Minicourse 1: Summary and Topics per Lecture

Summary and References

Título do Minicurso: Hidrodinâmica Ideal em Superfícies

Instrutor:  Jair Koiller

Afiliação: Pesquisador Visitante,  Instituto de Física, Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Resumo:  O objetivo do minicurso, em quatro reuniões de 1:30h, é discutir uma recente colaboração de JK com Bjorn Gustafsson e Clodoaldo Ragazzo, sobre a interação entre vórtices e campos harmônicos em superfícies fechadas (disponível em https://arxiv.org/abs/2309.12582) . Os vídeos de Albert Chern e seus estudantes (Universidade da Califórnia, San Diego) mostram vividamente que a presença dos campos harmônicos não pode ser ignorada (https://yhesper.github.io/fc23/fc23.html).  De fato, a rigor isto já poderia ser previsto pensando na decomposição de Hodge dos campos incompressíveis em superfícies compactas. Uma motivação física são os condensados de Bose-Einstein em microgravidade (no limite “thin shell”). 

A decomposição de Hodge em domínios com fronteiras permite o estudo de fluidos fisiológicos.

Metodologia:  Os assistentes (e o instrutor) não precisam conhecer os detalhes dos fundamentos envolvidos, bastando aceitá-los  (entendendo o que significam).   Parte final das reuniões seria para levantamento de bibliografia  sobre os materiais mais relevantes, e como tarefas, continuar a levantar na internet materiais (textos/artigos) para o detalhamento destes tópicos.

Lectures

DISCUSSÃO 1. (seções 1,2 e Apêndice A).  Equação de Euler para fluidos incompressíveis em variedades de dimensão arbitrária. Formulação com 1-formas. Interpretação de V. Arnold (1966) como geodésicas no grupo SDiff.   Conceitos de topologia (homologia e cohomologia) e de geometria diferencial e riemanniana  (derivada de Lie e conexões) a serem utilizados.  Teorema de Hodge para variedades riemannianas compactas sem bordo.  

DISCUSSÃO 2.  (seção 3 e Apêndice C). Hidrodinâmica ideal em superfícies de Riemann com uma métrica escolhida na sua classe conforme. Interpretação hidrodinâmica de uma 1-forma meromorfa como um fluxo. Operador de Laplace-Beltrami. Função de Green e sua interpretação hidrodinâmica. Decomposição de Hodge em 2d: vórtices e campos harmônicos.   Teorema principal (seções 3.3 e 3.5). Algumas consequências básicas.

DISCUSSÃO 3. (seções 6 a 9).  Obtenção do Hamiltoniano de C. C. Lin através do uso da duplicação de Schottky.   Conceitos da teoria do potencial.  Três funções de Green e suas relações.  Comentários e questões (seção 10).  Algumas considerações históricas.

DISCUSSÃO 4.  Apresentação dos participantes (em grupos). Sugestão: seções 4 e 5.  Detalhamento de  algumas “pontas soltas”  nas exposições anteriores (combinamos antecipadamente e ajudo na preparação).

Pré-requisitos: Não é esperado do participante um conhecimento técnico prévio, apenas maturidade matemática suficiente para aceitar as informações.