LOS NUDOS EN LA MATEMÁTICAS Y TODOS SUS LÍOS

SANTIAGO GARCÍA ESTEBAN, 2BACH EXC

Objetivo

Los objetivos de este proyecto son el de dar a conocer la Teoría de Nudos, una rama poco conocida de la Topología. Se darán definiciones básicas que nos permitirán adentrarnos en la historia de esta Teoría y en los problemas que se han ido descubriendo y, posteriormente, resolviendo (como el problema de Dehn o del número de cruce). También se indicarán las diferentes aplicaciones en otras materias, desde la Biología hasta la vida cotidiana.

The objectives of this project is to raise awareness of Knot Theory, a little-known branch of Topology. Will give basic definitions that will allow us to look into the history of this Theory and the problems that have been discovered and, subsequently, solved (such as the Dehn problem or the crossing number). Furthermore, the different applications in other subjects, from Biology to everyday life, will also be indicated.

Introducción

Nudo 31 o de trébol

¿Qué es un nudo matemático?

Los nudos matemáticos son nudos que, al necesitar ser destensado para ser estudiado, los extremos del lazo se unen, para que no se deshaga al destensarse. Los nudos matemáticos son tridimensionales, por lo que al plasmarlo en un plano algunas partes del nudo se solapan (círculo rojo de la imagen), a esto se le llama cruce. Las proyecciones de un nudo en un plano se llama diagrama de un nudo.

Historia

William Thomson sacó en 1867 una teoría que decía que el mundo estaba compuesto por vórtices de éter y que dependiendo de cómo se anudaran estos, se conseguirían propiedades diferentes. Peter Guthrie Tait, al enterarse de esto, se puso a estudiar cómo se podía anudar, creando la tabla de nudos en 1877, un antecesor a la tabla periódica. Después de esto se empieza a estudiar cómo saber que dos nudos no son el mismo, que no son equivalentes.

Equivalencia entre nudos

Movimiento de Reidemeister

Son tres movimientos que puedes hacer a un diagrama de un nudo para cambiarlo sin tener que romper el nudo. Si puedes pasar de un nudo a otro con estos tres movimientos, esos dos nudos son iguales, son equivalentes.

Giro

Toque

Deslizamiento

Pero, ¿Cómo podemos saber que hemos hecho todas las combinaciones de movimientos y que aún así no hemos logrado pasar de uno al otro? ¿Cómo podemos saber si dos nudos no son equivalentes? Los matemáticos investigaron y dieron con la solución: Las invariantes. Aquí tenéis un ejemplo: Movimientos de Reidemeister - Google Drive

Invariantes

Dan una característica invariable a los nudos que no se verá afectada si se utilizan los movimientos de Reidemeister. Si esta carcterística es diferente en dos nudos, entonces los dos nudos no son equivalentes, pero, si es al reves, podrían ser equivalentes. Vamos a verlo:

Tricoloreabilidad

Como su nombre indica, coloreamos los arcos de un nudo con tres colores siguiendo las siguientes reglas:

1. Se tiene que utilizar al menos dos colores.

2. Los colores se cambian solo en los cruces.

3. Todos los arcos en un cruce cualquiera deben ser de colores diferentes o del mismo color, pero nunca solo con dos colores (nos dice si lo hemos coloreado bien) .

Habiendo entendido esto, empecemos a distinguir nudos.

No tricoloreable

Tricoloreable

No tricoloreable

El nudo desenlazado es no tricoloreable y el de trébol, tricoloreable. No son nudos equivalentes. El nudo figura de ocho o 41 no es tricoloreable, por lo que no es equivalente al nudo de trébol. Pero, podría ser equivalente al nudo desenlazado.

¿Qué matemáticas hay detrás de esto? Se encontró que cada cruce seguía una relación: X + Y≡ 2Z (mod 3). Los valores que le damos a cada arco que participa en el cruce es de 0 a 2.

Esto nos sirve para colorear nudos de manera sistemática, en vez de a ojo de buen cubero.

