Degeneraciones Tóricas

Temario

Las variedades tóricas son objetos populares en la geometría algebraica porque existe un diccionario entre sus propiedades geométricas (por ejemplo, su dimensión o su grado) y las propiedades de los objetos combinatorios asociados (por ejemplo, los politopos o los abanicos). Muchas teorías y programas en la geometría algebraica y simpléctica se exploran y prueban en variedades tóricas pues estas variedades se entienden muy bien. Si nos interesa otra variedad que no es tórica es deseable acercarse lo más posible a las variedades tóricas: por ejemplo, se buscan degeneraciones tóricas de la variedad. Una degeneración tórica es una familia (plana) de variedades que comparten muchas propiedades (por ejemplo, su dimensión, su grado y su polinomio de Hilbert son iguales). Esta familia contiene a la variedad que nos interesa y a una variedad tórica. Por lo tanto, algunas propiedades de nuestra variedad se pueden leer de la combinatoria de la variedad tórica.

Ejemplo: Consideramos la Grassmanniana Gr(2,4) definida por la ecuación p1p6 + p3p4 = p2p5 en el espacio proyectivo complejo CP5. La variedad definida por la ecuación p1p6+tp3p4 = p2p5 en CP5 -> C determina una familia (plana) de variedades en CP5. Es una degeneración tórica de Gr(2, C4): establecer t = 1 produce Gr(2,4) y establecer t = 0 produce la variedad tórica definida por la ecuación p1p6 = p2p5 en CP5.

El estudio de las degeneraciones tóricas tiene varias aplicaciones en las matemáticas puras y aplicadas. Por ejemplo hay aplicaciones en la simetría especular, la estadística y la biología matemática.

Contenido del curso:

Las degeneraciones tóricas de una variedad proyectiva se pueden construir desde varios puntos de partida. Nos vamos a enfocar en dos construcciones algebraicas: primero, utilizando las degeneraciones iniciales de un ideal como aparecen en la teoría de Gröbner y en la geometría tropical; y segundo, desde valuaciones en anillos graduadas y los cuerpos de Newton-Okounkov asociados. Resulta ser que ambos construcciones son relacionadas y existen traducciones de una a otra.

Las variedades que aparecen en la teoría de representaciones pueden considerarse como un terreno fértil de ejemplos para estudiar diferentes técnicas para la construcción de degen- eraciones tóricas. Aquí se cruzan tres campos principales: la teoría de representaciones, la geometría tropical y la teoría de las álgebras de conglomerado. Las tres se pueden aplicar a estas variedades y producen degeneraciones tóricas con los datos combinatorios asociados que codifican propiedades geométricas. Si el tiempo lo permite vamos a ver ejemplos desde la teoría de representaciones y las álgebras de conglomerado.