2024-2 curso básico: Álgebra conmutativa

Temario

1. Variedades afines: conjuntos algebraicos, topología de Zariski, componentes irreducibles, dimensión de Krull

2. Morfismos: funciones regulares, campo de funciones, morfismos, antiequivalencia variedades afines - dominios finitamente generados sobre un campo

3. Localización: fracciones, producto tensorial, anillos y modulos de longitud finita

4.  Descomposición primaria: primos asociados, descomposición primaria, interpretación geométrica

5.  Dependencia Integral: Teorema de Cayley-Hamilton y Lema de Nakayama, dominios normales, primos en extensiones enteras, Teorema de ceros de Hilbert (Nullstellensatz)

6. Lema de Artin-Rees: anillos y módulos graduados asociados, el álgebra de la explosión (blow up), Teorema de intersaección de Krull

7. Módulos planos: el functor Tor y la caracterización de módulos planos,

8. Completaciones: propiedades básicas, Lema de Hensel, Teoría de Cohen (sin demo)

9. Teoría de dimensión (sin demo): axiomas, anillos afines y normalización de Noether; sistemas de parámetros y teorema de ideales principales de Krull; polinomio de Hilbert  

Calendario

• Mar 30/01/2024: El Teorema de la base de Hilbert (Eisenbud 1.4) y Anillos graduados (Eisenbud 1.5, p.30)

• Mie 31/01/2024: Álgebra y Geometría - el Nullstellensatz de Hilbert (Eisenbud 1.6 hasta Corolario 1.9 y su prueba), video

• Jue 01/02/2024: Funcion y polinomio de Hilbert (Eisenbud 1.9)

• Mar 06/02/2024: Fracciones y Localización (Eisenbud 2.1), video

• Mie 07/02/2024: Hom y Tensor (Eisenbud 2.2 hasta p.64)

• Jue 08/02/2024: Localización como Tensor (Eisenbud 2.2 hasta Prop.2.10, Tarea: leer y entender la prueba de Prop.2.10) (Fecha de entrega de la Tarea 1)

• Mar 13/02/2024: Modulos de longitud finita (Eisenbud 2.4 hasta la prueba del Teorema 2.13)

• Mie 14/02/2024: Anillos Artinianos y sus ideales primos (Eisenbud 2.4, p.75-78)

• Jue 15/02/2024: Discusión de la Tarea 1 (Fecha de entrega de la Tarea 2)

• Mar 20/02/2024: Ideales primos asociados (Eisenbud 3.1 y 3.2), video

• Mie 21/02/2024: Descomposición primaria (Eisenbud 3.3)

• Jue 22/02/2024: Discusión de la Tarea 2

• Mar 27/02/2024: Lectura Eisenbud 3.4-3.8

• Mie 28/02/2024: Lectura Eisenbud 3.4-3.8

• Jue 29/02/2024: Lectura Eisenbud 3.4-3.8 (Fecha de entrega de la Tarea 3)

• Mar 05/03/2024: El Teorema de Cayley-Hamilton (Eisenbud 4.1), video

• Mie 06/03/2024: El Lema de Nakayama (Eisenbud 4.1)

• Jue 07/03/2024: Discusión de la Tarea 3 y interpretación geométrica de la descomposición primaria (Eisenbud 3.8)

• Mar 12/03/2024: Normalización (Eisenbud 4.2) y ideales primos en extensiones integrales (Eisenbud 4.4 hasta Lema 4.16)

• Mie 13/03/2024: Examen parcial

• Mar 19/03/2024: Extensión integral, anillo de Jacobson, versión general del Nullstellensatz (Eisenbud 4.5)

• Mie 20/03/2024: Filtraciones, Lema de Artin-Rees (Eisenbud 5)

• Jue 21/03/2024: Discusión del Examen parcial (Fecha de entrega de la Tarea 4)

•        Mar 26/03/2024: semana santa

• Mie 27/03/2024: semana santa

• Jue 28/03/2024: semana santa

• Mar 02/04/2024: Teorema de intersección de Krull (Eisenbud 5.5) y motivación de modulos planos (Eisenbud 6.1)

• Mie 03/04/2024: Revisión de álgebra homologica (Eisenbud A.3.2/3/5/7/9)

• Jue 04/04/2024: Discusión de la Tarea 4

• Mar 09/04/2024: Introducción al functor Tor y criterios para modulos planos (Eisenbud 6.2 y 6.3) 

• Mie 10/04/2024: Criterios para modulos planos (Eisenbud 6.3), video

• Jue 11/04/2024: Criterios locales para modulos planos (Eisenbud 6.3), (Fecha de entrega de la Tarea 5)

• Mar 16/04/2024: Ejemplos y Motivación para completaciones (Eisenbud 7.1), video

• Mie 17/04/2024: Lema de Hensel y Teorema estructural de Cohen (Eisenbud 7.2 y 7.4), video

• Jue 18/04/2024: Discusión de la Tarea 5 (Fecha de entrega de la Tarea 6)

• Mar 23/04/2024 12:00 - 14:00: Teorema 7.9 y Propiedades básicas de la completación (Eisenbud 7.5)

• Mie 24/04/2024 13:00 - 15:00: Discusión de la Tarea 6

• Jue 25/04/2024: no hay clase (Fecha de entrega de la Tarea 7)

• Mar 30/04/2024 12:00 - 14:00: Aplicaciones de anillos de series de potencia y la prueba del Lema de Hensel (Eisenbud 7.6)

• Mie 01/05/2024: feriado

• Jue 02/05/2024: Discusión de la Tarea 7 (Fecha de entrega de la Tarea 8 es el lunes 06/05/2024)

• Mar 07/05/2024 12:00 - 14:00 Teoría de dimensión (Axiomas D3,D4) y caracterizaciones (Eisenbud 8.1 y 8.2.1 y 8.2.2), video

•   Mie 08/05/2024: no hay clase

• Jue 09/05/2024: 12:00 - 14:00: Discusión de la Tarea 8 (Examen general 2021-I) y Eisenbud 8.2.3

• Mar 14/05/2024: feriado

• Mie 15/05/2024: 10:00 - 12:00: Anillos afines de dimensión cero (Eisenbud 9.1) 

• Jue 16/05/2024: 11:30 - 13:00: Resumen de los capítulos 5,6,7, video

• Mar 21/05/2024: 

• Mie 22/05/2024: 

• Jue 23/05/2024: Examen final

Evaluación

La evaluación del curso depende de los siguentes elementos

1. Entrega por escrito de las tareas

2. Presentación de la solución de (parte de) la tarea en clase

3. Examenes (un examen parcial y un examen final)

4. Asistencia y participación en las clases

Opcionalmente pueden tomar el examen general de Álgebra Conmutativa que es independiente del curso y su evaluación. Para el examen general es necesario registrarse en forma y tiempo con el formato del posgrado firmado por el tutor. Por favor, verifiquen la fecha limite de registro y la fecha del examen general en la página web del posgrado y en caso de dudas contacten posmat(at)ciencias.unam.mx.