Temario

Una variedad de Richardson es la intersección, dentro de la variedad bandera GLn/B+, de una célula de Schubert (B−uB+)/B+ y una célula opuesta de Schubert (B+wB+)/B+ (o la intersección similar de variedades de Schubert). En este curso, estudiemos una visión general de lo que se sabe sobre (1) anillos de coordenadas homogéneos de variedades de Richardson, sus bases y degeneraciones (2) parametrizaciones de variedades de Richardson utilizando variedades de Bott-Samelson (3) las descomposiciones de Deodhar del múltiple y de las variedades de Richardson dentro de ella y (4) positividad total en la variedad bandera. También ofrecemos una visión general de la combinatoria de las variedades positroides, sus relaciones con las variedades de Richardson, y cómo se parametrizan mediante grafos plábicos. La mayor parte de este de los trabajos de otros autores de los últimos cuarenta años, pero también hay algunos resultados originales de menor importancia: Por ejemplo, que los anillos de coordenadas de variedades abiertas de Richardson son UFD, que la descomposición de Deodhar no es una estratificación en Lie tipo A y descripciones explícitas de la descomposición de Deodhar en términos de rangos de submatrices.

En la ultima parte del curso nos enfocaremos en las aplicaciones de las variedades positroides. Estudiemos la Grassmanniana positiva Gr≥0(k,n) es el subconjunto de la Grassmanniana real en el que todas las coordenadas de Plücker son no negativas. Posee una bella estructura combinatoria, así como conexiones con la física estadística, los sistemas integrables y las amplitudes de dispersión. El amplituhedron An,k,m(Z) es la imagen de la Grassmanniana positiva Gr≥0(k,n) bajo un mapa lineal positivo Rn -> Rk+m. Explicaremos cómo las ideas de los matroides orientados, la geometría tropical y las álgebras de conglomerado arrojan luz sobre la estructura de la Grassmanniana positiva y el amplituhedro.

1. Antecedentes

(a) El grupo simétrico

(b) Geometría algebraica

(c) Grassmannianas y variedades de bandera

(d) Variedades de Schubert y Richardson

(e) Variedades positroides

(f) Álgebra de Plücker

2. Descomposición Deodhar

(a) Las piezas Deodhar

(b) Formulas de productos matriciales

(c) No estratificación

3. Positividad total

(a) Subespacios totalmente no negativos y banderas

(b) Complejos de células y positividad total

(c) Positividad total en variedades de bandera parciales

4. Positroides

(a) Consequencias del caso de variedades de bandera parciales

(b) Permutaciones afines

(c) Matrices de rango ciclicos

(d) Collares de Grassmann

(e) Clases de cohomología

5. Graficas plabic (planas bicoloreadas)

(a) La medida de la frontera

(b) Caminos zig zag

(c) El twist y sus consecuencias

6. Amplituhedro

(a) Aplicación momento, azulejos positroides, la Grassmanniana positiva tropical

(b) Amplituhedro y la estratificación de signos

(c) Aplicación de amplituhedro y particiones planas

(d) T-dualidad

(e) Álgebras de conglomerado

Calendario

martes: 9:00 - 11:00, miércoles 15:00 - 17:00, jueves 9:00 - 11:00

1. 
   

2. 20/08/2025 miércoles:  1. (a), (b), (c) [S] 1.1-1.3

3. 21/08/2025 jueves: 1. (d), (e) [S] 1.4-1.7

4. 26/08/2025 martes: 1. (f) [S] 2.1-2.2

5. 11/09/2025 jueves:

6. 16/09/2025 martes:

7. 17/09/2025 miércoles:

8. 18/09/2025 jueves:

9. 01/10/2025 miércoles

10. 08/10/2025 miércoles

11. 15/10/2025 miércoles

12. 16/10/2025 jueves

13. 29/10/2025 miércoles

14. 30/10/2025 jueves

15. 04/11/2025 martes

16. 11/11/2025 martes

17. 13/11/2025 jueves