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Weierstrass é responsável (entre outras coisas) por duas descobertas fundamentais para a compreensão das funções de variável real:
1ª - Existem funções contínuas em todos os pontos que não têm derivada em qualquer ponto;
2ª - Dada uma função contínua em um intervalo fechado, podemos aproximá-la, naquele intervalo, por polinômios, ou seja,
Teorema de Weierstrass: Se f:[a,b]->R é contínua e e>0, então existe polinômio p tal que
Teorema de Weierstrass: Se f:[a,b]->R é contínua e e>0, então existe polinômio p tal que
|p(x)-f(x)|<e para todo x em [a,b].
|p(x)-f(x)|<e para todo x em [a,b].
(apresentação e demonstração do Teorema)
Uma excelente referência é o artigo de Allan Pinkus, Weierstrass and Approximation Theory (ver o pdf aqui). Nas páginas 27-30 está a demonstração de Lebesgue, que usa apenas a continuidade uniforme das funções contínuas em intervalos fechados e um truque simples, que acaba reduzindo tudo a provar que a série de Taylor da função raiz quadrada de 1-x é uniformemente convergente para x em [-1,1]. Esta última passagem se faz usando a fórmula de Stirling.
Uma das consequências mais rentáveis da possibilidade de se aproximar uma função contínua por funções que têm derivadas acontece na Topologia. Muitos resultados referentes a funções contínuas podem ser demonstrados primeiro para funções deriváveis (com derivadas contínuas, ou mesmo com derivadas de ordem superior) . Em seguida, por meio do Teorema de Aproximação, a demonstração pode ser estendida para as funções contínuas gerais (um bom exemplo é o Teorema de Ponto Fixo de Brouwer).
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