TABLERO DE NOTICIAS Y NOVEDADES

1. DEBEN ESTAR PENDIENTES EN QUÉ SEMANA Y FECHA DEBEN ENTREGAR ACTIVIDADES

2. SE REBAJARÁ LA NOTA POR CADA SEMANA DE RETRASO EN LA ENTREGA DE LA ACTIVIDAD

3. DEBIDO A QUE EL PERIODO PASADO SE COPIARON LAS ACTIVIDADES, EN ESTE PERIODO, SE LE ASIGNARÁ LA NOTA DE 1.0 AL TRABAJO QUE SE OBSERVE QUE ES COPIA Y DEBE PRESENTAR PLAN DE MEJORAMIENTO DEL ÁREA.

MÓDULO II- 2021

FECHAS DE ENTREGA ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS

• Semana: 3 al 7 de mayo. Actividad: 1,2,3

• Semana:18 al 21 de mayo. Actividad 4

• Semana: 31 de mayo al 4 junio. Actividad 5

• Semana: 15 al 18 de junio. Actividad 6 y 7

• Semana: 19 al 23 de Julio. Actividad 8 y 9

• Semana: 2 al 6 de agosto. Taller

• Semana: 17 al 20 de agosto. Taller

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

SABERES

• Razones trigonométricas

• Resolución de triángulos rectángulos

• Ley del seno

• Ley del coseno

La Trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia, se aplica en diferentes ramas de la física como el electromagnetismo, la mecánica, termodinámica, entre otras, también, se aplica en la navegación, en la aviación e ingeniería civil, para calcula distancias y medidas de ángulos

En el sistema internacional de unidades se utiliza el grado (°) como unidad de medida, una vuelta es equivalente a 360°

Un ángulo está en posición normal, cuando al representarlo en un sistema de coordenadas cartesianas, su vértice coincide con el origen del sistema y el lado inicial coincide con el semieje positivo de las x.. El ángulo es positivo si el movimiento es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y es negativo, cuando gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj

ACTIVIDAD 1. Clasificación de ángulos

Observa en el siguiente cuadro la clasificación de los ángulos de acuerdo a su amplitud, la suma y la posición relativa con otros ángulos

Dibuja el ángulo en el cuaderno y escribe el nombre de cada ángulo de acuerdo a la anterior tabla de clasificación

ACTIVIDAD 2. Clasificación de triángulos

Construye si es posible, un triángulo que cumpla con cada condición. Si no es posible, explica por qué no se puede realizar la construcción. Tenga en cuenta la clasificación de los triángulos que se muestra en la tabla de abajo

1. Isósceles- acutángulo

2. Escaleno - rectángulo

3. Equilátero - rectángulo

4. Obtusángulo - isósceles

5. Equiángulo - escaleno

ACTIVIDAD 3. Teorema de Pitágoras

Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo cualquiera ABC. Completa las medidas en los caso en los que es posible calcularla.

1. Si AB =3 y BC =4, entonces, CA=

2. Si CB= 6 y AB = 8, entonces, AC=

3. Si AC = 10 y BC = 4, entonces, AB =

4. Si BC = 8 y AC = 3, entonces, BA =

5. Si AB = 8, y AC = 8, entonces, BC =

¿En cuáles casos no es posible calcular la medida indicada? Justifica tu respuesta.

Recuerda que:

En todo triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros lados se denominan catetos. El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. Así, en un triángulo rectángulo las medidas de los catetos son a, b y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple que: 𝑐² = 𝑎² + 𝑏²

El teorema de Pitágoras relaciona las áreas de los cuadrados que se forman a partir de los lados de un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura anterior

Actividad 4

Responde las siguientes preguntas

a. De acuerdo a la figura se observan tres triángulos. ¿Qué tipo de triángulos se formaron?

b. ¿Los ángulos correspondientes de los tres triángulos son iguales?

c. Recuerda que una fracción tiene significados de razón cuando se comparan dos cantidades, si tomamos el triángulo más pequeño, ¿Cuántas razones diferentes se pueden formar?

