Unitat 6

Sistema dièdric III:

Interseccions i veritables magnituds

Coneguts els elements fonamentals (punt, recta i pla), les anomenades posicions favorables i els moviments necessaris per poder aconseguir qualsevol d’aquestes posicions, estem en condicions d’iniciar l’estudi de la determinació d’interseccions i de veritables magnituds de distàncies i d’angles.

Índex unitat

1. Interseccions entre els elements fonamentals. Visibilitat.

1.1 Intersecció entre rectes

1.2.1 Intersecció entre recta i pla en posició favorable

1.2.2 Intersecció entre recta i pla en posició no favorable

1.3.1 Intersecció entre plans en posició favorable

1.3.2 Intersecció entre plans oblics

2. Distàncies entre elements fonamentals.

2.1 Entre punts

2.2.1 Entre punt i pla favorable

2.2.2 Entre punt i pla oblic

2.3.1 Entre punt i recta favorable

2.3.2 Entre punt i recta obliqua

2.4 Entre rectes paral·leles

2.4.1 Entre plans paral·lels en posició favorable

2.4.2 Entre plans paral·lels oblics

2.4.3 Entre rectes que es creuen en posició favorable

2.4.4 Entre rectes obliqües que es creuen

3. Angles entre elements fonamentals

3.1.1 Entre dues rectes en posició favorable

3.1.2 Entre dues rectes obliqües que es creuen

3.2.1 Entre dos plans en posició favorable

3.2.2 Entre dos plans oblics

3.3.1 Entre recta i pla en posició favorable

3.3.2 Entre recta i pla oblics

3.4.1 Amb els plans de projecció

3.4.2 Determinació d'un angle amb els plans de projecció

1. Interseccions entre els elements fonamentals. Visibilitat

Tant rectes com plans, com la combinació de tots dos elements en el cas de no ser paral·lels, tenen un element comú d’intersecció que comencem a determinar als pròxims apartats.

1.1 Intersecció entre rectes

Les rectes que es tallen, a més d’estar contingudes al mateix pla, han de tenir un punt en comú al qual anomenem punt d’intersecció de les dues rectes. A les projeccions dièdriques (figura 1), aquest punt I d’intersecció és el punt on es tallen les projeccions homònimes de les dues rectes i que ha de tenir les projeccions en correspondència dièdrica.

Figura 1

Dues rectes es creuen quan, sense trobar-se al mateix pla, tampoc no són paral·leles; les rectes m i n de la figura 2 són dues rectes que es creuen a l’espai. Les rectes que es creuen no tenen cap punt en comú ni, per tant, intersecció entre elles.

Vídeo Intersecció entre rectes

Figura 2

1.2.1 Intersecció entre recta i pla en posició favorable

L’element comú entre una recta i un pla, quan no són paral·lels ni coplanaris, és un punt com podem veure a la representació de la figura 3. En projeccions dièdriques, el cas més fàcil, per tal de determinar-hi aquesta intersecció, és quan el pla és projectant horitzontal o vertical; ho veiem per a cadascun d’aquests plans, amb l’estudi de la visibilitat corresponent:

Figura 3

Intersecció d’una recta amb un pla de cantell

A la figura 4 determinem la intersecció entre el pla ABC, projectant vertical, i la recta r. La característica d’aquest pla, perpendicular al pla vertical de projecció, és que la projecció vertical de qualsevol element contingut en ell es troba a sobre del segment A’’B’’C’’ (o de la seva prolongació). La projecció vertical I’’ del punt d’intersecció buscat, per pertànyer simultàniament a la recta i al pla, ha d’estar necessàriament a la intersecció entre les respectives projeccions verticals. Des d’I’’, i amb correspondència dièdrica, determinem I’ damunt de la projecció r’ de la recta.

Figura 4

Si considerem el pla opac, el punt I d’intersecció separa les parts vistes i ocultes de la recta r. Determinem la visibilitat a la projecció horitzontal, comparant les cotes de dos punts coincidents a aquesta projecció, un de la recta i l’altre del pla. Passem a la projecció vertical els punts 1’ i 2’, coincidents a la projecció horitzontal i que, a la projecció vertical, en situem un a la recta i l’altre al pla; així comprovem que el punt situat a la projecció vertical de la recta té menys cota que el situat al pla, per tant, en aquest punt, la recta està per sota del pla i, a la projecció horitzontal, quedarà tapada per aquest. A l’altre extrem de la recta, separat de l’anterior pel punt d’intersecció amb el pla, la visibilitat és oposada tal com comprovem en comparar les cotes dels punts 3’ i 4’, coincidents a la projecció horitzontal de recta i pla.

