельству надо привыкнуть. В этой связи вспомним: какая линия на поверхности Земли кратчайшим образом соединяет две произвольные точки? Эту линию естественно назвать прямой на сфере. Ясно, что это линия есть прямая именно на сфере.

Продолжим речь о прямых в новой геометрии. Если две точки C и D из верхней полуплоскости не лежат на одном перпендикуляре к оси абсцисс, то прямой назовем окружность, которая проходит через две эти точки C и D и центр которой лежит на оси абсцисс (см. рис.1, ось ординат на рис.1 не показана).

На рис.1 показаны три прямые, проходящие через точку D. Две прямые (синяя и красная) изображаются полуокружностями, оранжевая прямая изображается лучом. Ни одна из этих прямых не пересекается с зеленой прямой и количество таких прямых может быть увеличено. Следовательно, в этой геометрии вместо евклидовой аксиомы о параллельных справедливо следующее утверждение: через точку, взятую вне данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую. Стало быть, в этой геометрии прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой, существует бесконечно много. Такая геометрия называется геометрией Лобачевского. Рассматриваемый пример геометрии Лобачевского называют плоскостью Лобачевского. Эту модель геометрии Лобачевского придумал Анри Пуанкаре в XIX веке. Углы в этой геометрии совпадают с обычными евклидовыми углами. Напомним, что углом между двумя пересекающимися кривыми называют угол между их касательными, проведенными в точке пересечения.

Рассмотрим в модели Пуанкаре треугольник АВС (рис.2).

Точка А – пересечение синей и зеленой прямой, В – синей и красной, С - красной и зеленой. Равные полуокружности - синюю и красную - можно расположить так, что угол между ними будет прямым. Зеленую полуокружность можно выбрать так, что углы А и С будут сколь угодно малыми. Следовательно, сумма углов в треугольнике АВС будет чуть больше 90°, то есть заведомо меньше, чем 180°!

Итак, можно построить треугольник, сумма внутренних углов которого меньше 180°. Где построить? На плоскости? Да, на плоскости, только не на обычной и привычной нам евклидовой плоскости, а на плоскости Лобачевского, на плоскости геометрии Лобачевского.

Рассмотрим в модели Пуанкаре другой треугольник АВС (рис.3).

Стороны этого треугольника рисуем в такой последовательности. Сначала проводим произвольную красную прямую (то есть строим евклидову полуокружность с центром на оси абсцисс). Затем проводим синюю прямую (строим евклидов луч, перпендикулярный оси абсцисс). Синюю линию выбираем близкой к касательной к красной окружности, поэтому угол С между эти прямыми мал (например, меньше 10°). Затем проводим зеленую прямую, в этой роли выступает евклидова полуокружность. Радиус этой зеленой окружности выберем очень большим. На рис.3 показана лишь часть этой прямой, вся прямая на рисунке не помещается. Очевидно, что тогда угол между зеленой и красной прямой и угол между зеленой и синей прямой получатся очень маленькими. Пусть каждый из них меньше 10°. В результате получится треугольник АВС, сумма внутренних углов которого меньше 30°.

Теперь логично задать вопрос и о том, когда сумма внутренних углов треугольника больше 180°! Оказывается, и такие треугольники существуют. Существуют, как вам теперь понятно, в неевклидовых геометриях. Примеры и модели таких геометрий известны. Однако их описание требует больше времени, больше усилий, и поэтому здесь говорить о таких примерах пока не будем. О них вы узнаете, когда будете изучать математику в университете. Надеемся, что принципиальная возможность существования таких необычных геометрий вам ясна.