Matemàtiques II
Curs 2022-23
CRITERIS DE QUALIFICACIÓ DEL DEPARTAMENT
BATXILLERAT: Criteris de qualificació a Batxillerat de les assignatures de Matemàtiques I i II i de les assignatures de Matemàtiques aplicades a les ciències socials I i II: Aquí.
CONTINGUTS, CRITERIS D'AVALUACIÓ I ESTÀNDARDS D'APRENENTATGE AVALUABLES:
1r de Batxillerat. Matemàtiques II: Aquí
UNITATS DIDÀCTIQUES
BLOC 1. ÀLGEBRA
Al-Khwarazmi, considerat el pare de l'àlgebra, fóu un matemàtic, geògraf, astròleg/astrònom.
El seu treball científic es va desenvolupar entre els anys 813 i 833 dins de les institucions fundades pel califa al-Mamun: la Casa de la saviesa (dedicada a traduir obres clàssiques), la biblioteca i l'observatori astronòmic de Bagdad. Gràcies a això, es varen transmetre a la cultura àrab els coneixements dels clàssics en grec, llatí o sànscrit. Durant els segles de l'edat mitjana, al-Khwarazmí va ser la principal font de coneixements matemàtics entre l'Orient i l'Occident.
T.1 Matrius.
Continguts i procediments del tema:
Operar amb matrius.
Aplicar correctament les propietats.
Comprovar propietats d'algunes matrius.
Calcular el rang d'una matriu mitjançant el mètode de Gauss.
Calcular la inversa d'una matriu mitjançant el mètode de Gauss-Jordan.
Resoldre equacions i sistemes matricials.
Determinar matrius que compleixin una certa condició.
Calcular constants que fan que fan que es compleixi una igualtat entre matrius.
Calcular potències de matrius. Trobar la potència n-èssima d'una matriu.
Rang d’una matriu. Discussió del rang d'una matriu depenent d'un paràmetre.
Resoldre problemes utilitzant matrius.
Video tutorial: Calcular valors dels paràmetres per a que dues matrius siguin commutables (És a dir, per a que A·B = B·A).
Video tutorial: Com aïllar una matriu en una equació matricial.
Video tutorial: Resolució d'equacions matricials
Video tutorial: potència n-èssima d'una matriu
Video tutorial: potència n-èssima d'una matriu o d'un exponent gran.
Video tutorial: Càlcul matriu inversa pel mètode de Gauss
T.2. Determinants
Continguts i procediments del tema:
Calcular el determinant d'una matriu fent servir les seves propietats.
Calcular el determinant d'una matriu fent zeros.
Calcular el rang d'una matriu a partir dels seus menors.
Calcular la inversa d'una matriu amb determinants.
Resoldre equacions amb determinants.
Reduir un determinant a un altre determinant el valor del qual es coneix.
Estudiar el rang d'una matriu que depèn d'un paràmetre utilitzant determinants.
Comprovar si una matriu que depèn d'un paràmetre té inversa.
Resoldre equacions matricials.
Video tutorial: Càlcul del determinant d'una matriu utilitzant les propietats.
Video tutorial: Equacions amb determinants aplicant les propietats.
Video tutorial: Càlcul del rang d'una matriu per determinants
Video tutorial: Càlcul del Rang d'una matriu segons un paràmetre mitjançant determinants.
Video tutorial: Calcula el rang d'una matriu amb paràmetres mitjançant determinants.
T.3. Sistemes d'equacions.
Continguts i procediments del tema:
Resoldre sistemes d'equacions.
Discutir i resoldre un sistema amb un/s paràmetre/s.
Asssociar una equació matricial a un sistema d'equacions.
Resoldre problemes mitjançant sistemes d'equacions lineals.
Resolució d'uns Sistema d'equacions 3x3 per Gauss. Cas Compatible determinat.
Resolució d'un sistema cas Compatible Indeterminat.
Video tutorial: Discussió de sistema d'equacions amb paràmetres utilitzant el mètode de Rouché-Frobenius (estudi de rangs amb determinants).
Video tutorial: DIscussió d'un sistema homogeni amb paràmetres.