Intersecció recta-pla (pla de cantell i pla vertical)

Intersecció d’una recta amb un pla vertical

Quan el pla ABC és vertical, projectant horitzontal, trobem I’ al punt d’intersecció entre r’ i la projecció horitzontal del pla (figura 5). I’’ es troba en correspondència dièdrica amb I’ i a sobre de la projecció vertical r’’ de la recta. L’estudi de la visibilitat de la projecció vertical es realitza comparant els allunyaments de dos punts coincidents a la projecció vertical; referint a la projecció horitzontal els punts 1’’ i 2’’, comprovem que, en aquests punts, la recta té més allunyament que el pla, per tant, està per davant i el tapa a la projecció vertical. Als punts coincidents 3’’ i 4’’, en comparar els allunyaments, és el pla qui està per davant de la recta i, a la projecció vertical, l’ocultarà.

Figura 5

1.2.2 Entre recta i pla en posició no favorable

A l’apartat 1.2.1 hem vist que la posició favorable per determinar la intersecció entre una recta i un pla és quan aquest últim és projectant en relació amb qualsevol dels dos plans principals de projecció. En el cas d’un pla oblic, podem determinar la seva intersecció amb una recta de dues maneres diferents:

Mitjançant un canvi de pla de projecció

A la figura 6 volem determinar la intersecció entre el pla ABC i la recta r, tots dos oblics respecte als plans principals de projecció. Per tal d’establir la nova direcció de projecció, en relació amb la qual el pla ens quedi com a pla de cantell, tracem al pla ABC una horitzontal h que fem passar pel seu vèrtex de menys cota. En la direcció de h’, determinem la nova projecció vertical del pla, A1’’B1’’C1’’, amb les cotes relatives agafades de la projecció vertical principal. En la mateixa direcció, determinem també la nova projecció vertical r1’’ de la recta.

Figura 6

Damunt de la projecció auxiliar determinem el punt I1’’ d’intersecció entre recta i pla, que, amb les corresponents correspondències dièdriques, referim a les seves projeccions principals, I’ – I’’.

La visibilitat de la projecció horitzontal l’establim comparant les cotes de dos punts, un de la recta i un altre del pla, coincidents a la projecció horitzontal. La corresponent visibilitat vertical es determina comparant els allunyaments relatius de dos punts, un de la recta i un altre del pla, i que tinguin la mateixa projecció vertical.

Mitjançant plans projectants auxiliars

Per determinar la intersecció de la recta r amb el pla α (figura 7), utilitzem un pla auxiliar β que contingui la recta r i, tot seguit, determinem la intersecció m entre els dos plans. Les rectes r i m són coplanàries i es tallen al punt I d’intersecció buscat; el punt I pertany, simultàniament, a la recta r i al pla α.

Figura 7

Vídeo intersecció recta-pla mètode per plans projectants

1.3.1 Intersecció entre plans en posicions favorables

L’element comú a dos plans no paral·lels és una recta, intersecció de tots dos; aquesta recta queda definida quan coneixem dos dels seus punts (figura 8). A projeccions dièdriques, el cas més fàcil, per tal de determinar-ne aquesta intersecció, és quan un dels plans és projectant horitzontal o vertical; ho veiem per a cadascun d’aquests plans, amb l’estudi de la visibilitat corresponent:

Figura 8

Intersecció d'un pla oblic amb un altre de cantell

A la figura 9, hi determinem la intersecció entre dos plans: l’ABC que és un pla oblic qualsevol i el pla DEF, projectant vertical o de cantell. A la projecció vertical, els punts 1’’ i 2’’ són els únics punts comuns als dos plans i són aquests punts els que defineixen la projecció vertical i’’ de la recta d’intersecció. Referint aquests punts a les projeccions horitzontals corresponents del triangle ABC, tindrem definida la projecció horitzontal i’ de la recta d’intersecció.

Considerats opacs tots dos plans, la recta i d’intersecció separa les parts vistes i ocultes de cadascun dels plans. A la projecció horitzontal considerem únicament la part d’i’ comuna als dos plans. Per estudiar la visibilitat a la projecció horitzontal, ens fixem en els punts 3’ i 4’, coincidents a aquesta projecció, i els referim a la projecció vertical situant-ne un a cadascun dels dos plans; així comprovem que el pla DEF té més cota que el pla ABC i, per tant, en aquest punt, el primer tapa el segon a la projecció horitzontal. El punt 1’, que pertany a la projecció horitzontal i’ de la recta d’intersecció, divideix la part vista i oculta del costat A’B’; en conseqüència, 1’B’ serà vista i quedarà per sobre de l’altre pla.

Figura 9

A partir de la visibilitat del costat AB, ja podem deduir la visibilitat de la resta del conjunt format pels dos plans. Sempre podem considerar una nova parella de punts, amb projeccions horitzontals coincidents i dels quals compararem les cotes a la projecció vertical; així ho hem fet amb els punts 5’ i 6’, per tal de confirmar la visibilitat del conjunt

Intersecció d'un pla oblic amb un altre projectant horitzontal

Si un dels plans és projectant horitzontal, aquesta projecció ens serveix per determinar les projeccions de dos punts, 1’ i 2’, i que, referides a les projeccions corresponents de l’altre pla, ens completen les dues projeccions i’ – i’’ de la recta d’intersecció entre els dos plans; (figura 10).

