Aulas

O curso está dividido em "aulas". Cada aula, na verdade, envolve alguns temas e está planejada para uma semana de estudos. Procuramos reunir na página de cada aula material de estudo suficiente para essa semana de estudos: vídeos, textos, exercícios.

Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions

1. Vetores no plano e no espaço. Sistemas de coordenadas

Conceito, operações. Espaços vetoriais: Rn e espaços de funções. Sistemas de coordenadas, o Mistério da Santíssima Trindade. Reta e Segmento de Reta. Animações e morphing. Curvas de Bézier.

2. Produto escalar e determinante

Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e truque de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão. Áreas, volumes e determinante. Transformações lineares do plano: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão.

3. Números complexos e o Teorema Fundamental da Álgebra

Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes. Teorema Fundamental da Álgebra. Subgrupos de C. Transformações de Möbius.

4. Quatérnions. Produto vetorial. Perspectiva cônica

Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda. Compactificações do plano: projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S2 em S2.

Parte 2: Cônicas

5. Círculo de Apolônio, Elipse, Hipérbole e Parábola

Definições como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio. Seções Cônicas: Teoremas de Dandelin-Quetelet.

6. Cônicas e Equações do segundo grau

Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas.Vista em Perspectiva de cônica.

Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares

7. Espaços vetoriais e transformações Lineares

Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão. Matriz de transformação linear. Produto de matrizes e composição de transformações. Determinante do produto. Matrizes de Markov. SVD em dimensão 2.

8. O Teorema Espectral

Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema.

9. A Decomposição em Valores Singulares e o Teorema de Aproximação de Schmidt

10. Determinante

Parte IV: Movimentos

11. Movimentos

Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo

12. Campos Centrais

Planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas

13. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes

Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski

14. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler

Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²