Embedded Files
Unitat 2
1. Potència d'un punt respecte d'una circumferència
1. Potència d'un punt respecte d'una circumferència
La potència d’un punt P respecte d’una circumferència pot definir-se com el producte de les distàncies entre el punt i els punts de tall de les secants traçades des de P. Per a qualsevol de les dues circumferències de la figura 1 ha de complir-se:
Pot = PA x PB
Quan el punt és exterior a la circumferència, la potència és positiva i, en el cas de punts interiors, negativa. Els punts que pertanyen a la circumferència tenen potència zero respecte a aquesta circumferència.
Les rectes tangents o secants traçades a una circumferència des d'un punt P exterior, queden interceptades per la circumferència segons segments en els quals sempre es verifica que: PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT2 = cte.
A aquest producte constant se li denomina potència del punt P respecte a la circumferència. Quan el punt és interior, la potència és negativa (figura 2).
Figura 1
Figura 2
Potència d'un punt respecte d'una circumferència - Demostració gràfica
1.1 Feix de circumferències que passen per dos punts A i B
1.1 Feix de circumferències que passen per dos punts A i B
El formin totes les possibles circumferències que passen pels punts donats A i B. Els seus centres O1, O2, O3... es troben en la mediatriu del segment AB. La recta que uneix A amb B és secant comú a totes les circumferències del feix.
Des de qualsevol punt exterior P, la potència és la mateixa per a totes les circumferències (PT és constant), el que significa que tots els segments de tangències traçats des de P al feix de circumferències són iguals.
2. Eix radical
2. Eix radical
S'anomena eix radical, al lloc geomètric dels punts del pla que tenen igual potència respecte a dues circumferències. Cada punt tindrà diferent potència que el contigu, però igual respecte a les dues circumferències.
L'eix radical és sempre perpendicular al segment que uneix els centres de les circumferències.
2.1 Eix radical de dues circumferències secants
2.1 Eix radical de dues circumferències secants
L’eix radical de dues circumferències el constitueixen els punts del pla que tenen la mateixa potència respecte a les esmentades circumferències. Els punts de l’eix radical defineixen un lloc geomètric.
Per determinar-ne gràficament la posició de l’eix radical, considerarem les dues circumferències secants de la figura 3; els seus punts d’intersecció, X i Y, tenen potència zero respecte a cada una d’elles; aquests punts, per tenir igual potència, pertanyen a l’eix radical d’ambdues circumferències, definint-ne la posició en el pla.
En la figura anterior observem, també, que la recta que uneix els centres O1 i O2 de les dues circumferències és la mediatriu del segment AB; és a dir, l’eix radical és perpendicular a la recta que uneix els centres de les dues circumferències.
Eix radical de dues circumferències secantsFigura 3
2.2 Eix radical de dues circumferències tangents
2.2 Eix radical de dues circumferències tangents
Utilitzant la propietat anterior, en tenim prou amb un únic punt per traçar l’eix radical de dues circumferències. En les circumferències tangents de la figura 4, el seu punt de tangència T, per tenir potència zero respecte a ambdues, defineix el punt de pas del seu eix radical, que traçarem perpendicularment a O1-O2.
Eix radical de dues circumferències tangentsFigura 4
2.3 Eix radical de dues circumferències exteriors o interiors
2.3 Eix radical de dues circumferències exteriors o interiors
En el cas de dues circumferències exteriors (figura 5) o interiors (figura 6), determinarem l’eix radical amb l’ajut d’una tercera circumferència auxiliar, secant a ambdues; entre aquesta i les de centres O1 i O2 podem establir-hi sengles eixos radicals, e1 i e2, la intersecció dels quals ens marcarà el punt de pas P de l’eix radical buscat, que traçarem perpendicularment a O1-O2. També hi podríem buscar un segon punt pertanyent a l’eix radical amb l’ajut d’una nova circumferència auxiliar.
Eix radical de dues circumferències exteriorsFigura 5
Eix radical de dues circumferències interiorsFigura 6
Construcció d'eixos radicals entre dues circumferències (diversos casos)
2.4 Centre radical de tres circumferències
2.4 Centre radical de tres circumferències
El centre radical CR de tres circumferències és el punt que té igual potència respecte a les tres. Es troba en la intersecció dels eixos radicals de les circumferències, agafades aquestes de dues en dues. Així, en la figura 7, el centre radical s’ha determinat com a intersecció dels eixos radicals e1 i e2; el tercer eix radical, no dibuixat, també passaria per CR.
