La teoría de la expansión gnomónica tiene su base en la frase de Aristóteles: «Hay ciertas cosas que no sufren alteración salvo en magnitud, cuando crecen…» 

Es decir, aumentan de TAMAÑO, pero conservan la FORMA.

En la naturaleza hay muchos ejemplos de expansión gnomónica, por ejemplo las telas de araña y las conchas de molusco. 

Herón de Alejandría definió un gnomon “como cualquier figura que, yuxtapuesta a una figura original (que llamaremos germen), produce una figura semejante a la original”. 

Aquí tienes los gnómones correspondientes a tres figuras: el cuadrado, el triángulo y el pentágono.

Dibuja un cuadrado de lado unidad. Duplícalo. Adósalo al borde inferior. Vuelve a duplicarlo y adósalo al borde derecho, aumentando su tamaño de forma que esté perfectamente yuxtapuesto. Vuelve a duplicarlo y a yuxtaponerlo al borde superior. Si continúas el proceso unas cuantas veces, y dibujas el arco de circunferencia en cada cuadrado, obtendrás una figura como esta:

Esta figura se conoce como espiral de Fibonacci, y los lados de los cuadrados que la forman, siguen su famosa sucesión (1, 1, 2, 3, 5…). Si repetimos el proceso infinitas veces… ¡obtenemos un rectángulo con la proporción áurea!

También podemos realizamos el proceso a la inversa, al rectángulo áureo le introducimos cuadrados siguiendo este recorrido espiral. En este caso obtenemos una figura muy parecida, pero no igual. Obtenemos la espiral áurea:

Por lo tanto, podemos decir que, la espiral de Fibonacci de pasos infinitos, es igual a la espiral áurea. Y en esta situación se cumple que es una figura de expansión gnomónica, donde el germen es el rectángulo áureo y el gnomon es un cuadrado. Se modifica el tamaño, pero mantiene la forma. 

Todo esto lo entenderemos mejor si lo dibujamos nosotros:

Práctica 4:

El rectángulo áureo.

• Dibuja un cuadrado de lado unidad, duplícalo y adósalo al borde inferior. 

• Vuelve a duplicarlo y aumenta el tamaño del cuadrado de forma que se adose completamente al lado derecho. 

• Ahora repite el proceso adosándolo al borde superior. Vas girando en el mismo sentido. Continúa todo lo que puedas.

• Con el compás, dibuja la espiral.

• Calcula la proporción del rectángulo que obtienes

Práctica 5:

Explica gráficamente por qué el gnomon de un rectángulo áureo es un cuadrado. El alumno que primero consiga dibujarlo que salga a la pizarra y se lo explique a los demás. Una forma de solucionarlo es:

• Dibujar un rectángulo áureo

• Dentro del rectángulo dibuja un cuadrado adosado a un lado. Observa el rectángulo que queda dentro. Define la longitud de sus lados mediante letras.

• Comprueba lo proporción de este rectángulo de forma algebraica ((a+b)/a=a/b). 

Para ampliar:

• • Aula abierta - el crecimiento gnómico

  • Espiral logarítmica - WIKI

  • El Nautilus, referente del crecimiento gnomónico cordobés