SESIÓN 9

¿Qué es una integral?
Un profesor me dijo un día, "una integral es una suma de cosas muy pequeñas, infinitamente pequeñas". Por tanto, es una suma infinita de cosas infinitamente pequeñas. 

Cómo ya sabes, el área bajo una función, en un intervalo determinado, es la integral definida de esa función.  

Se puede calcular esa área, mediante aproximaciones cada vez más precisas con rectángulos que cubren el área bajo la función. El límite de estas aproximaciones es la integral de Riemann.

Igual que en el apartado anterior, te recomiendo que investigues tú solo, todo esto. Después, vuelve aquí.

(...)

Repasemos lo realizado hasta ahora: 

• Hemos calculado el área del cuadrado en un crecimiento gnomónico en espiral. Hemos visto que llegamos a un cuadrado, cuyo lado, se aproxima a  √e

• Hemos realizado una nueva sucesión y la hemos llamado sucesión de √e

• Hemos visto que, para un número N de pasos determinado, los términos de la sucesión, y los lados del cuadrado en el crecimiento gnomónico, coinciden, es decir, an= fn

• Hemos comprobado que, el último término de la sucesión, cuando N tiende a infinito, es √e

• Finalmente hemos obtenido la expresión: 

¿Crees que podemos transformar esta expresión en una integral?

¡Intentémoslo!

La Suma de Riemann es un tipo de aproximación del valor de una integral mediante una suma finita. La podemos expresar de la siguiente forma:

Como ves, Riemann relaciona la integral definida, con una sumatoria de áreas de rectángulos. La base de todos los rectángulos es constante, (b-a)/n, y la altura es variable, f(x). 

Si te fijas, nosotros también hemos calculado el área del cuadrado de expansión gnomónica, mediante una suma de rectángulos. 

Vamos a transformar nuestra sumatoria para que se asemeje a la suma de Riemann:

Ahora, que se parece bastante, vamos a intentar obtener una función f(x) que exprese nuestra sucesión fn . Observa que, en nuestras ecuaciones, k es n y n es N:

Ahora te toca a ti.
¿Sabrías decirme que función cumple esto?

Muy bien: 

Es decir: 

Por lo que concluimos que, el crecimiento gnomónico en espiral de un cuadrado, sigue la función exponencial:

f(x) = ex 

Donde, f(x) es el área del cuadrado y x es el paso dividido entre el número de pasos totales, x=n/N

Práctica 15:

Usando la misma hoja de cálculo, comprueba que los valores de la sucesión fn coinciden con los valores que toma la función:

 f(x) = (√e)x

Acuérdate que:

• n es cada paso

• N es el número de pasos totales

• Y que x=n/N

En tu documento de Google indica si los valores de la sucesión fn coinciden con los valores que toma la función  f(x) = (√e)x

Expresa adecuadamente, en cada ejercicio, el número de la práctica y la sesión a la que pertenece, en este caso sería práctica 15 - sesión 9. Inserta las capturas de pantallas que consideres necesarias.

Para ampliar:

• ¿Qué es una integral?

• Introducción a la Integral de Riemann