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martes y miercoles 15:30 - 17:00
del 06/08/2024 hasta el 20/11/2024
en la sala de la sede Mártires de Tacubaya 505a, Oaxaca o en línea (pedirme el accesso a la sala de zoom)
El objetivo del curso es cubrir la teoría clásica de las álgebras de Lie de tipo finito y su teoría de representaciones (correspondiente a las partes I-VI de Humphreys)
Literatura:
Introduction to Lie Algebras, Karin Erdmann and Mark J. Wildon, Springer 2006
Introduction to Lie Algebras, James E. Humphreys, Third Printing, Springer 1980
Lie algebras of finite and affine type, Roger Carter, Cambridge University Press, 2005
Evaluación
La evalución final se base en la entrega de tres tareas, presentación de soluciones en la sesión de discusión de la tarea y la presentación de un proyecto final (ver abajo)
En Humphreys §1 ejercicios 3 y 6, §2 ejercicio 6, §3 ejercicio 4, §4 ejercicio 3, §5 ejercicio 5, entrega 28/08/2024, discusión 04/09/2024
En Humphreys §6 ejercicio 5 (álgebras de Lie reductivas), §7 ejercicio 2, §8 ejercicio 10, §9 ejercicio 9, §10 ejercicio 11, entrega 25/09/2024, discusión 02/10/2024
En Humphreys §11 ejercicio 4, $12 ejercico 3, §13 ejercicios 2 y 10, entrega 16/10/2024, discusión 30/10/2024
Temario:
06/08/2024: Definiciones: álgebra de Lie, subalgebras, ideales, homomorfismos, derivaciones, constantes estructurales y ejemplos (§1 Erdmann)
07/08/2024: Representaciones, la representación adjunta y automorfismos (§2 Humphreys)
13/08/2024: Álgebras de Lie solubles, nilpotentes y el teorema de Engel (§3 Humphreys)
14/08/2024: Teorema de Lie y Cartan (§4.1 y 4.2 Humphreys)
20/08/2024: Criterio de Cartan y la forma de Killing (§4.3-5.1 Humphreys)
21/08/2024: Reducibilidad de Representaciones (§6.1-2 Humphreys)
27/08/2024: Representaciones de sl(2,F) (§7 Humphreys)
28/08/2024: Representaciones de sl(2,F) (§7 Humphreys) (entrega de tarea 1)
03/09/2024: Descomposición en espacios de raíces (§8 Humphreys)
04/09/2024: Descomposición en espacios de raíces (§8 Humphreys) y Discusión de tarea 1
10/09/2024: Sistemas de raíces (§9 Humphreys)
11/09/2024: Raíces simples y grupos de Weyl (§10 Humphreys)
17/09/2024: Raíces simples y grupos de Weyl (§10 Humphreys)
18/09/2024 : Classificación de sistemas de raíces (§11 Humphreys)
24/09/2024: Construcciones de sistemas de raíces (§12 Humphreys)
25/09/2024: Teoría abstracta de pesos (§13 Humphreys), (entrega de tarea 2)
01/10/2024: Teoremas de isomorfismos (§14 Humphreys)
08/10/2024: Discusión de tarea 2 y proyectos
09/10/2024: Subalgebras de Cartan (§15 Humphreys) y Teoremas de conjugación (§16 Humphreys)
15/10/2024: Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (§17 Humphreys)
16/10/2024: Teorema de Serre (§18 Humphreys), (entrega de tarea 3)
22/10/2024: Congreso SMM
23/10/2024: Congreso SMM
29/10/2024: VI. Teoría de Representaciones
30/10/2024: VI. Teoría de Representaciones
05/11/2024: Discusión de la Tarea 3
06/11/2024: VI. Teoría de Representaciones
12/11/2024: Presentación Manuel
13/11/2024: Presentación Juan Daniel y Ángel
19/11/2024: VI. Teoría de Representaciones
20/11/2024: VI. Teoría de Representaciones
26/11/2024: VI. Teoría de Representaciones
27/11/2024: VI. Teoría de Representaciones
Proyectos finales
Los proyectos finales son proyectos sobre temas afines al curso que no forman parte del temario. Su entrega es parte de la evaluación final. La entrega puede ser en forma de una presentación con diapositivas o en forma de un ensayo. Los proyectos se publicarán a la mitad del semestre.
Crystal bases, referencia: Bump, Schilling. Crystal Bases: Representations and Combinatorics. World Scientific Publishing Company, 2017
Borel-Weil Theorem: the geometry of the flag variety and the representation theory of SL_n, referencia: Shrawan Kumar. Geometry of Schubert varieties and the Demazure character formula, link, link
Peter-Weyl Theorem: referencia capítulo 27 en el libro "Lie algebras and algebraic groups" P. Tauvel y R.W.T. Yu
Berstein-Gelfand-Gelfand resolution
Clasificación de singularidades Du Val, referencia: Miles Reid. Chapters on Algebraic surfaces, Chapter 4, arxiv
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