Aulas
O curso está dividido em "aulas". Cada aula, na verdade, envolve alguns temas e está planejada para uma semana de estudos. Procuramos reunir na página de cada aula material de estudo suficiente para essa semana de estudos: vídeos, textos, exercícios.
Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions
1. Vetores no plano e no espaço. Sistemas de coordenadas
Conceito, operações. Espaços vetoriais: Rn e espaços de funções. Sistemas de coordenadas, o Mistério da Santíssima Trindade. Reta e Segmento de Reta. Animações e morphing. Curvas de Bézier.
2. Produto escalar e determinante
Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e truque de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão. Áreas, volumes e determinante. Transformações lineares do plano: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão.
3. Números complexos e o Teorema Fundamental da Álgebra
Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes. Teorema Fundamental da Álgebra. Subgrupos de C. Transformações de Möbius.
4. Quatérnions. Produto vetorial. Perspectiva cônica
Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda. Compactificações do plano: projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S2 em S2.
Parte 2: Cônicas
5. Círculo de Apolônio, Elipse, Hipérbole e Parábola
Definições como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio. Seções Cônicas: Teoremas de Dandelin-Quetelet.
6. Cônicas e Equações do segundo grau
Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas.Vista em Perspectiva de cônica.
Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares
7. Espaços vetoriais e transformações Lineares
Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão. Matriz de transformação linear. Produto de matrizes e composição de transformações. Determinante do produto. Matrizes de Markov. SVD em dimensão 2.
8. O Teorema Espectral
Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema.
9. A Decomposição em Valores Singulares e o Teorema de Aproximação de Schmidt
10. Determinante
Parte IV: Movimentos
11. Movimentos
Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo
12. Campos Centrais
Planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas
13. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski
14. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler
Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²