Recuerda que los lados de un triángulo rectángulo tienen nombres especiales, por ejemplo, la hipotenusa es el lado más largo y se encuentra al frente del ángulo recto, a los otros dos lados se les llama catetos, cada cateto tiene un nombre específico de acuerdo a la relación con respecto a un ángulo específico

● Cateto opuesto (co): Es el cateto que se encuentra al frente del ángulo dado

● Cateto adyacente (ca): Es el cateto que está al junto al ángulo dado, y que no es la hipotenusa

Retomando nuevamente la actividad, en el triángulo pequeño NAB y con respecto al ángulo, se tiene que el cateto opuesto es NB=30, el cateto adyacente es AB=40 y la hipotenusa es AN=50, entonces las razones trigonométricas se definen como:

1. Realiza este mismo procedimiento para los otros dos triángulos del problema

2. ¿Cómo son los valores de las relaciones trigonométricas respectivas?

Con el desarrollo de esta actividad , se observa que los valores de las relaciones trigonométricas son iguales para los demás ángulos, por lo tanto se puede concluir que: el valor de cada razón trigonométrica es independiente de de la medida de los lados del triángulo rectángulo, y que solo depende del ángulo

● Los nombres completos con sus abreviaturas de las seis razones son:

seno: sen; coseno: cos; tangente: tan; cotangente: cot; secante: sec; cosecante: csc

● Las primeras tres razones trigonométricas son las básicas, las otras tres son las inversas:

Puedes observar que: La cosecante es el inverso del seno; la secante es el inverso del coseno y la cotangente es el inverso de la tangente.

Luego, se observa que MN es el cateto adyacente al ángulo, mientras que LM es el cateto opuesto

Finalmente, se reemplazan las medidas de los catetos y de la hipotenusa para calcular las razones trigonométricas

En los siguientes vídeos puedes observar la explicación del tema.

Actividad 5

1. Observa el siguiente triángulo. Luego responde

(El símbolo m∠C se lee” medida del ángulo en el vértice C”)

1. Completa.

a. Si en un triángulo rectángulo PQR, 𝑄𝑅 es el cateto adyacente del ángulo , ubicado sobre el vértice, entonces, el cateto opuesto al ángulo , es___________.

b. Si en un triángulo rectángulo ABC, y son los ángulos agudos, tal que BC es el cateto adyacente a ubicado sobre B, entonces, el cateto opuesto al ángulo a es_______y el cateto opuesto a es______.

3. A partir del triángulo rectángulo MNO, explique por qué la igualdad es verdadera.

4. Resuelve. Utiliza regla y transportador para construir un triángulo rectángulo ABC con un ángulo de 50°. Luego, mide los lados del triángulo y escribe los valores aproximados para sen50°, cos50° y tan50°

5. Halla el valor de todas las funciones trigonométricas para el ángulo , en cada triángulo

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

La resolución de triángulos rectángulos consiste en calcular las medidas de sus tres lados y el valor de sus tres ángulos, cuando ya conocemos como mínimo dos de éstos elementos

Ejemplo 2

Solucionar el siguiente triángulo rectángulo

Para hallar el ángulo que falta, debemos recordar que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°, como ya sabemos que el ángulo recto es de 90°, entonces, la suma de los otros dos ángulos debe ser también 90° (porque 90° + 90° es 180°).

Por lo tanto, si llamamos al ángulo que falta , entonces , 36°.

Para hallar los lados que faltan debes de elegir uno de los dos ángulos (36° 0 54°) para identificar cuál lado es el cateto opuesto y cuál el cateto adyacente. Se sugiere siempre utilizar los valores que da el problema.

Como el ángulo de referencia es 54°, entonces, el cateto opuesto y el cateto adyacente se ubican en el triángulo como lo muestra la siguiente gráfica.

Hacemos un resumen de los datos que da el problema y los datos que deseamos hallar:

● ángulo=54°

● CO=12 cm

● h =?

● CA=?

