SESIÓN 10

Hemos visto que el crecimiento gnomónico en espiral de un cuadrado sigue la función exponencial:

f(x) = ex  

Donde, 

• f(x) es el área del cuadrado

• x es el paso dividido entre el número de pasos totales (x=n/N)

Pero, ¿Estás completamente seguro? 

Compruébalo realizando la siguiente práctica:

Práctica 16:

Usando la misma hoja de cálculo, comprueba que los valores del área del cuadrado, cuando crece de forma gnomónica, coinciden con los valores que toma la función f(x) = ex 

• Crea una tabla de tres columnas (x, A(x) y f(x)) y N filas. En principio hazlo para N=32 (o más)

• Añade la columna de las x, (x=n/N)

• Añade la columna de las áreas A(x). Es decir, el área del cuadrado en función del paso n.

• Añade la columna,  f(x) = ex 

• Dibuja las funciones A(x) y f(x) y comprueba la aproximación entre ellas

En tu documento de Google indica si los valores de la sucesión se aproximan a los valores que toma la función  f(x) =  ex 

Expresa adecuadamente en cada ejercicio el número de la práctica y la sesión a la que pertenece, en este caso sería práctica 16 - sesión 10. Inserta las capturas de pantallas que consideres necesarias.

Es muy interesante ver que hemos llegado a la famosa función exponencial:

f(x) = ex

Como ya sabes, la derivada de esta función es igual a sí misma:

f(x) = ex = f'(x)

La derivada nos expresa, la tasa de variación instantánea, o la velocidad con la que crece la función en cada paso. 

Curiosamente, la tasa de variación de esta función en un punto, es igual al valor de la función en ese punto. Es una característica de esta función.

Pero estudiemos esta característica viendo el crecimiento de nuestro cuadrado.

Aquí mostramos el crecimiento de un cuadrado con N=4:

En el paso 3, el área del cuadrado es A3=2.0713, que es el área rallada de la figura de la izquierda. 

El incremento del cuadrado en ese paso 3, es ΔA3=0.4307, que es el área rallada de la figura de la derecha. 

Y el incremento del paso es Δx=1/N=1/4. 

La tasa de variación en el paso 3 es:

TV3  =  ΔA3 /Δx  = 0.4307/0.25  =  1.7227

Este valor debería coincidir con el A3=2.0713. Bueno..., eso sería si N es infinito. 

Aumentemos el número de pasos y veamos si nos aproximamos. 

Para N=8:

Estudiemos el paso n=5. El área A5=1.8576, y el incremento del cuadrado en ese paso 5, es ΔA5=0.2109. 

Ahora, el incremento del paso es Δx=1/N=1/8. Por lo que la tasa de variación en el paso 5 es:

TV5  =  ΔA5 /Δx  = 0.2109/0.125  =  1.6876 

Ahora, nos aproximamos algo más:

TV5  =  1.6876 ≈ 1.8576 = A5

Aumentemos el número de pasos una vez más. 

Probemos con el incremento del área en el paso 13 cuando N es 16:

TV13  =  2.1512 ≈ 2.2505 = A13

Creo que está claro, si aumentamos N, la función se aproxima a su derivada. 

Pero sigamos un poco más. 

Sabemos que, para un N tendente a infinito, la función es igual a su derivada. Estudiémoslo en un paso determinado, en el paso n. 

De las expresiones anteriores se deduce directamente:

Esto nos lleva a la expresión:

Vamos a visualizar esta expresión usando el cuadrado para N=4:

Aunque en las figuras no se observa, hay que indicar que para un N tendente a infinito An ≈ An-1

En el desarrollo del cuadrado, el área An-1 crece, mediante un ΔAn. En la figura, ese elemento está limitado a la cuarta parte de An-1, aunque en general sería la enésima parte. De esta forma obtenemos la siguiente área An. Así continuaría el proceso durante N pasos.

Volvemos a ver similitudes con la espiral de Fibonacci.

En la espiral áurea se duplican los cuadrados en un crecimiento infinito, sin embargo, en el crecimiento √e, estos cuadrados, que también quieren duplicarse, se ven limitados a su enésima parte.

Es como si estuviera limitado el crecimiento de cada An a una parte de si, a una enésima parte. Por lo tanto, 1/N es una constante de crecimiento en cada paso .

Planteemos una hipótesis:

Supongamos un número de seres vivos. Si estos crecen de forma que se limita su crecimiento a la enésima parte en cada paso, al cabo de N pasos, el número tenderá a ser e veces el número de seres vivos inicial. La función que expresa el crecimiento de estos seres es: 

f(x) = ex   donde 

x = n · 1/N, siendo 

n el número de cada paso y 

1/N la tasa de crecimiento de estos seres

Pero, como veremos en el último capítulo, las hipótesis hay que verificarlas usando el método científico

Práctica 17:

Busca en internet un ejemplo para el que se aplique la función exponencial f(x) = ex.
Yo he encontrado estos 2:

• Se usa para calcular, de forma aproximada, el crecimiento de poblaciones:

Pt = Po ekt

Po es la población inicial

Pt es la población en el tiempo t

e es el número de Euler

k es una constante

• Hay métodos de datación, como el de carbono 14, que siguen una función exponencial, con un parámetro diferente para cada elemento radiactivo, pero similares en su estructura:

N = N0  e-λt

Expresa adecuadamente en cada ejercicio el número de la práctica y la sesión a la que pertenece, en este caso sería práctica 17 - sesión 10. Inserta las capturas de pantallas que consideres necesarias.

Para ampliar:

• ¿Qué son las derivadas?

• La espiral logarítmica

• Crecimiento exponencial