L’estudi de la visibilitat de la projecció vertical es realitza comparant els allunyaments de parelles de punts coincidents a la projecció vertical; referint a projecció horitzontal els punts 3’’ i 4’’, comprovem que, en aquests punts, el pla ABC té més allunyament que el pla DEF; per tant, el primer dels plans està per davant i tapa el segon a la projecció vertical. Com al cas anterior, a partir del coneixement d’aquesta visibilitat parcial, ja podem completar la visibilitat del conjunt; si ho considerem necessari, podem tornar a comparar els allunyaments de noves parelles de punts coincidents a la projecció vertical.

Figura 10

En apartats posteriors d’aquesta unitat veurem la determinació d’interseccions entre recta i pla, i entre plans, quan aquests no tinguin la posició favorable dels quatre casos que acabem de resoldre.

Vídeo sobre visibilitat entre plans

1.3.2 Intersecció entre plans oblics

Per determinar la intersecció entre dos plans, quan aquests són oblics respecte als plans principals de projecció, podem utilitzar els mateixos procediments que acabem de veure per determinar la intersecció entre una recta i un pla oblic.

Mitjançant canvi de pla de projecció

A la figura 11 volem determinar la intersecció entre els plans ABC i DEF, tots dos oblics respecte als plans principals de projecció. Per tal d’establir la nova direcció de projecció, en relació amb la qual un dels plans ens quedi com a pla de cantell, al pla ABC li tracem una horitzontal h que fem passar pel seu vèrtex de menys cota. En la direcció d’h’, hi determinem la nova projecció vertical del pla, A1’’B1’’C1’’, amb les cotes relatives agafades de la projecció vertical principal. En la mateixa direcció determinem també la nova projecció vertical D1’’E1’’F1’’ de l’altre pla. A aquesta projecció auxiliar determinem la recta i1’’ d’intersecció entre els dos plans i que, a continuació, referirem a les seves projeccions principals, i’ – i’’.

Figura 11

La visibilitat a les dues projeccions l’establim comparant les cotes i els allunyaments de punts coincidents a la projecció horitzontal i vertical, respectivament.

Mitjançant plans projectants auxiliars

La recta i d’intersecció entre els plans ABC i DEF de la figura 12 ens quedarà definida quan coneguem dos dels seus punts, els quals determinarem, de forma independent, amb plans projectants auxiliars que farem coincidir amb els costats del triangle que defineixen un dels plans.

La traça projectant del primer pla auxiliar, γ’’, la fem passar per la projecció vertical del costat A’’B’’; aquest pla talla el pla DEF als punts 1 i 2 que, determinats a la projecció vertical, referim a la projecció horitzontal; el segment 1’2’ es talla amb el costat A’B’, a la projecció horitzontal P’ del primer dels punts que ens definiran la recta i d’intersecció. El segon punt, Q’ – Q’’, el determinem de forma semblant amb el pla auxiliar β’’ que fem passar per la projecció vertical del costat AC.

La visibilitat l’estudiem a cadascuna de les projeccions per separat, comparant cotes i allunyaments com hem fet al cas anterior.

Figura 12

Vídeo intersecció entre pla-pla i visibilitat pel mètode de canvi de pla.

Vídeo intersecció entre pla-pla i visibilitat pel mètode dels plans projectants.

2. Distàncies entre elements fonamentals

Cada problema de distàncies té una posició favorable que en facilita la seva resolució. En aquest apartat explicarem aquestes posicions i la simplificació que les posicions favorables aporten a la resolució, en projeccions dièdriques, de cada una de les qüestions de distàncies.

Distàncies en veritable magnitud; resolució en projeccions

En la taula següent, hi resumim les posicions favorables que permeten resoldre els problemes de distàncies amb un nombre mínim d’operacions.

Aquestes posicions favorables seran les que haurem de buscar quan se’ns plantegi un problema de distàncies, i els elements que hi intervenen vinguin donats en una posició obliqua qualsevol. Aplicarem els moviments estudiats en la unitat 6 per passar de la posició inicial a la posició favorable corresponent al problema plantejat.

2.1 Entre dos punts

En la majoria dels casos, el segment que defineixen dos punts és un segment oblic, pel qual cap de les seves projeccions no reflecteix la distància real existent entre ells: segments A’B’ i A’’B’’ de la figura 13. La projecció sobre un pla al qual el segment AB sigui paral·lel ens donarà la seva veritable magnitud; aquesta posició és la que denominem favorable i la podem aconseguir de dues maneres:

Girant el segment fins que quedi paral·lel a un dels plans de projecció.
Definint un nou pla de projecció paral·lel a la posició espacial del segment AB.

Figura 13

D’aquesta segona manera s’ha resolt en la figura 13, definint un nou pla vertical paral·lel al segment, que en recollirà la projecció en veritable magnitud. El canvi de pla efectuat en la figura 14 ens determina, en projeccions dièdriques, la veritable magnitud del segment AB.