Si des del centre radical tracem les tangents a les tres circumferències (fig. 8), els sis segments compresos entre CR i cada una de les circumferències tindran la mateixa longitud. Aquesta longitud és el radi d’una circumferència de centre CR, la qual és ortogonal a les altres tres.
Centre radical de tres circumferències donades, dues secants i una externa.
Concepte de circumferència ortogonal
Dues circumferències són ortogonals si són secants i en un punt comú (d'intersecció) les seves tangents respectives són perpendiculars. Figura 9.
Tenint en compte que, per la propietat que del radi al punt de tangència és perpendicular a la tangent, la definició és equivalent a dir que, els seus radis respectius a un dels punts d'intersecció són perpendiculars.
Centre radical de tres circumferènciesFigura 7
Figura 8
Circumferències ortogonals (clica sobre la imatge per veure el vídeo)Figura 9
2.5 Feixos de circumferències corradials (diversos casos)
2.5 Feixos de circumferències corradials (diversos casos)
3. Estudi de les tangències
3. Estudi de les tangències
El traçat de rectes tangents a circumferències és conegut des de Dibuix Tècnic I. Veurem ara les tangències en què les solucions a determinar són circumferències; el procediment utilitzat deriva de l’aplicació d’elements radicals o del concepte d’inversió.
3.1 Casos possibles. Els problemes d'Apol·loni
3.1 Casos possibles. Els problemes d'Apol·loni
Apol·loni de Perga és conegut com el "gran geòmetra". El seu treball va tenir gran influència en el desenvolupament de les matemàtiques, i en particular al seu llibre "les còniques", on va introduir terminis tan familiars avui en dia com paràbola, el·lipsi o hipèrbola.
Tanmateix, Apol·loni no és tan conegut pel seu tractat sobre les tangències, on descriu el que avui en dia es coneix com els problemes d'Apol·loni.
El plantejament que es va fer el geòmetra grec és el següent:
Donats tres elements tals que cadascun poden ser un punt, una recta o una circumferència, dibuixar una circumferència que pugui ser tangent a cadascun dels tres elements donats.
Aquest problema dona lloc a deu casos possibles, i en algun d'ells, hi ha situacions que obliguen a un tractament particular.
Per tant, considerem els elements següents els que intervenen en un problema de tangències: punt, P, recta, R, i circumferència, C. Aquests elements, agrupats de tres en tres, i amb la possibilitat que algun d’ells aparegui repetit, donen lloc a les deu combinacions següents:
PPP, PPR, PPC, PRR, PRC, PCC, RRR, RRC, RCC, CCC
Per a qualsevol de les combinacions anteriors, es tracta de determinar la circumferència o circumferències que, passant pel punt o punts donats (en els casos que n’hi hagi), siguin tangents als elements restants de la combinació; així, PCC, per exemple, significa buscar les circumferències que, passant per un punt P, siguin tangents a dues circumferències també donades.
Les combinacions PPP i RRR tenen una resolució ja coneguda, i que podeu consultar al Sites de Dibuix tècnic I, de 1r de Batxillerat.
Per a la resolució dels vuit casos restants, els agrupem en dos blocs, el primer dels quals, PPr, PPc, Prr i rrc, Prc (cas específic) i Pcc (cas específic) el resolem a continuació com a aplicació d’elements radicals.
Els quatre restants, Pcr, Pcc, ccr i ccc, els resolem aplicant el concepte d’inversió.
L'aplicació del concepte de potència a la resolució de problemes de tangències (prèvia obtenció de l'eix radical de les circumferències solució), significa poder determinar, amb tota precisió, els punts en els quals les circumferències solució deuen ser tangents a altres rectes i/o circumferències.
PPr. Circumferències que passen per dos punts A i B, i són tangents a una recta r.
PPc. Circumferències que passen per dos punts A i B i són tangents a altra c de centre O.
Prr. Circumferències que passen per un punt A i siguin tangents a dues rectes r i s.
rrc. Circumferències tangents a dues rectes r i s, i a la circumferència c de centre O.
Prc. Circumferències tangents a una altra donada de centre O i a una recta r per un punt de tangència T.
Pcc. Circumferències tangents a altres dues de centres O1 i O2, conegut el punt T de tangència sobre una d'elles.
Determinar el centre radical de tres circumferències donades, determinar totes les tangents a les circumferències respecte del centre radical. Dibuixar les esmentades tangents comunes a les circumferències. Representeu el valor gràfic de les tangents i justifiqueu la resposta.
Page updated
Report abuse