Por lo general, sólo utilizamos las razones trigonométricas básicas:

Elegimos cual valor hallar primero, por ejemplo, hallemos el valor de la hipotenusa h, entonces, debemos elegir una razón trigonométrica, que relacione el cateto opuesto CO ( valor dado), con la hipotenusa (h), la única, es el seno.

En una calculadora científica (algunos celulares tienen en sus calculadoras estas funciones, o en internet también puedes encontrar una calculadora on line) , se halla el valor de sen45°= 0,81 y se reemplaza en la razón.

Despejamos la incógnita, como h está dividiendo en el lado derecho, pasa a multiplicar al lado izquierdo, es decir, se multiplica en cruz para eliminar denominadores

El 0,81 que está multiplicando a h, pasa a al otro lado del igual a dividir

se resuelve la división

Para hallar el valor del cateto adyacente (ca) se realiza el mismo procedimiento, debemos elegir una relación trigonométrica que relacione el cateto adyacente (ca) con el cateto opuesto (co), la única razón es la cotangente

Reemplazo los valores dados

Se halla el valor de tan 54°, tan 54°=1,38 y se reemplaza en la razón

Como la incógnita está en el denominador y se debe pasar al numerador, se multiplica en cruz,( lo que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar)

Se despeja CA

Luego de hallar todos los valores, se ubican en el triángulo rectángulo

Tú puedes utilizar los valores hallados, para encontrar otros valores, pero te sugiero que utilices los valores dados en el problema. Debes de tener en cuenta que necesitas dos valores conocidos para hallar un valor desconocido.

Para hallar sen, cos o tan en la calculadora del celular, la debes colocar en modo científica, en algunos celulares basta con ponerlo en forma horizontal. Por ejemplo, si necesitas hallar sen 30°, digitas en tu celular en ese orden

Actividad 6

1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos

1. Resuelve el triángulo ABC, rectángulo en B, si se sabe que:

a. m∠A = 58° y a = 63,4 cm

b. b = 8 km y m∠C = 25

c. a= 200m y b = 354 m

Recuerda que generalmente, los vértices de los triángulos se escriben con letra mayúscula, los lados opuestos a estos vértices se escriben con la misma letra, pero en minúscula

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo se aplican en áreas como la física, la ingeniería y la navegación, puesto que permiten calcular distancias y medidas de ángulos.

Para resolver un problema aplicando las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo es conveniente realizar los siguientes pasos:

1. Realizar un dibujo de la situación en el que se muestre el triángulo rectángulo con las medidas dadas y la incógnita.

2. se busca la razón trigonométrica que relaciona las medidas dadas con la incógnita

3. Se despeja la incógnita

4. se redacta la respuesta

En este tipo de problemas es importante tener en cuenta el teorema de Pitágoras y la suma de los ángulos internos de un triángulo.

Ejemplo 3

David está haciendo volar su cometa. ha soltado ya 47 m de hilo y el ángulo que forma la cuerda de la cometa con la horizontal es de 52°¿a qué altura vuela la cometa?

De acuerdo con el ángulo dado, la altura es el cateto opuesto, y la hipotenusa es la cuerda. La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa es el seno.

sen 52°=a/47 m

Despejando la incógnita

sen52°. 47 m =a

se reemplaza el valor de sen 52°, sen 52°=0,79

0,79 x 47 m = a

a =37.13 m

R/ La cometa vuela a una altura de 37,13 m

Ángulos de elevación y ángulos de depresión

Supón que miras un avión en el cielo mientras se aproxima. Haz un dibujo de la situación y muestra cómo varía tu línea de visión hasta el momento en que el avión se encuentra por encima de tu cabeza.

Ejemplo 4

Desde un punto A de un barco en altamar, cierto observador ve el punto b en el extremo superior de un faro de 20 m de altura desde la altura de sus ojos. Si el hombre se encuentra a 50 m de la base c del faro ¡cuál es el ángulo que forma la recta AB con la horizontal? ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B?

En este caso se deben considerar dos líneas imaginarias: la visual que va del observador al extremo superior del faro y la línea horizontal.