Video tutorial: Discussió i resolució d'un sistema d'equacions amb paràmetres cas SCD i cas SCI.
Video tutorial: Discussió i resolució d'un sistema 4x4
BLOC 2. GEOMETRIA.
L’Acadèmia d’Atenes va ser fundada el 387 aC per Plató. Aquesta escola gaudí de més llibertat intel·lectual que les comunitats pitagòriques en les que s’inspirava.
En aquella acadèmia s’estudiaven una gran diversitat de matèries. Les matemàtiques, però, hi tenien un paper destacat. Ja ho advertia una màxima al frontispici de l’edifici:
“Que no hi entri ningú que no conegui la geometria”
T.4. Vectors a l'espai.
Problema: Trobar l'àrea d'un triangle que té com a vèrtexs els que s'obtenen de la intersecció entre un pla i els eixos de coordenades.
T.5. Rectes i plans a l'espai.
Video tutorial: Com passar d'una equació paramètrica a una equació general del pla.
Video tutorial: Trobar l'equació del pla donades alguna condicions.
ATENCIÓ!!
En el minut 13:20 comet un error quan diu que 1·(-5)=5, quan dóna -5. Al cambiar de signo quedaria +5(x-1)!! Canvia el resultat de l'equació, pero el plantejament és el mateix. La solució: 23x+y-3z-19=0
Problema: Trobar l'equació d'un pla que conté a una recta donada i sigui paral·lela a una altra també donada.
Tutorial de com trobar la posició relativa de dues rectes donades (el cas surt que es creuen) i donar les coordenades del seu punt d'intersecció.
Video tutorial: Obtenir el punt simètric respecte d'una recta.
ATENCIÓ!!!
El procediment és correcte, però hi ha un error de càlcul, las equacions paramètriques de r serán
x=-1-2λ; y=4+3λ; z=λ
i l'equació de pla serà π:-2x+3y+z+3=0. Substituint en el pla
-2(-1-2λ)+3(4+3λ)+λ+3=0 ; π:2+4λ+12+9λ+λ+3=0 ;
π:14λ+17=0 ; 14λ= -17; λ= -17/14 I substituint λ en la recta:
x= -1-2λ; x=-1-2(-17/14); x= 10/7
y= 4+3λ; y=4+3(-17/14); y=5/14 z= λ;
z= -17/14
De manera que M serà (10/7, 5/14, -17/14).
Les coordenades de P' se calcularan de la mateixa manera P'=2M-P...
Tutorial de com trobar un punt simètric respecte d'un pla.
Video tutorial: Posició relativa entre una recta i un pla a partir del vector director de la recta i del vector normal al pla.
Video tutorial: Estudi de la posició relativa de dues rectes en funció d'un paràmetre.
Video tutorial: Estudi de la posició relativa entre una recta i un pla a través de l'estudi del sistema creat per totes les equacions. És un mètode més llarg que l'anterior però pot ser útil si hi ha paràmetres.
Video tutorial: Posició relativa de dos plans.
Estudi de la posició relativa de 3 plans.
Video tutorial: Recta que passa per un punt i talla perpendicularment a una recta donada.
Video tutorial: Perpendicular comuna a dues rectes donades (Recta que talla perpendicularment a dues rectes que es creuen o es tallen).
Problema: Trobar la recta que passa per un punt i talla a dues rectes donades r i s.
Observació! No és el mateix que cercar la perpendicular comuna a r i a s, ja que aquest cop no necessitam que la recta talli a les altres dues de manera perpendicular.
Resolució del problema: Trobar l'equació d'un pla que conté una recta i és perpendicular a un altre pla donat.
Problema: Trobar un pla que passa per un punt, és paral·lel a una recta donada i perpendicular a un pla també donat.
Problema: Donats dos punts que representen dos vèrtexs d'un rectangle, trobar les coordenades dels altres vèrtexs saben que un d'ells es troba en una recta.
T.6. Angles i distàncies.
Video tutorial del càlcul de l'angle que formen dues rectes.
Video tutorial: càlcul de l'angle que formen una recta i un pla
Trobar el valor d'un paràmetre per a que la distància entre un punt a un pla sigui una donada.
