CVGA-UFRJ-2021

Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

Univesridade Federal do Rio de Janeiro

Engenharia Matemática & Matemática Aplicada

Informações Gerais

MAE115 turma 14435 2021/2

terças e quintas, 10:00-12:00

https://meet.google.com/syc-ycej-ehu

monitoria: segundas, 15:00-17:00

https://meet.google.com/fix-ffiw-ofy

Testes semanais (valem nota):

início nas quintas, 15:00; final sextas, 12:00

Provas: começam às 15:00, com entrega até às 24:00 do dia seguinte

P1 - 22 de dezembro de 2021

P2 - 03 de fevereiro de 2022

P3 - 24 de fevereiro de 2022

Extra - 8 de março de 2022

As notas das provas vão de 0 a 10, mas é possível ganhar mais do que 10 (felizmente não é possível ganhar menos do que zero - a Professora Cláudia Guerreiro dizia que para certas provas zero é uma nota muito alta). A média das provas, P, será ponderada:

P: (11 N1+9 N2+6 N3)/26

Cada teste confere uma nota a ser somada à nota final. A nota do teste pode ser negativa (-0.2), caso @ alun@ não entregue o teste, ou não negativa (0, +0,1 ou +0,2), caso @ alun@ entregue o teste (0, se for ruim ou em branco; +0,1, se for razoável; +0,2, se for bom).

A média final, N, é dada por

N=max(min(10,P+T),0),

sendo P a média das notas das provas e T a soma das notas dos testes. Aprovação: N>4,9.

As provas e testes são individuais. No caso dos testes, mas não no das provas, é permitida a troca de ideias, mas cada um(a) deve entregar a sua versão.Todos os procedimentos honestos são permitidos; os desonestos, não.

Programação

APRESENTAÇÃO DO CURSO (5 minutos)

Esta edição do curso não está estruturada em semanas (embora haja testes semanais). A apresentação, aula a aula, será um pouco diferente da da edição anterior. Mesmo assim, você encontrará o material da edição anterior nos links a seguir.

PARTE I (ABERTURA)

PARTE II (CÔNICAS)

PARTE III(ESPECTROS)

PARTE IV (MOVIMENTOS)

Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions

1. Vetores no plano e no espaço

Conceito, operações. Reta e Segmento de Reta. Animações. Rn e morphing. Curvas de Bézier

2. Sistemas de coordenadas

O Mistério da Santíssima Trindade. Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão

3. Transformações Lineares

Exemplos geométricos: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão. Matriz da transformação linear. Produto de matrizes e composição de transformações. Áreas, volumes e determinante. SVD em dimensão 2

4. Produto escalar

Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e truque de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão. Matrizes de Markov

5. Números complexos

Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes. Subgrupos de C. Transformações de Möbius

6. O Teorema Fundamental da Álgebra

7. Quatérnions

Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda

8. Compactificações do plano

Projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S2 em S2.

Parte 2: Cônicas

9. Círculo de Apolônio, Elipse, Hipérbole e Parábola

Definições como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio

10. Seções Cônicas

Teoremas de Dandelin-Quetelet

11. Cônicas e Equações do segundo grau

Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas

12. Cônicas em Perspectiva

Vista em Perspectiva de cônica

Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares

13. O Teorema Espectral

Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema

14. A Decomposição em Valores Singulares

15. O Teorema de Aproximação de Schmidt

16. Determinante

Parte IV: Movimentos

17. Movimentos

Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo

18. Campos Centrais

Planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas

19. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes

Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski

20. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler

Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²

Resultados a serem demonstrados no curso:

Muitos dos tópicos incluídos na ementa serão apenas mencionados. Os resultados abaixo, porém, serão demonstrados.

Dimensão de Espaço Vetorial

Condição necessária e suficiente para convergência de processo markoviano

Teorema Fundamental da Álgebra

Teorema de Brouwer em dimensão 2 (caso C¹)

Teoremas de Dandelin-Quetelet

Toda equação do segundo grau define em R² uma cônica

Existência e unicidade de cônica passando por 5 pontos em posição geral

Vista em perspectiva de cônica

Teorema Espectral em Rn e Cn

Decomposição em Valores Singulares

Teorema de Aproximação de Schmidt

Planaridade de movimentos em campos centrais e Lei das Áreas

Conversão de Elipses de Hooke em Elipses de Kepler

Material de Apoio

I.VIDEOS

Playlist 2021

Esta disciplina vem sendo ministrada e documentada ao longo dos anos. A partir de 2015, as aulas foram filmadas (exceto as de 2017, em que foi feito um experimento de usar as aulas filmadas dos dois anos anteriores, e as de 2020, por conta das dificuldades do ensino remoto). Todos os vídeos estão em

playlists CVGA

As de 2015 e de 2018, em particular, têm índices detalhados das aulas, o que ajuda a localizar as exposições sobre tópicos específicos. Acho que é uma boa dica. Em 2020, gravei um vídeo de apresentação do curso, de 5 minutos

apresentação do curso

Pode ser útil, também, para ter uma noção da organização do curso, dar uma olhada nos 5 minutos iniciais da apresentação de 2016

apresentação de 2016

II. TEXTOS

O texto original era manuscrito, com figuras também feitas a mão

manuscrito

O manuscrito evoluiu (?) para 4 livros

Livro 1: o plano

Livro 2: o espaço e outros espaços

Livro 3: cônicas & Teorema Espectral

Livro 4: curvas parametrizadas

Dois outros textos interessantes:

The Universe of Conics

Huyghens and Barrow, Newton and Hooke

III. SOFTWARE

Você deve(ria) ser capaz de criar animações a partir das coisas que vai aprendendo (e aprender criando animações das coisas). A UFRJ tem uma licença do Mathematica que você pode usar (use o seu email institucional). Você pode, claro, usar seu software favorito, ou falar diretamente com seu computador em linguagem de máquina. Uma opção básica mas muito simpática é o geogebra. No geogebra foram feitos os applets do Waldecir, sob medida para este curso. Temos também o TFA, específico para o Teorema Fundamental da Álgebra.