Dado que el triángulo ACB es rectángulo en C, entonces el cateto adyacente es AC= 50 cm y el cateto opuesto es BC = 20 m, debemos hallar una razón trigonométrica que relacione el cateto opuesto con el cateto adyacente, esta función es tan β=c.o/c.a

tan β=2050tan β=0,4→β=tan-1(0,4)→β=21,8°

Este resultado significa que el ángulo que forma la línea visual con la horizontal es de 21,8°. Este ángulo es llamado ángulo de elevación.

La distancia AB, se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras o usando una relación trigonométrica que relacione la hipotenusa con el cateto opuesto o con el cateto adyacente, pues tenemos ambos valores. Utilicemos la razón del coseno, cos

cos21,8°=50mh

h . cos 21,8°=50m

h=50 m0,93

h=53,76m

Nota: los valores se redondean o dos cifras decimales, si queremos resultados más precisos se deben tomar más cifras decimales.

Ejemplo 5

Un topógrafo usa un instrumento llamado teodolito para medir el ángulo de elevación en el nivel del piso y la cima de la montaña. En un punto, se mide un ángulo de elevación de 41°. Medio kilómetro más lejos de la base de la montaña, el ángulo de elevación medido es de 37°. ¿Qué altura tiene la montaña?

Solución

En la siguiente figura se muestra la situación planteada por el problema, observa que hay dos ángulos de elevación, por lo tanto, se deben dibujar dos triángulos que comparten un lado común, a, de acuerdo a los datos del problema, los puntos donde se midieron los ángulos de elevación están separados por una distancia de medio kilómetro, es decir, 0,5 km.

La distancia horizontal entre el punto donde se mide el ángulo de 41° y la recta que designa la altura no es posible medirla porque lo impide la montaña, por lo tanto, esta distancia es una incógnita y la representaremos por la letra x. La altura que es la pregunta del problema se designa por la letra a

Entonces, como hay dos incógnitas, se deben plantear dos ecuaciones a partir de los dos triángulos rectángulos, en la siguiente figura se muestran los dos triángulos con la información dada

En ambos triángulos se relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente, por lo tanto, se debe utilizar la razón trigonométrica de la tangente: tan β=c.oc.a

● Del triángulo pequeño se tiene que: tan 41°=a/x ecuación 1

● Del triángulo grande se tiene que: tang 37°=a/0,5 + x ecuación 2

Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos emplear, cualquier método: igualación, reducción o sustitución, en esta ocasión emplearemos el método de igualación que consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones para luego igualarlas. Entonces, de ambos ecuaciones despejamos a

● De la ecuación 1, a= x.tan41°

● De la ecuación 2 a=tan 37°(0,5 + x)

● Se igualan los resultados:

x.tan 41°=tan 37°(0,5 + x),

Quedó una ecuación con una incógnita, procedemos a encontrar el valor de la x, para ello debemos reunir términos semejantes, paso a un lado de la igualdad las x y al otro lado los números. Pero antes debemos eliminar los paréntesis aplicando la ley distributiva

x. tan 41°=tan 37°. 0,5+tan 37°. x

x. tan 41°-x. tan 37°=tan 37°. 0,5

0,87x-0,75x=0,75 . 0,5→se hallaron los valores de tan 41° y tan 37°

0,12 x=0,37

x=0,375/0,12=3,125

● Finalmente, se halla el valor de la altura utilizando la ecuación más sencilla, en este caso, la más sencilla es la ecuación 1:tan 41°=ax

Reemplazo los valores conocidos en la ecuación, y luego, despejo a

0,87=a/3,125

0,87 . 3,125=a

a=2,72 km

R/ La altura de la montaña es de aproximadamente, 2,72 km

Actividad 7

1. Hallar la altura de los edificios de la figura

1. Desde un faro de 32,4 m de altura se observa un barco con un ángulo de depresión de 41°. Desde otro faro, de 44,7 m de altura, se observa el mismo barco con un ángulo de depresión de 36°. Si los dos faros y el barco están alineados, y el barco está en medio, ¿cuál es la distancia entre los faros?