Vídeo sobre canvi de pla d'un segment i verdadera magnitud (VM)

Figura 14

Distància entre dos punts pel mètode del gir

Sobre les projeccions r’ – r’’ d’una recta (figura 15), i a partir d’un punt A situat sobre aquestes, volem mesurar una longitud real L coneguda.

Per poder mesurar la distància L sobre les projeccions de la recta, alguna d’aquestes ha d’estar en veritable magnitud. Fem passar pel punt A un eix de punta i girem la projecció vertical fins a la posició de recta horitzontal; la nova projecció horitzontal r1’ estarà en VM, així que des de A’ i en un qualsevol dels sentits possibles en mesurem la longitud L donada i n’obtenim el punt M1’. Desfem el gir per obtenir les projeccions M’ – M’’ sobre les corresponents de la recta inicial. Els segments A’M’ – A’’M’’ corresponen, en projeccions, al segment real L.

Figura 15

2.2.1 Entre punt i pla favorable

La figura 16 recull el procés a seguir per determinar la distància des d’un punt P a un pla α:

Traçar pel punt P la perpendicular r al pla.
Determinar la intersecció I de r amb el pla α.
El segment PI és la distància buscada.

Figura 16

Aquest procés se simplifica notablement depenent de la posició del pla α respecte als de projecció. Si el pla és perpendicular a un dels plans de projecció, al vertical en la figura 17, la recta r, perpendicular a ell i traçada des del punt P, serà paral·lela al PV i tindrà la seva projecció sobre aquest pla en veritable magnitud.

Figura 17

Amb el pla ABC en la posició favorable descrita, els traçats realitzats sobre les projeccions dièdriques (figura 18), són:

La recta r, perpendicular al pla de cantell, és frontal; les seves projeccions són les corresponents a aquest tipus de recta, amb la projecció vertical r’’ perpendicular a la projecció vertical del pla.
La intersecció entre la recta r i el pla ABC, perquè és aquest projectant vertical, es determina directament en la intersecció entre r’’ i la projecció vertical del pla, punt I’’ (únic punt que, simultàniament, pertany a la recta i al pla).
El segment PI és la distància buscada i, al ser frontal, té la projecció vertical d’’ en veritable magnitud.

Vídeo distància entre un punt i un punt de cantell

Figura 18

2.2.2 Entre punt i pla oblic

La distància demanada es projectarà en veritable magnitud quan el pla sigui projectant. Mitjançant un canvi de pla vertical, transformem el pla oblic inicial (figura 19), en projectant vertical o de cantell; realitzem el mateix canvi de pla amb el punt P, obtenint-ne la projecció P1’’. La perpendicular des de P1’’ a la nova projecció vertical del pla és un segment frontal la projecció P1’’ – I1’’ de la qual està en veritable magnitud. Si desfem el canvi de pla, buscant-hi les projeccions I’ – I’’, la segona amb la mateixa cota que I1’’, tindrem també en projeccions la distància entre P i el pla ABC.

Vídeo distància entre un punt i un pla oblic

Figura 19

2.3.1 Entre punt i recta favorable

Quan r és una recta obliqua, per traçar-li la perpendicular des d’un punt P, haurem de traçar un pla auxiliar α que, passant pel punt, sigui perpendicular a la recta (figura 20); totes les rectes d’aquest pla seran perpendiculars a r. La intersecció del pla α amb la recta r és el punt I que, unit a P, ens determina un segment perpendicular a r i que correspon a la distància buscada.

Vídeo distància entre un punt i una recta obliqua

Figura 20

Però si la recta r és perpendicular a un dels plans de projecció, al vertical en la figura 21, el traçat se simplifica. Ara podem traçar directament des de P la perpendicular a r. El segment PI i el pla vertical són perpendiculars a r, i per això ambdós seran paral·lels i la projecció de PI sobre el pla vertical estarà en veritable magnitud.

Vídeo distància entre un punt i una recta obliqua

Figura 21

Amb r en la posició descrita de recta de punta (figura 22), li tracem des de P la perpendicular PI: en projecció horitzontal la perpendicular a r’ des de P’ i en projecció vertical el segment P’’ – r’’, coincident aquest últim amb la veritable magnitud de la distància buscada.

Una altra posició favorable de la recta per determinar la distància existent des d’un punt seria la de recta vertical, i la construcció a realitzar, molt similar a l’anterior. Si la recta, simplement, és paral·lela a un dels plans de projecció sense ser perpendicular a l’altre, podríem traçar la perpendicular des del punt, com veiem en la figura 23, però el segment resultant d’ – d’’ no tindria cap de les seves projeccions en veritable magnitud.

