Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Engenharia Matemática & Matemática Aplicada
Universidade Federal do Rio de janeiro - 2022 - Professor Felipe Acker
Programação do Curso
Programação do Curso
O programa abaixo deve ser coberto em 15semanas e já tem farto material de apoio: texto, vídeos, software e exercícios.
O programa abaixo deve ser coberto em 15semanas e já tem farto material de apoio: texto, vídeos, software e exercícios.
Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions
Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions
Conceito, operações. Espaços vetoriais: Rn e espaços de funções. Sistemas de coordenadas, o Mistério da Santíssima Trindade. Reta e Segmento de Reta. Animações e morphing. Curvas de Bézier.
Conceito, operações. Espaços vetoriais: Rn e espaços de funções. Sistemas de coordenadas, o Mistério da Santíssima Trindade. Reta e Segmento de Reta. Animações e morphing. Curvas de Bézier.
Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e truque de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão. Áreas, volumes e determinante. Transformações lineares do plano: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão. Determinante.
Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e truque de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão. Áreas, volumes e determinante. Transformações lineares do plano: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão. Determinante.
Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes. Teorema Fundamental da Álgebra.Teorema de Brouwer. Subgrupos de C. Transformações de Möbius.
Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes. Teorema Fundamental da Álgebra.Teorema de Brouwer. Subgrupos de C. Transformações de Möbius.
Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda. Compactificações do plano: projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S2 em S2.
Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda. Compactificações do plano: projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S2 em S2.
Parte 2: Cônicas
Parte 2: Cônicas
Definições das cônicas como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio. Seções Cônicas: Teoremas de Dandelin-Quetelet.
Definições das cônicas como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio. Seções Cônicas: Teoremas de Dandelin-Quetelet.
Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas.Vista em Perspectiva de cônica.
Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas.Vista em Perspectiva de cônica.
Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema em dimensões 2 e 3.
Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema em dimensões 2 e 3.
Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares
Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares
Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão. Matriz de transformação linear. Produto de matrizes e composição de transformações. Determinante do produto. Matrizes de Markov. SVD em dimensão 2.
Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão. Matriz de transformação linear. Produto de matrizes e composição de transformações. Determinante do produto. Matrizes de Markov. SVD em dimensão 2.
Parte IV: Movimentos
Parte IV: Movimentos
Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo. Campos Centrais: planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas
Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo. Campos Centrais: planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas
12. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
12. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski
Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski
13. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler
13. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler
Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²
Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²
Resultados a serem demonstrados no curso:
Resultados a serem demonstrados no curso:
Muitos dos tópicos incluídos na ementa serão apenas mencionados. Os resultados abaixo, porém, serão demonstrados.
Muitos dos tópicos incluídos na ementa serão apenas mencionados. Os resultados abaixo, porém, serão demonstrados.
Dimensão de Espaço Vetorial
Dimensão de Espaço Vetorial
Condição necessária e suficiente para convergência de processo markoviano
Condição necessária e suficiente para convergência de processo markoviano
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema de Brouwer em dimensão 2 (caso C¹)
Teorema de Brouwer em dimensão 2 (caso C¹)
Teoremas de Dandelin-Quetelet
Teoremas de Dandelin-Quetelet
Toda equação do segundo grau define em R² uma cônica
Toda equação do segundo grau define em R² uma cônica
Existência e unicidade de cônica passando por 5 pontos em posição geral
Existência e unicidade de cônica passando por 5 pontos em posição geral
Vista em perspectiva de cônica
Vista em perspectiva de cônica
Teorema Espectral em Rn e Cn
Teorema Espectral em Rn e Cn
Decomposição em Valores Singulares
Decomposição em Valores Singulares
Teorema de Aproximação de Schmidt
Teorema de Aproximação de Schmidt
Planaridade de movimentos em campos centrais e Lei das Áreas
Planaridade de movimentos em campos centrais e Lei das Áreas
Conversão de Elipses de Hooke em Elipses de Kepler
Conversão de Elipses de Hooke em Elipses de Kepler
Material de Apoio
Material de Apoio
A página de 2021 é uma boa referência.
A página de 2021 é uma boa referência.
II. VIDEOS
II. VIDEOS
Esta disciplina vem sendo ministrada e documentada ao longo dos anos. A partir de 2015, as aulas foram filmadas (exceto as de 2017, em que foi feito um experimento de usar as aulas filmadas dos dois anos anteriores, e as de 2020, por conta das dificuldades do ensino remoto). Todos os vídeos estão em
Esta disciplina vem sendo ministrada e documentada ao longo dos anos. A partir de 2015, as aulas foram filmadas (exceto as de 2017, em que foi feito um experimento de usar as aulas filmadas dos dois anos anteriores, e as de 2020, por conta das dificuldades do ensino remoto). Todos os vídeos estão em
As de 2015 e de 2018, em particular, têm índices detalhados das aulas, o que ajuda a localizar as exposições sobre tópicos específicos. Acho que é uma boa dica. Em 2020, gravei um vídeo de apresentação do curso, de 5 minutos
As de 2015 e de 2018, em particular, têm índices detalhados das aulas, o que ajuda a localizar as exposições sobre tópicos específicos. Acho que é uma boa dica. Em 2020, gravei um vídeo de apresentação do curso, de 5 minutos
Pode ser útil, também, para ter uma noção da organização do curso, dar uma olhada nos 5 minutos iniciais da apresentação de 2016
Pode ser útil, também, para ter uma noção da organização do curso, dar uma olhada nos 5 minutos iniciais da apresentação de 2016
III. TEXTOS
III. TEXTOS
O texto original era manuscrito, com figuras também feitas a mão
O texto original era manuscrito, com figuras também feitas a mão
O manuscrito evoluiu (?) para 4 livros
O manuscrito evoluiu (?) para 4 livros
Dois outros textos interessantes:
Dois outros textos interessantes:
IV. SOFTWARE
IV. SOFTWARE
Você deve(ria) ser capaz de criar animações a partir das coisas que vai aprendendo (e aprender criando animações das coisas). A UFRJ tem uma licença do Mathematica que você pode usar (use o seu email institucional). Você pode, claro, usar seu software favorito, ou falar diretamente com seu computador em linguagem de máquina. Uma opção básica mas muito simpática é o geogebra. No geogebra foram feitos os applets do Waldecir, sob medida para este curso. Temos também o TFA, específico para o Teorema Fundamental da Álgebra.
Você deve(ria) ser capaz de criar animações a partir das coisas que vai aprendendo (e aprender criando animações das coisas). A UFRJ tem uma licença do Mathematica que você pode usar (use o seu email institucional). Você pode, claro, usar seu software favorito, ou falar diretamente com seu computador em linguagem de máquina. Uma opção básica mas muito simpática é o geogebra. No geogebra foram feitos os applets do Waldecir, sob medida para este curso. Temos também o TFA, específico para o Teorema Fundamental da Álgebra.
(Prof. Waldecir Bianchini)
(Prof. Waldecir Bianchini)
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema Fundamental da Álgebra
(Windows)
(Windows)
V. EXERCÍCIOS
V. EXERCÍCIOS
Quizzes, listas de exercícios e provas antigas podem ser encontrados nas páginas de anos anteriores, em
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ou diretamente em
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