APRESENTAÇÃO DO CURSO 

O programa abaixo deve ser coberto em 15semanas e já tem farto material de apoio: texto, vídeos, software e exercícios.

Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions

1. Vetores no plano e no espaço. Sistemas de coordenadas

Conceito, operações. Espaços vetoriais: Rn e espaços de funções. Sistemas de coordenadas, o Mistério da Santíssima Trindade. Reta e Segmento de Reta. Animações e morphing. Curvas de Bézier.

2. Produto escalar e determinante

Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e truque de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão. Áreas, volumes e determinante.  Transformações lineares  do plano: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão. Determinante.

3. Números complexos e o Teorema Fundamental da Álgebra

Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes.  Teorema Fundamental da Álgebra.Teorema de Brouwer. Subgrupos de C. Transformações de Möbius. 

4. Quatérnions. Produto vetorial. Perspectiva cônica

Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda. Compactificações do plano: projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S2 em S2.

Parte 2: Cônicas

5. Círculo de Apolônio, Elipse, Hipérbole e Parábola

Definições  das cônicas como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio. Seções Cônicas: Teoremas de Dandelin-Quetelet.

6. Cônicas e Equações do segundo grau

Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas.Vista em Perspectiva de cônica.

7. O Teorema Espectral; Quádricas

Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema em dimensões 2 e 3.

Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares

8. Espaços vetoriais e transformações Lineares

Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão. Matriz de transformação linear. Produto de matrizes e composição de transformações. Determinante do produto. Matrizes de Markov. SVD em dimensão 2.

9. A Decomposição em Valores Singulares e o Teorema de Aproximação de Schmidt

10. Cadeias de Markov

Parte IV: Movimentos

11. Movimentos. Campos Centrais

Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo. Campos Centrais: planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas

12. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes

Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski

13. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler

Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²

Resultados a serem demonstrados no curso:

Muitos dos tópicos incluídos na ementa serão apenas mencionados. Os resultados abaixo, porém, serão demonstrados.

Dimensão de Espaço Vetorial

Condição necessária e suficiente para convergência de processo markoviano

Teorema Fundamental da Álgebra

Teorema de Brouwer em dimensão 2 (caso C¹)

Teoremas de Dandelin-Quetelet

Toda equação do segundo grau define em R² uma cônica

Existência e unicidade de cônica passando por 5 pontos em posição geral

Vista em perspectiva de cônica

Teorema Espectral em Rn e Cn

Decomposição em Valores Singulares

Teorema de Aproximação de Schmidt

Planaridade de movimentos em campos centrais e Lei das Áreas

Conversão de Elipses de Hooke em Elipses de Kepler

I. PÁGINA DE 2021

A página de 2021 é uma boa referência.

II. VIDEOS

playlist de 2022

Esta disciplina vem sendo ministrada e documentada ao longo dos anos. A partir de 2015, as aulas foram filmadas (exceto as de 2017, em que foi feito um experimento de usar as aulas filmadas dos dois anos anteriores, e as de 2020, por conta das dificuldades do ensino remoto). Todos os vídeos estão em

playlists CVGA

As de 2015 e de 2018, em particular, têm índices detalhados das aulas, o que ajuda a localizar as exposições sobre tópicos específicos. Acho que é uma boa dica. Em 2020, gravei um vídeo de apresentação do curso, de 5 minutos

apresentação do curso

Pode ser útil, também, para ter uma noção da organização do curso, dar uma olhada nos 5 minutos iniciais da apresentação de 2016

apresentação de 2016

III. TEXTOS

O texto original era manuscrito, com figuras também feitas a mão

manuscrito

O manuscrito evoluiu (?) para 4 livros

Livro 1 : o plano

Livro 2: o espaço & outros espaços

Livro 3: cônicas & Teorema Espectral

Livro 4: curvas parametrizadas

Dois outros textos interessantes:

The Universe of Conics

Huyghens and Barrow, Newton and Hooke

IV. SOFTWARE

Você deve(ria) ser capaz de criar animações a partir das coisas que vai aprendendo (e aprender criando animações das coisas). A UFRJ tem uma licença do Mathematica que você pode usar (use o seu email institucional). Você pode, claro, usar seu software favorito, ou falar diretamente com seu computador em linguagem de máquina. Uma opção básica mas muito simpática é o geogebra. No geogebra foram feitos os applets do Waldecir, sob medida para este curso. Temos também o TFA, específico para o Teorema Fundamental da Álgebra.

geogebra

applets geogebra do Waldecir

(Prof. Waldecir Bianchini)

TFA

Teorema Fundamental da Álgebra

(Windows)

Mathematica

V. EXERCÍCIOS

Quizzes, listas de exercícios e provas antigas podem ser encontrados nas páginas de anos anteriores, em

acker

ou diretamente em

exercícios

Aulas: 2ª e 4ª, 10:00-12:00, sala F2-006

As provas devem ser entregues até meia-noite do dia especificado

Tabela da Copa

Prova 1 - 7 de setembro

Discussão da Prova 1

Prova 2 - 12 de outubro

Algumas soluções, Prova 2

Geogebra, Prova 2

Prova 3 - 15 de novembro

Prova 3 - soluções

Prova 4 - 23 de dezembro

Teste 1

Teste 2

Notas Finais