Figura 22 Figura 23

Vídeo distància d'un punt a una recta en posició favorable

2.3.2 Entre punt i recta obliqua

La distància la veurem en veritable magnitud sobre una de les projeccions quan la recta sigui perpendicular a un dels plans de projecció. Mitjançant un canvi vertical (figura 24), convertim la recta en frontal. Un segon canvi de pla, horitzontal en aquest cas, ens transforma la recta frontal en vertical. Apliquem els dos canvis al punt P.

La perpendicular a la recta vertical, traçada des de P1’’ – P2’, és lògicament horitzontal i, per tant, la seva projecció horitzontal, P2’M2’, estarà en veritable magnitud. En desfer els canvis efectuats, tindrem la distància d’ – d’’ sobre les projeccions inicials de recta i punt.

Vídeo distància d'un punt a una recta obliqua

Figura 24

2.4 Entre rectes paral·leles

Dues rectes paral·leles defineixen un pla que, abatut sobre algun dels de projecció o sobre un altre pla paral·lel a ells, en determinarà una posició amb veritables magnituds sobre la qual podrem mesurar la distància real existent entre les dues rectes. A la figura 25 hem realitzat l’abatiment, sobre el pla vertical de projecció, del pla format per les dues rectes paral·leles.

Una frontal f’ – f’’ qualsevol, pertanyent al pla format per les dues rectes, ens serveix de frontissa per realitzar l’abatiment sobre el pla vertical de projecció.
Per A’’, projecció vertical del punt A de la recta r, tracem la paral·lela i la perpendicular a la frontissa; sobre la paral·lela, hi portem l’allunyament relatiu a d’aquest punt respecte a la frontal f. La hipotenusa del triangle rectangle format és el radi de gir per determinar-ne la posició abatuda (A).
Els punts en què r’’ i s’’ tallen la frontissa són punts dobles; el primer d’ells 1’’, unit amb (A), ens defineix la posició abatuda de la recta (r). Les dues rectes seguiran paral·leles en l’abatiment, on mesurarem la distància real existent entre ambdues.

Figura 25

La mateixa qüestió la podem resoldre buscant la posició favorable de les rectes paral·leles que, per raons similars a les exposades en subapartats anteriors, serà amb les dues rectes perpendiculars a algun dels plans de projecció (figura 26).

Figura 26

Finalment, en la figura 27, resolem la distància entre les rectes paral·leles a partir de les seves projeccions dièdriques i un cop situades aquestes en posició favorable. Pel teorema de les tres perpendiculars, el segment d, perpendicular a les dues rectes, és perpendicular a les seves projeccions horitzontals, sent, per tant, un segment frontal, la projecció vertical d’’ (unió de r’’ i s’’) de la qual coincidirà amb la distància real entre les rectes paral·leles.

Figrua 27

2.4.1 Entre plans paral·lels en posició favorable

La distància entre dos plans paral·lels és el segment de perpendicular comuna compresa entre ells. En un cas general de dos plans qualssevol, oblics als de projecció, trobar-hi aquesta distància implicaria (figura 28):

Traçar una recta r perpendicular als dos plans.
Determinar la intersecció d’aquesta recta amb cada un.
El segment de perpendicular compresa entre els plans, segment AB, seria la distància entre ells, distància des de la qual hauríem de determinar la veritable magnitud.

Figura 28

Si els plans paral·lels ocupen la posició favorable de ser perpendiculars a algun dels plans de projecció, els traçats anteriors se simplifiquen. Els plans paral·lels de la figura 29 són també verticals, és a dir, perpendiculars a l’horitzontal de projecció, per la qual cosa la recta r, perpendicular a ambdós, serà horitzontal.

Figura 29

La resolució descrita en els paràgrafs i figures anteriors s’ha realitzat en projeccions dièdriques, i amb els plans en posició favorable, en la figura 30.

Els dos plans α i β són projectants horitzontals i ens vénen donats per dues rectes que es tallen. La recta r, perpendicular a ambdós plans, és una recta horitzontal per ser aquests verticals; traçarem r’’ a qualsevol cota i r’, perpendicular a les projeccions horitzontals dels dos plans.
Els plans són projectants horitzontals, per la qual cosa A’ i B’, únics punts comuns a la recta i els plans, són les projeccions horitzontals dels punts d’intersecció entre la recta i els plans. El segment A’B’ coincideix amb la veritable magnitud de la distància buscada.

Figura 30

2.4.2 Entre plans paral·lels oblics

La distància entre els dos plans es veurà en veritable magnitud quan aquests siguin projectants en relació amb qualsevol dels plans de projecció. Un canvi de pla vertical (figura 31), converteix els dos plans donats en plans de cantell, de manera que la distància entre ells estarà en veritable magnitud, mesurada perpendicularment a les noves traces projectants dels dos plans.

Una solució diferent d’aquesta qüestió seria agafant un punt qualsevol pertanyent a un dels dos plans paral·lels i, des d’ell, buscar la distància a l’altre pla mitjançant la posició favorable descrita a 2.2.1.

