Temario

Una variedad de Richardson es la intersección, dentro de la variedad bandera GLn/B+, de una célula de Schubert (B−uB+)/B+ y una célula opuesta de Schubert (B+wB+)/B+ (o la intersección similar de variedades de Schubert). En este curso, estudiemos una visión general de lo que se sabe sobre (1) anillos de coordenadas homogéneos de variedades de Richardson, sus bases y degeneraciones (2) parametrizaciones de variedades de Richardson utilizando variedades de Bott-Samelson (3) las descomposiciones de Deodhar del múltiple y de las variedades de Richardson dentro de ella y (4) positividad total en la variedad bandera. También ofrecemos una visión general de la combinatoria de las variedades positroides, sus relaciones con las variedades de Richardson, y cómo se parametrizan mediante grafos plábicos. La mayor parte de este de los trabajos de otros autores de los últimos cuarenta años, pero también hay algunos resultados originales de menor importancia: Por ejemplo, que los anillos de coordenadas de variedades abiertas de Richardson son UFD, que la descomposición de Deodhar no es una estratificación en Lie tipo A y descripciones explícitas de la descomposición de Deodhar en términos de rangos de submatrices.

1. Antecedentes (Lara)

(a) El grupo simétrico

(b) Geometría algebraica

(c) Grassmannianas y variedades de bandera

(d) Variedades de Schubert y Richardson

(e) Variedades positroides

2.  El álgebra de Plücker (Lara)

(a) Teoría clásica

(b) Ideales de variedades Richardson

(c) Teoría de monomios estándar 

(d) El complejo simplicial de monomios estándar

3.  Positividad total (Juan Daniel)

(a) Subespacios totalmente no negativos y banderas

(b) Complejos de células y positividad total

(c) Positividad total en variedades de bandera parciales

4.  Positroides (Mario)

(a) Consequencias del caso de variedades de bandera parciales

(b) Permutaciones afines

(c) Matrices de rango ciclicos

(d) Collares de Grassmann

(e) Clases de cohomología

5.  Graficas plabic (planas bicoloreadas) (Carolina)

(a) La medida de la frontera

(b) Caminos zig zag

(c) El twist y sus consecuencias

6.  Variedades Bott-Samelson (opcional)

(a) Definición

(b) Formulas de productos de matrices

(c) Aplicaciones a celulas de Schubert

(d) Variedades Brick y Richardson

7.  Descomposición Deodhar (opcional)

(a) Las piezas Deodhar

(b) Formulas de productos matriciales

(c) No es una estratificación

Calendario

martes: 9:00 - 11:00, miércoles 15:00 - 17:00, jueves 9:00 - 11:00

1. 19/08/2025 martes: 1. (a), (b), (c) [S] 1.1-1.3 (Lara), video, apuntes

2. 20/08/2025 miércoles:  1. (d) [S] 1.4-1.5 (Lara), video, apuntes

3. 21/08/2025 jueves: 1. (e), (f) [S] 1.6-1.7 (Lara), video, apuntes

4. 11/09/2025 jueves: 2. (a) [S] 2.1 (Lara), video, apuntes

5. 16/09/2025 martes: 2. (b), (c) [S] 2.2 (Lara)

6. 17/09/2025 miércoles: 2. (d) [S] 2.3-2.4 (Lara)

7. 18/09/2025 jueves: 3. (a) [S] 5.1 (Juan Daniel)

8. 01/10/2025 miércoles: 3. (a) [S] 5.1 (Juan Daniel)

9. 08/10/2025 miércoles: 3. (b), (c) [S] 5.2-5.3 (Juan Daniel)

10. 15/10/2025 miércoles: 4. (a), (b) [S] 6.1-6.2 (Mario)

11. 16/10/2025 jueves: 4. (c), (d) [S] 6.3-6.4 (Mario)

12. 29/10/2025 miércoles: 4. (e) [S] 6.5 (Mario)

13. 30/10/2025 jueves: 5. (a) [S] 7.1 (Carolina)

14. 04/11/2025 martes: 5. (b) [S] 7.2 (Carolina)

15. 11/11/2025 martes: 5. (c) [S] 7.3 (Carolina)

16. 13/11/2025 jueves: Outlook de 6. o 7. (Lara)