Hagamos otro ejemplo con el nudo figura de ocho y hacemos su determinante:

Coloreamos el nudo sabiendo que p=5:

La tricoloreabilidad es simple. Esa simpleza es tanto su punto fuerte como su punto débil porque sólo distingue entre dos tipos de nudos. Un ejemplo de esa debilidad es: si el desenlazado y la figura de ocho son no tricoloreables, ¿son nudos equivalentes? No se puede saber y ese es el problema que tiene esta invariante. Por ello vamos un paso extra:

P-coloreabilidad

El siguiente paso de la de colorear los arcos con tres colores, es colorearlo con p colores, p siendo un número primo ∈ R y >2.

Se encontró una igualdad: (x+y)/p resto= (2∗z)/p resto. 'Z' es el arco que pasa por encima en el cruce e 'Y' y 'X' los que pasan por abajo. Los valores que le damos a estos cruces son de 0 a p-1. Debemos ir cruce por cruce.

Como conseguimos es número p:

1. DAR UN SENTIDO AL NUDO

2. NOMBRAR LOS CRUCES Y LOS ARCOS

3. CREAR UNA MATRIZ CON ESOS NOMBRES POR COLUMNAS Y FILAS

4. DAR VALORES A ESA MATRIZ

5. HACER EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ

¿Qué es una matriz? Una matriz es una tabla ordenada que contiene datos, en este caso será de los cruces y arcos. ¿Qué valores metemos? Seguimos la igualdad de tricoloreabilidad, pero cambiada para equivaler a 0: 2Z - X - Y ≡ 0, estos valores los meteremos en la matriz. La matriz resultante está sobre determinada, podemos eliminar una fila y una columna.

Hacemos el determinante, que es solo una operación que podemos hacer a una matriz:

Como ya sabíamos el nudo de trébol es tricoloreable, 3-coloreable.

¿Qué pasaría si p no fuera primo? Un ejemplo es el nudo 74 que tiene un número p = 15. Esto porque es tanto 3 - coloreable, como 5 - coloreable.

Existen otro tipo de invariantes, los polinomios, que dan un polinomio específico a cada nudo, y si dos polinomios son equivalentes, entonces los nudos podrían ser equivalentes. Los primeros fueron el polinomio de Alexander y el de Conway.

Polinomio de Alexander

Si para pasar de la tricoloreabilidad a la p-coloreabilidad cambiamos el número de colores utilizados, para conseguir una nueva invariante debemos hacer un cambio que permita distinguir entre más nudos. James W. Alexander investigó que pasaría si se cambiaran los valores que tenían las partes de un cruce y descubrió así el polinomio de Alexander.

Este polinomio se basa en cambiar los valores que damos a las diferentes partes de un nudo. También en diferenciar dos tipos de cruces: zurdo y diestro. ¿Cómo diferenciamos uno de otro? Cerramos la mano y solo estiramos los dedos índice y pulgar. El pulgar lo ponemos en la dirección a la que vaya el arco que pase por encima, y el índice debe apuntar en la dirección que marque el sentido dado al nudo.

Los valores tendrán una incógnita que se denominará con una letra "t". Así, asignaremos 1 – t al arco que pase por encima; si el nudo es zurdo, la parte que señala el índice se le asigna t y, a la parte contraria, -1; si el nudo es diestro, la parte a la que apunta el índice se le asigna -1 y a la parte contraria t.

Volvemos a hacer los pasos:

Hacemos el determinante: -1 * ((1 - t) * (1 - t) - 0) - t * (0 - (-1)) + 0 = -t + 3t - 1 = Polinomio de Alexander de 41.

Si este polinomio es equivalente a otro, si al multiplicarlo o dividirlo por +-t dan el mismo polinomio, podrían ser nudos equivalentes.

Conclusión

En conclusión, la Teoría de Nudos está relacionada con el campo de la Topología y, por ende, también con las Matemáticas ya que se estudian sus propiedades, y además se necesita tener conocimientos matemáticos para comprenderlos.

Esta parte de las Matemáticas no es nueva. Por el contrario, lleva mucho tiempo siendo estudiado y muchas personas han contribuido a ella. Y todavía se están descubriendo y desarrollando cosas.

Tener que investigar sobre este tema me ha resultado muy divertido y entretenido. He sido capaz de aprender sobre nuevas formas en las que las Matemáticas se relaciona con otras materias, como la Biología o la Química, y con la vida cotidiana.

Y espero que vosotros también lo hayáis disfrutado.

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