Figura 31

2.4.3 Entre rectes que es creuen en posició favorable

Dues rectes r i s que es creuen en l’espai estan separades una distància d que coincideix amb el segment que és perpendicular, simultàniament, a ambdues rectes. Mitjançant una representació en perspectiva, en la figura 32, descrivim un dels processos gràfics més habituals per determinar-ne la distància:

Figura 32

Per un punt P qualsevol situat en una de les rectes, la r en la figura, tracem una paral·lela a la segona recta s. Aquesta paral·lela, s1, junt amb r defineixen el pla α paral·lel a s.
Projectem s sobre el pla α. Des d’un qualsevol dels seus punts, M, tracem la perpendicular a α; per la intersecció M’ d’aquesta perpendicular amb el pla α, tracem la recta s2 paral·lela a s.
Les rectes r i s2 són coplanàries i es tallen en el punt A; la perpendicular al pla traçada per A tallarà la recta s en un punt B. El segment AB és la perpendicular comuna coincident amb la distància entre les dues rectes.

Com en els casos anteriors, per determinar aquesta distància existeix també una posició favorable que en simplifica el nombre d’operacions que caldria fer. Si una de les rectes és perpendicular a algun dels plans de projecció, recta r perpendicular al pla vertical en la representació de la figura 33, i sigui quina sigui la posició de la segona recta, la perpendicular comuna, des del punt de vista de la recta r, ha de ser, obligatòriament, una recta frontal la perpendicularitat de la qual amb la recta s serà visible en les respectives projeccions verticals.

Figura 33

En projeccions dièdriques i amb les rectes en la posició favorable que acabem de justificar, el traçat és molt senzill (figura 34):

Per r’’ tracem la perpendicular a la projecció vertical s’’ de la segona recta; la seva intersecció és el punt B’’. El segment r’’B’’ és la veritable magnitud de la distància buscada.
Referint B’’ a la projecció horitzontal de la recta s, tracem d’ perpendicularment a r’ per tenir la projecció horitzontal de la distància.

Figura 34

2.4.4 Entre rectes obliqües que es creuen

Quan una de les rectes sigui perpendicular a un dels plans de projecció, la distància entre ambdues tindrà una de les seves projeccions en veritable magnitud. Mitjançant un canvi de pla vertical, transformem la recta r de la figura 35 en recta frontal; un segon canvi de pla, ara horitzontal, ens transforma la recta frontal en vertical. Efectuem amb la recta s els mateixos canvis de pla. La perpendicular a la projecció s2’ traçada des d’r2’ és la veritable magnitud de la distància entre les dues rectes que, desfent els dos canvis de plans efectuats, podem passar a les projeccions d’ – d’’ en relació amb les projeccions inicials de les rectes.

Vídeo distància entre rectes obliqües que es creuen

Figura 35

3. Angles entre elements fonamentals

Com en els problemes de distàncies, la determinació de l’angle entre dos elements té també una posició favorable que en facilita la seva determinació, així com la seva veritable magnitud. En els pròxims apartats en justificarem aquestes posicions alhora que, en les seves projeccions dièdriques, hi veurem la simplificació que representen.

Tant i així, la posició entre aquests elements potser no és favorable en cap cas. Per determinar els processos que s'han de seguir en la resolució d'aquestes projeccions, faciliten el següent quadre resum que en facilita la seva resolució:

3.1.1 Entre dues rectes en posició favorable

Dues rectes r i s que es tallen defineixen un pla que, abatut, ens donarà la veritable magnitud dels elements que conté. L’abatiment (figura 36), el realitzem respecte a un pla paral·lel a l’horitzontal de projecció mitjançant el procés següent:

A qualsevol cota tracem la projecció vertical, h’’, d’una de les rectes horitzontals del pla format per les rectes r i s. Referim els seus punts d’intersecció amb r’’ i s’’ a les seves projeccions horitzontals r’ i s’, determinant així la projecció horitzontal h’ que utilitzarem com a frontissa de l’abatiment.
Per la projecció horitzontal P’ del punt d’intersecció entre les dues rectes, hi tracem la paral·lela i la perpendicular a la frontissa. Sobre la paral·lela, hi portem la cota relativa z del punt P, mesurada en relació amb h’’; sobre la perpendicular, hi determinarem la posició abatuda del punt (P).
Per (P) i pels punts dobles d’intersecció de les projeccions r’ i s’ amb la frontissa, hi passaran les rectes abatudes (r) i (s). El menor dels angles que formen, γ, és el valor que donarem com a solució del problema plantejat.

Figura 36

3.1.2 Entre dues rectes obliqües que es creuen

L’angle entre dues rectes que es creuen és igual a l’angle que forma una de les rectes amb la paral·lela a l’altra, traçada per un dels punts de la primera. Pel punt P de r (figura 37), tracem s1 paral·lela a la recta s; r i s1 defineixen el pla α que, abatut sobre un dels de projecció, ens donarà la veritable magnitud de l’angle format per les rectes r i s que es creuen en l’espai.

