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A vida é cheia de erros...e o que afirmamos ser certo é, em geral, apenas aproximadamente certo. Um bom consolo é sermos capazes de avaliar de forma satisfatória o tamanho de cada erro. Em Matemática isso recebe o nome de fazer uma "estimativa de erro", ou, mais geralmente, fazer "estimativas". O passo que nos leva da exatidão para a estimativa é a troca do sinal de igual pelo de menor ou igual, é trocar igualdades por desigualdades.
Partiremos da desigualdade básica, a Desigualdade Triangular, mesncionaremos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Buniacóvski, retornaremos à Desigualdade do Valor Médio e, finalmente, dedicaremos especial atenção à Desigualdade de Jensen.
- Desigualdade Triangular - é a desigualdade básica, que expressa a convicção de que o menor caminho entre dois pontos é em linha reta, ou que qualquer lado de um triângulo tem comprimento menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois (podendo haver igualdade em casos degenerados).
- Desigualdade do Valor Médio, ou Teorema dos Acréscimos Finitos - é intrínseca à ideia de derivada como velocidade; expressa a certeza de que quem anda mais rápido e em linha reta sempre chega mais longe do que quem vai mais devagar e, eventualmente, ziguezagueia.
- Desigualdade de Jensen - menos banal, generaliza para médias (inclusive de infinitos valores) o fato de que o gráfico de uma função convexa está sempre abaixo do segmento que liga quaisquer dois de seus pontos: se f é convexa, E[X] é a média dos pontos de X e E[f(X)] é a média dos valores de f nos pontos de X, então f(E[X]) é menor ou igual a E[f(X)]. Ver também os meets 1 e e 2, além da resolução por escrito do Teste 9
- A Desigualdade de Jensen vai nos servir de pretexto para discutir o conceito de Densidade de Probabilidade, reinterpretando os conceito de Derivada, de Integral e o Teorema Fundamental do Cálculo. O Teste 9 é inteiramente dedicado a essas questões.
Desigualdade Triangular
Desigualdade Triangular
A versão em que x e y são números reais é bem simples, mas é preciso tê-la no sangue. Dê uma olhada nos livros. Note que é de uso diário. Sugestão de exercício: demonstre que a distência de A a B + a distância de B a C é < ou = à distância de A a C, quando A, B e C estão em R² ou R³, usando coordenadas.
Desigualdade de Jensen
Desigualdade de Jensen
Enunciada e demonstrada na Lista 2 (questão 35, letra d - ver soluções da Maria Eduarda) e no Teste 6. Uma versão mais geral, em que a média é "ponderada" por uma densidade de probabilidade, p(x), está na Wikipedia, com a referência para o artigo original do Jensen. É bom começar fazendo inteira a questão 35 da Lista 2.
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