Distància entre dues rectes que es creuen.
Visualització de com s'obté la fórmula.
Càlcul de la distància entre dues rectes que es creuen. Exemple
Exemple del càlcul de la distància entre dues rectes que es creuen.
Tutorial per calcular la distància entre dues rectes que són paral·leles.
Càlcul de la distància entre un punt i una recte. Mètode 1.
Creant el pla que passa pel punt i és perpendicular a la recta.
Càlcul de la distància entre un punt i una recta. Mètode 2.
Utilitzant punt genèric.
Càlcul de la distància entre dos plans paral·lels
Video tutorial: Obtenir el valor d'un paràmetre per a que la distància entre dues rectes sigui una donada.
Problema: Trobar la distància entre un punt donat i la intersecció de dos plans també donats.
Observació: La intersecció de dos plans donats serà una recta que té per equació el sistema creat per les dues equacions dels plans.
Problema: Trobar un punt d'una recta donada que sigui el més proper a un altre punt donat.
Observació: El punt de la recta més proper, serà el punt de tall entre la recta donada i un pla perpendicular a la recta que passi pel punt donat.
Resolució del problema: Calcular el volumen d'un tetraedre que té com a vèrtexs el punt O(0, 0, 0) i els punts d'intersecció entre un pla donat i els eixos de coordenades.
Problema: Trobar el volum d'un cub que té dues cares oposades en dos plans (paral·lels).
Problema: a) Trobar l'angle que formen dos plans donats. b) Trobar un pla perpendicular a dos donats que passi per l'origen de coordenades.
BLOC 3. ANÀLISI
T.7. Límits i continuïtat.
T.8. Derivades.
Introducció al significat de la derivada. Concepte de Tasa de variació mitjana.
Càlcul de la derivada utilitzant la definició.
Alguns exercicis interessants de càlcul de l'equació de la recta tangent en un punt segons algunes condicions.
T.9. Aplicacions de les derivades.
Problema d'optimització de funcions.
Una mica d'humor... I will derive!!
T.10. Representació de funcions.
Estudi de la monotonia d'una funció polinòmica.
Estudi de la Monotonia d'una funció racional.
T.11. Integral indefinida.
Integrals Immediates.
Integrals quasi-immediates
Calcular integrals per Canvi de Variable.
Càlcul d'integrals pel mètode d'Integració per Parts.
Integrals de funcions racionals. Explicació teòrica.
Integració funcions racionals alguns exemples de cada.
Integral racional fent divisió de polinomis.
Integrals racionals amb arrels reals simples
Exemple d'Integrals racionals. Cas arrel simple i arrel no simple.
Integrals de funcions racionals del tipus arctangent.
Dos exemples d'integrals per canvi de variable. En el segon cas, es va a parar a una integral d'una funció racional
T. 12. Integral definida.
Integral definida. Introducció.
Integral definida en una funció definida a trossos
Integrals definides. Càlcul d'àrees.
A ritme d'integrals... ;)
Accés a la carpeta de documents del tema d'integral definida.
BLOC 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA
T. 13. Probabilitat
Probabilitat condicionada. Successos independents.
Probabilitat condicionada
Problema amb aplicació del Teorema de Bayes.
Problema amb càlcul de Probabilitat Total i fórmula de Bayes.
Exercici de probabilitat una mica diferent.
Exercicis aplicant les propietats de la probabilitat.
Càlcul de probabilitats de 3 successos
T. 14. Distribucions Binomial i Normal.
Què és una distribució Binomial.
Què és una distribució normal.
La funció distribució Normal
Distribució Normal (0, 1)
Maneig de la taula. Casos senzills.
Distribució Normal (0, 1)
Maneig taula. Tots els casos.
Distribució Normal (0, 1)
Exemples.
Tipificació d'una distribució de probabilitat normal
El que vull és no anar al juliol
No hi ha res com la música per alliberar la tensió dels exàmens.
Acabam!!! Hi ara què?
Encara no saps què fer després de batxillerat? Alguns estudiants et volen fer alguna recomanació... ;)