Figura 37

En la figura 38 ho resolem sobre les projeccions dièdriques de les dues rectes. Per P’ – P’’ tracem les projeccions de la recta s1, paral·lela a s. Una de les horitzontals del pla que formen r i s1 és la frontissa entorn de la qual efectuem l’abatiment. L’angle δ, el menor dels que formen les projeccions abatudes (r) i (s1), és l’angle buscat.

Figura 38

3.2.1 Entre dos plans en posició favorable

La figura formada per dos plans α i β que es tallen en un segment i s’anomena angle díedre (figura 39); els plans α i β són les seves cares i el segment i, la seva intersecció, és l’aresta de l’angle díedre. A l’angle ATB, amb els seus costats perpendiculars a l’aresta i i continguts en cada una de les cares del díedre, se’l denomina angle rectilini i és l’expressió de l’angle format pels plans α i β. Per precisar-ne el valor, una de les formes possibles és procedir de la manera següent:

Des d’un punt P exterior, tracem les perpendiculars a cada una de les cares del díedre, establint-ne la intersecció, punts A i B.
En el quadrilàter APBT, els angles amb vèrtexs en els punts A i B són de 90°, i per això els altres dos angles seran suplementaris.
L’angle APB és l’angle de dues rectes que es tallen, que determinarem de la forma explicada a l’apartat anterior. Conegut en veritable magnitud, el seu suplementari serà l’angle rectilini corresponent al díedre format pels dos plans.

Figura 39

Una segona forma de trobar el valor d’aquest angle és buscant la posició favorable dels plans α i β, de forma que l’angle γ pugui trobar-se directament o amb un nombre mínim d’operacions.

Si seccionem el díedre per un pla perpendicular a la seva aresta, la intersecció sobre aquest pla coincidirà amb l’angle rectilini del díedre; elegint com a pla per a aquesta secció un dels de projecció, el vertical en la figura 40, els plans α i β seran projectants verticals, l’aresta i, una recta de punta i l’angle entre els traçats verticals dels dos plans correspondrà a l’angle que hi ha entre ells en veritable magnitud.

Figura 40

En la figura 41 resolem el problema amb els plans situats en aquesta posició favorable: recta intersecció dels dos plans com a recta de punta. Dels dos angles diferents formats per la intersecció de les projeccions projectants dels dos plans, el menor d’ells és el que donarem com a angle entre els dos plans.

Figura 41

3.2.2 Entre dos plans oblics

L’angle entre els dos plans es veurà en veritable magnitud quan la seva recta i d’intersecció sigui perpendicular a qualsevol dels plans de projecció. Per arribar a aquesta posició, haurem de començar per buscar la recta i d’intersecció entre els dos plans: un primer canvi de pla vertical (figura 42), converteix la recta i en frontal, i un segon canvi de pla, horitzontal, la transforma en vertical. Els mateixos canvis de pla els realitzem amb els plans ABC i DEF per transformar-los en projectants verticals; en aquesta posició, el menor dels angles, γ, que formen les seves projeccions horitzontals A2’B2’C2’ i D2’E2’F2’, correspon a la veritable magnitud de l’angle format pels dos plans.

Figura 42

3.3.1 Entre recta i pla en posició favorable

L’angle que una recta r forma amb un pla α (figura 43), és l’angle β que aquesta forma amb la seva projecció ortogonal sobre el pla. Per trobar el seu valor, una de les formes possibles és procedir de la manera següent:

Des d’un punt A qualsevol de la recta r, tracem la perpendicular s al pla α, determinant el punt d’intersecció J amb aquest.
El triangle AIJ és rectangle, per la qual cosa els seus dos angles aguts són complementaris.

L’angle IAJ és l’angle de dues rectes que es tallen, i que trobarem procedint de la forma explicada en l’apartat 3.1.1; conegut en veritable magnitud, el seu complementari serà l’angle format entre la recta i el pla.

Figura 43

Una segona forma de trobar el valor d’aquest angle β és buscant la posició favorable del pla α i de la recta r, de forma que β pugui trobar-se directament o amb un nombre mínim d’operacions. Com veiem en la representació de la figura 44, si el pla és horitzontal i la recta és paral·lela al vertical de projecció, l’angle entre les projeccions verticals de la recta i el pla coincidirà amb el valor real de l’angle entre recta i pla. Una altra posició favorable seria amb el pla paral·lel al vertical de projecció i amb la recta horitzontal.

Figura 44

En la figura 45, treballant només amb les projeccions dièdriques, resolem el problema amb la recta i el pla disposats en la primera de les posicions favorables descrites. El menor dels dos angles formats entre la projecció A’’B’’C’’ del pla i la projecció r’’ de la recta és l’angle que, finalment, donarem com a solució a la qüestió plantejada d’angle entre recta i pla.