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

Cuando un triángulo no es un rectángulo, entonces es acutángulo u obtusángulo. este tipo de triángulos se resuelve teniendo en cuenta las medidas que se conocen del triángulo, según los siguientes caso:

● caso 1: se conoce un lado y dos ángulos (LLA o ALA)

● Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)

● Caso 3: se conocen los tres lados del triángulo (LLL)

● Caso 4: se conocen dos lados y ángulo comprendido entre ellos (LAL)

Los triángulos que corresponden a los casos 1 y 2 se resuelven mediante la ley de senos y los casos 3 y 4 se resuelven mediante la ley de cosenos. Es importante tener en cuenta que cuando se aplica la ley de senos en el caso 2 el problema puede tener solución única, dos soluciones o no tener solución

LEY DE SENOS

Dado un triángulo de lados a, b, y c cuyos ángulos opuestos son A,B y C respectivamente, se cumple que:

Para resolver un problema con la ley del seno, debemos de tener tres datos y una incógnita, para ello se elige la razón que tenga la información completa y se iguala a otra razón que tenga sólo una incógnita, debes verificar que la suma de los ángulos internos sea 180°. También puedes encontrar la ley del seno planteada de la siguiente manera:

a/senA=b/sen B =c/sen C

Ejemplo 6

Aplica la ley del seno en el siguiente triángulo para calcular la medida de b

Solución

Como nos dan el valor de un lado, pero no tenemos la medida de su ángulo opuesto, entonces, primero se calcula la medida del ángulo ,

Luego, se aplica la ley del seno, se eligen siempre dos razones, una razón que tenga la información completa y la otra razón que tenga sólo una incógnita, en este caso, la razón que tenga la incógnita del problema, así:

Ejemplo 7

Un águila vuela sobre un prado plano y despejado; desde allí observa dos ratones con ángulos de depresión de 32° y 48°, respectivamente. Los ratones están a 2 km uno del otro. ¿A qué distancia del águila se encuentran los ratones?

Solución

Primero se hace un dibujo planteando la situación del problema mostrando las medidas dadas y las incógnitas. Designamos con x a la distancia que hay del ratón desde el ratón al águila con el ángulo de 48° y, y a la distancia que hay desde el otro ratón al águila con el ángulo de 32°.

R/ Un ratón está a una distancia aproximada de 1,08 km

Actividad 8

1. Encuentra la distancia a la que se encuentra el otro ratón en el problema anterior

2. Un granjero quiere medir la distancia desde un punto A ubicado en su granja hasta un punto C ubicado en una propiedad vecina, sin pasar la cerca que se muestra en la figura. calcular AC si

LEY DEL COSENO

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados, menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del triángulo comprendido entre ellos, es decir, dado un triángulo ABC, se cumple que:

Ejemplo 8

Resolver el triángulo ACB en el cual a= 5cm, b= 4 cm y c = 6 cm

Solución

Recuerda que resolver un triángulo es hallar todas las medidas de los lados y de los ángulos, como ya tiene las medidas de sus tres lados debemos hallar el valor de sus tres ángulos.

Primero, hallamos la medida del ángulo A, aplicando la ley del coseno, así:

Se plantea la fórmula que contenga el ángulo A

a²=b²+ c²-2bc.cosA

Se despeja el ángulo A, el término que contiene el ángulo A se debe dejar sólo a un lado de la igualdad

2bc.cosA=b²+ a cosc²-a²

^{2bc que multiplica 2cosA pasa a dividir}

cosA=b²+ c²-a²/ 2bc

Se reemplazan los valores y realizan las operaciones

Se despeja el ángulo A

• Halla la medida del ángulo B y C siguiendo el mismo procedimiento anterior

Ejemplo 9

Dos personas parten de un mismo punto A y sus caminos forman un ángulo de 60°. Si una hora después han caminado 10 km y 12 km, respectivamente, ¿Qué distancia los separa?

Solución

Si a es el punto de partida, los puntos B y C corresponden a los puntos de llegada de cada persona. Estos tres puntos determinan el triángulo ABC de la figura, en el cual la medida de BC será la distancia que los separa luego de realizar su recorrido.

