2025-2 curso híbrido
Grassmannianas y variedades de bandera
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Curso avanzado en el posgrado en Matemáticas en la UNAM, Unidad Oaxaca del Instituto de Matemáticas
miércoles 15:00 - 18:00 en Mártires de Tacubaya o zoom
Temario
La Grassmanniana $Gr_{k,n}$ es el conjunto de subespacios de dimensión $k$ en un espacio vectorial de dimension $n$ donde $k\le n$. Generalize los espacios proyectivos $Gr_{1,n}=\mathbb P^{n-1}$ y es un ejemplo de un espacio moduli. Además admite la acción del grupo $GL_n$ y por lo tanto es relevante en la teoría de representaciones. Otro aspecto curioso de la Grassmanniana es su \emph{estructura de conglomerado}: tiene un atlas de toros álgebraicos $(\mathbb C^*)^d$ donde $d=\dim Gr_{k,n}=k(n-k)$ cuyos pegados (o cambios de coordenadas) son controlados por la regla de mutación en un álgebra de conglomerado. Las álgebras de conglomerado son álgebars conmutativas introducidas por Fomin y Zelevinsky [FZ].
La estructure de conglomerado en la Grassmanniana fue revelado por Scott [S]. En la primer parte del curso estudiamos la estructura de conglomerado de la Grassmanniana y los varios objetos combinatorios asociados. Una generalización de la Grassmanniana es una variedad de bandera: sean $1\le d_1\le \dots\le d_k\le n$ enteros. Una bandera asociada a la tupla $(d_1,\dots,d_k;n)$ es una secuencia de espacios vectoriales $V_1\subset \dots\subset V_k\subset \mathbb C^n$ que cumple $\dim V_i=d_i$ para cada $1\le i\le k$. El conjunto de todas las banderas asociadas a la tupla $(d_1,\dots,d_k;n)$ se llama \emph{la variedad de bandera (parcial)} $\mathcal F_{d_1,\dots,d_k;n}$. En el caso que $d_i=i$ y $k=n-1$ decimos que es la variedad de bandera completa, de lo contrario se llama parcial. La Grassmanniana es un ejemplo: $Gr_{k,n}=\mathcal F_{k;n}$. Variedades de bandera son generalizaciones naturales de Grassmannianas y los dos espacios son intimamente relacionados. Por ejemplo, podemos definir un encaje de una variedad de bandera a un producto de Grassmannianas.
Las variedades de bandera también tienen estructura de conglomerado determinada por el trabajo de Geiss, Leclerc y Schröer [GLS]. En la segunda parte del curso nos enfocamos en esta estructura y los objetos combiantorios asociados. En la tercer parte del curso analizamos la interacción de las dos estructuras de conglomerado. Existen además encajes de variedades de bandera parciales en Grassmannianas.
Es una conjetura abierta que dichos encajes llevan a encajes de álgebras de conglomerado: un \emph{subálgebra de conglomerado} es un álgebra conglomerado que se obtiene de otra a través de las operaciones de \emph{congelar} (ya no permitir mutación en ciertas variables) y \emph{espacializar} (evaluar una variable de conglomerado en 1).
Revisamos los casos conocidos de la conjetura y la herramienta que se utilizó probando estos casos [BL].
Bibliografía
[BL] Bossinger, Lara; Li, Jianrong. Cluster structures on spinor helicity and momentum twistor varieties, arXiv:2408.14956
[F] Fulton, W. Young Tableaux: with applications to representation theory and geometry. Cambridge University Press 1997
[FZ1] Sergei Fomin y Andrei Zelevinsky. Cluster algebras I: Foundations, J. Amer. Math. Soc.15(2002), no.2, 497–529.
[FZ2] Sergei Fomin y Andrei Zelevinsky. Cluster algebras II: Finite Type Classification, https://arxiv.org/pdf/math/0208229
[FWZ] Sergei Fomin, Lauren Williams y Andrei Zelevinsky. \emph{Introduction to cluster algebras}, §1-3 en arxiv:1608.05735, §4-5 en arxiv:1707.07190 y §6 en arxiv:2008.09189
[GLS] Geiss, Christof; Leclerc, Bernard; Schröer, Jan. Partial flag varieties and preprojective algebras, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 58 (2008), no. 3, 825–876, https://arxiv.org/pdf/math/0609138
[H] Humphreys, James E.; Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1972
[K] Fayadh Kadhem; A cluster structure on the coordinate ring of partial flag varieties, https://arxiv.org/abs/2203.06339
[LB] Lakshmibai, V. and Brown, J., The Grassmannian Variety - Geometric and Representation Theoretic Aspects, Developements in Mathematics, Springer, 2015
[M] Robert J. Marsh. Lecture notes on clustre algebras, EMS Zurich Lectures in Advanced Mathematics Volume: 19; 2014; 122 pp; ISBN: 978-3-03719-130-9
[MPS] Yassine El Maazouz, Anaëlle Pfister, Bernd Sturmfels, Spinor-Helicity Varieties, https://arxiv.org/abs/2406.17331
[S] Scott, J. Grassmannians and cluster algebras. Proc. London Math. Soc. (3)92(2006), no.2, 345–380, https://arxiv.org/pdf/math/0311148
Calendario
05/02/2025: 10. Escuela Oaxaqueña de Matemáticas - parte presencial
12/02/2025: Introducción (Lara)
19/02/2025: La Grassmannaina y su encaje de Plücker [LB] §5.2 (Jhonatan)
26/02/2025: Álgebras de Conglomerado [FZ2] §1 (Victor)
05/03/2025: Álgebras de Conglomerado de tipo geométrico [FZ2] §11 (Mario)
12/03/2025: Arreglos de Postnikov [S] §3-4 (Juan Daniel)
26/03/2025: El anillo de Plücker es álgebra de conglomerado [S] §5 (Jessica)
02/04/2025: Escuela de Combinatoria Xalapa
09/04/2025: Variedades de bandera parciales I - encaje de Plücker [F] §9.1 (Jhonatan)
16/04/2025: semana santa
23/04/2025: Representaciones de GL y haces lineales en variedades de bandera [F] §8.2 y 9.3 (Jessica)
30/04/2025: Variedades de bandera parciales II - álgebras de Lie y Poisson [K] §3-4 (Mario)
07/05/2025: Estructura de conglomerado en variedades de bandera parcial I - aspectos de teoría de Lie [K] §5, [GLS] (Mario)
14/05/2025: Estructura de conglomerado en variedades de bandera parcial II - aspectos combinatorios [BL] §2 y 3 (Victor)
21/05/2025: Secuencia de mutación: de Grassmanniana a variedad de bandera [BL] §4 (Juan Daniel)
28/05/2025: (fecha opcional en caso de necesidad)
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