Figura 45

3.3.2 Entre recta i pla oblics

Per tenir l’angle en veritable magnitud, el pla ha de ser paral·lel a un dels de projecció. Efectuem un primer canvi de pla vertical (figura 46), per situar el pla en posició de pla de cantell; un segon canvi de pla, horitzontal, el deixa en posició horitzontal. Hem aplicat els mateixos canvis a la recta, però aquesta segueix sent obliqua també en relació amb els nous plans de projecció; les projeccions r2’ – r1’’ les girem en relació amb l’eix vertical e’ – e’’ per deixar-les en posició de recta frontal. En aquest gir, la projecció vertical del pla no variarà, ja que en girar un pla horitzontal en relació amb un eix vertical, el pla seguirà sent horitzontal. Amb el pla horitzontal i la recta frontal, l’angle δ entre les respectives projeccions verticals és la veritable magnitud de l’angle entre la recta i el pla.

Figura 46

3.4.1 Amb els plans de projecció

Angle entre recta i pla de projecció

Quan una recta és paral·lela a un dels plans de projecció, a més a més de tenir la seva projecció sobre aquest pla en veritable magnitud, l’angle que aquesta projecció forma amb les línies de correspondència entre projeccions coincideix amb l’angle que la recta forma amb el pla de projecció al qual no és paral·lela.

Així, en una recta horitzontal, en la projecció h’ podem llegir la veritable magnitud de l’angle que aquesta recta forma amb el pla vertical. Anàlogament, en una frontal, l’angle entre f’’ i les línies de correspondència entre projeccions, coincideix amb l’angle que la recta forma amb el pla horitzontal de projecció.

Angle entre un pla i un dels de projecció

En els plans projectants, perpendiculars a un dels de projecció, l’angle que la traça projectant forma amb les línies de correspondència entre projeccions coincideix amb la veritable magnitud de l’angle que aquest pla forma amb el pla al qual no és perpendicular.

L’angle que la projecció vertical d’un pla de cantell forma amb les línies de correspondència entre projeccions coincideix sempre amb la veritable magnitud de l’angle que el pla forma amb el pla horitzontal de projecció. De la mateixa manera, en la projecció horitzontal d’un pla vertical, hi podrem llegir l’angle que el pla forma amb el vertical de projecció.

3.4.2 Determinació d'un angle amb els plans de projecció

En l’apartat anterior, hem vist les posicions favorables que ens permetien deduir, de forma directa, l’angle que una recta o un pla forma amb algun dels plans de projecció. Plantejarem ara el problema a la inversa: determinar les projeccions d’una recta o un pla amb la condició de formar un determinat angle, sigui amb una altra recta o amb algun dels plans de projecció.

Per les projeccions d’un punt A donat (figura 47), traçar una recta que formi un angle de 45° amb el pla vertical de projecció.

Per tenir l’angle que una recta forma amb el pla vertical en veritable magnitud, la recta ha de ser horitzontal; per A’’ tracem la projecció vertical perpendicular a les línies de correspondència entre projeccions i, per A’, la projecció horitzontal h’ formant un angle de 45° amb les esmentades línies de correspondència.

Figura 47

Traçar una recta m que, passant per un punt A, formi un angle de 30° amb una altra recta r donada (figura 48).

La recta i el punt donats defineixen un pla α que, abatut, ens donarà la seva veritable magnitud. Per realitzar aquest abatiment, tracem, com a frontissa, una de les seves horitzontals, en concret la que passa pel punt A. Sobre l’abatiment del pla α, amb les posicions definides de la recta r i del punt A dibuixem la recta m amb la condició angular donada en l’enunciat. Desfem l’abatiment per tenir les projeccions m’ – m’’ de la recta sol·licitada.

Determinar un pla α que, passant per una recta r, formi un angle de 60° amb el pla horitzontal de projecció.

Figura 48

El procediment a seguir, independentment que l’angle de 60° el formi amb el PH o amb un pla qualsevol, seria el següent:

Determinem (figura 49), el con de revolució, el vèrtex del qual és el punt A de la recta r i les generatrius formin 60° amb el pla de la directriu.
Trobem la intersecció entre la recta r i el pla de la directriu.
Pel punt d’intersecció determinat, tracem la tangent t a la circumferència directriu del con.
El pla buscat serà el format per la recta r i la tangent t; per a cada una de les tangents trobarem un pla solució.

Figura 49

En la figura 50 resolem en projeccions dièdriques:

Per la projecció A’ - A’’ d’un dels punts qualssevol de r, tracem la generatriu g’ – g’’ que forma 60° amb un pla horitzontal; lògicament, g és una frontal.
Tracem la projecció vertical H’’ d’un pla horitzontal qualsevol; aquest és el pla al qual suposem situada la directriu i amb el qual determinem les interseccions de g i r, respectivament, B’–B’’ i C’–C’’.
La distància entre A’ i B’ és el radi de la circumferència directriu.
Des de C’ tracem una de les tangents t’ a la circumferència de centre A’; t’’ es troba coincidint amb la projecció vertical H’’.
Les rectes r i t, defineixen el pla sol·licitat.

Figura 50

Page updated

Report abuse