Como los datos conocidos son b = 12 km, c = 10 km y la medida del ángulo A = 60°, y BC corresponde al valor de a, se utiliza donde esté despejado el lado a

Se plantea la fórmula

a²=b²+ c²-2bc.cosA

Se reemplazan los valores dados

a²=12²+ 10²-2x12x 10 cos 60°

R/ De acuerdo a lo anterior, la distancia que los separa una hora después de haber iniciado su recorrido es aproximadamente 11,13 km

Actividad 9

Resuelve los siguientes triángulos

TALLER PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS

1. Desde un punto situado a dos metros sobre el nivel del piso, un hombre de 1,7 m de altura observa la torre de un edificio situado a 20 m sobre la horizontal. Si el ángulo que forma la visual con la horizontal es de 45°¿Cuál es la altura del edificio?

2. Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30°, si avanzamos 30 m, el ángulo pasa a ser de 45°. ¡calcular la altura del edificio

3. Un helicóptero busca aterrizar en medio de dos casas que se encuentran separadas 200m. Si se mide el ángulo de elevación desde cada casa hacia el punto P en el que se ubica el helicóptero en un instante dado, se obtienen las medidas 30° y 45° ¿A qué altura se encuentra el helicóptero en ese momento?

4, Un ingeniero debe construir un canal entre los puntos B y C de dos ríos. Para esto, el ingeniero representa ambos ríos con líneas rectas y escribe las medidas que conoce, como se muestra en la figura. ¿Cuál será la longitud del canal?

5. Dos barcos, A y B, están anclados cerca a un muelle. Desde el punto C del muelle se observan los dos barcos de modo que la medida del ángulo ACB es 60°, la distancia del barco A al punto de referencia es 5 km y la distancia del barco B a este mismo punto es de 8 km. Calcula la distancia entre los dos barcos

6. Calcula la medida del ángulo

7. Determina la longitud del puente de la figura, si la distancia del punto X a Y es de 95 m

8. Una superficie que forma un ángulo de 30° con un rayo del sol recibe menos radiación solar que una forma un ángulo de 90°. Representa la situación e investiga en qué partes del planeta los rayos del sol forman estos ángulos con la superficie terrestre

9. Un goniómetro es un instrumento que permite medir los ángulos que forma un elemento con respecto a una superficie horizontal. con este instrumento se puede hallar la altura de cualquier edificación sin necesidad de realizar una medición directa sino a partir del ángulo y la distancia horizontal a la que se encuentra la persona de la edificación.

La elaboración de un goniómetro casero es muy sencilla. Consulta como se hace un goniómetro casero y lo construyes. También debes consultar cómo se utiliza.

10. Con el goniómetro que construiste halla la altura aproximada de una de las columnas del metro cable del barrio. Manda evidencias (videos o fotos) elaborando esta actividad.

Lápiz, borrador, calculadora científica del celular u online, regla, cuaderno con hojas cuadriculadas, módulos del año 2020 para consultar teoría, celular.

● Lee con atento cuidado la teoría y las indicaciones que se dan, en cada uno de los tres momentos hay actividades por resolver.

● Si no entiendes algo, por favor me envías una foto y escribes la pregunta al WhatsApp

● Desarrolla todas las actividades en el cuaderno de matemáticas

● Te sugiero tomar nota en el cuaderno de las definiciones y de los ejemplos desarrollados

● La devolución de las actividades desarrolladas será de acuerdo a las fechas que se indica al principio de la actividad

● Trata de resolver las actividades en la semana sugerida

● Ministerio de Educación Nacional.(2017).Matemáticas 11. Libro del estudiante. Ediciones SM. S.A. Bogotá, Colombia

● García, L.Perdomo, A., Morales, D. ,Benavides, O., Castaño, J., Gamboa, J.(2013). Matemáticas 11. Los caminos del saber. Editorial santillana. Bogotá, Colombia

● Zill, D.,Dewar, J. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Capítulo 10. Recuperado de:https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-Dewar/%5bZill,Dewar%5dAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica.pdf