Dins de les superfícies reglades, generades per una recta, i desenvolupables, extensibles sobre un pla, es troben les superfícies radials; aquestes són superfícies generades pel moviment d’una recta que es recolza en un punt anomenat vèrtex i en una directriu. Distingim quatre tipus de superfícies radials que, en ampliar-ne l'estudi en els pròxims apartats, agruparem pel tipus de vèrtex:
Aquestes superfícies són generades pel moviment d’una recta, la generatriu, obligada a passar per un punt propi, el vèrtex V, recolzant-se en una línia, poligonal o corba, anomenada directriu (figura 1). En considerar la generatriu il·limitada en ambdós sentits a partir del vèrtex, es generen dues superfícies radials oposades i il·limitades.
Encara que la directriu pot ser qualsevol tipus de línia (plana o guerxada, poligonal o corba, oberta o tancada), en aquest estudi ens centrarem en les superfícies amb directriu plana i tancada. Els restants tipus de directrius diferencien les superfícies radials de vèrtex propi: si la directriu és una línia poligonal, la superfície generada es denomina superfície piramidal; al contrari, si és corba, es denomina superfície cònica.
El volum comprès en cadascuna de les dues superfícies anteriors, limitat entre el pla de la directriu i el vèrtex, produeix dos cossos que reben els noms de piràmide i con, respectivament, els quals descriurem en els subapartats pròxims.
Podem definir la piràmide com el cos contingut en una superfície radial tancada, de directriu poligonal, seccionada per un pla secant que talla totes les seves cares sense passar pel vèrtex (figura 2). La cara ABCDE, situada en el pla secant, s’anomena base de la piràmide; les cares restants es denominen laterals, i sempre seran triangles. La intersecció entre dues cares qualssevol defineix la posició d’una de les arestes de la piràmide: arestes laterals, VA, VB…, són les que passen pel vèrtex, i arestes de la base, AB, BC…, les que formen cadascun dels costats del polígon d’aquesta. Altura de la piràmide és el segment perpendicular traçat des del vèrtex al pla de la base.
Si la perpendicular traçada des del vèrtex incideix en el centre de la base, la piràmide s’anomena recta; en cas contrari, es tractaria d’una piràmide obliqua. Quan, a més a més de recta, el polígon de la seva base és un polígon regular, la piràmide serà regular; en cas contrari, serà irregular. En les regulars, totes les arestes laterals són iguals i també ho són totes les seves cares laterals, aquestes amb forma de triangles isòsceles. L’altura de cada un d’aquests triangles s’anomena apotema de la piràmide.
Classifiquem també les piràmides pel nombre de costats del polígon de la base: així, parlarem de piràmides triangulars, quadrangulars, pentagonals, hexagonals, etc.
En la figura 3, hi apreciem com, a través de triangles rectangles, podem relacionar les magnituds anteriors i n’hi podem determinar, gràficament, unes en funció d’altres. El triangle VOM relaciona l’altura d’una piràmide regular amb les apotemes de la base i de la piràmide; el segon dels triangles rectangles representats, el VOA, relaciona l’altura amb l’aresta lateral i el radi del polígon de la base. Un tercer triangle rectangle, no representat, relacionaria l’aresta lateral, l’apotema de la piràmide i la meitat de l’aresta bàsica.
Com ocorre en la resta de sòlids radials, anomenem tronc de piràmide la part compresa entre la base i un pla secant que talla totes les seves arestes laterals; en el cas de cilindre i prisma, el pla secant no ha de ser paral·lel a les bases.
En la figura 4 representem una primera piràmide amb la base continguda en el pla horitzontal de projecció; aquesta és la representació més senzilla de la piràmide en projeccions dièdriques. La projecció horitzontal de la base hi està en veritable magnitud, així com l’altura del políedre en la seva projecció vertical; les arestes laterals no solen estar en veritable magnitud a excepció de les que siguin segments frontals. Vegem-ne dues noves representacions:
Amb la base situada en un pla oblic
Coneixem les projeccions d’un pla FGH, on es troba la base d’una piràmide quadrangular regular; el pla conté les dues projeccions del segment AB corresponent a una de les arestes de la base de la piràmide; coneixem també l’altura de la piràmide.
Hem de representar les projeccions dièdriques d’aquesta piràmide. Comencem abatint el pla FGH sobre l’horitzontal de projecció (figura 5), sobre la representació del pla abatut i a partir de la veritable magnitud del segment AB, dibuixem el quadrat (A) (B) (C) (D) de la base de la piràmide. Aprofitant l’afinitat existent entre la projecció horitzontal i l’abatuda, desabatem el quadrat i completem les seves dues projeccions.
Un canvi de pla vertical de projecció, en la direcció de l’horitzontal h’ del pla FGH, ens transforma aquest pla en un pla de cantell. Respecte a la nova projecció vertical, i pel centre O de la base, tracem una recta frontal perpendicular al pla de cantell; sobre la projecció vertical d’aquesta frontal portem l’altura h de la piràmide en veritable magnitud. Així fixem la posició del vèrtex V1’’ de la piràmide. La cota relativa de V1’’ ens serveix per determinar la seva projecció vertical V’’.
La unió de les projeccions del vèrtex V, V’ – V’’, amb les corresponents projeccions dels vèrtexs de la base, completa la representació sol·licitada de la piràmide; on diferenciem les arestes interiors de cada contorn aparent segons la visibilitat d’elles mateixes.
Amb una de les cares laterals recolzada en el PH
Partim d’una projecció prèvia (figura 6) en la que representem la piràmide d’acord amb les dades facilitades d’aresta, altura, etc., recolzada per la seva base en el pla horitzontal. La disposició de l’aresta AB, en posició de recta de punta, no és casual; coincidint amb les seves projeccions definim un eix de punta, amb relació al qual girarem la piràmide fins a la posició sol·licitada.
Fent centre en e’’, coincidint amb A’’ i B’’, girem V’’ fins a la nova posició V1’’, perquè el pla ABV ens quedi en posició de pla horitzontal. En relació amb l’eix anterior, apliquem a D’’, C’’ i E’’ el mateix gir i quedarà definida la nova projecció vertical de la piràmide.
Els vèrtexs de la nova projecció horitzontal es trobaran en la intersecció de les perpendiculars a l’eix de gir, traçades per C’, D’, E’ i V’, amb les línies de correspondència traçades des de les noves projeccions verticals d’ells mateixos. Les arestes laterals que parteixen dels vèrtexs A i B queden en la part inferior de la piràmide i, per tant, com que estan amagades, s’han de representar amb línia discontínua.
Partint de la mateixa projecció prèvia de la piràmide, una altra forma de resoldre les projeccions demanades seria efectuant un canvi de pla horitzontal, en el que la cara ABV ens quedés com un pla horitzontal i, com a resultat, la nova projecció horitzontal la determinaríem perpendicularment a A’’B’’ - V’’.
Definim el con com el cos contingut en una superfície radial tancada, de directriu corba, seccionada per un pla secant que talli totes les seves generatrius sense passar pel vèrtex (figura 7). La cara situada en el pla secant s’anomena base del con; lateralment presenta un contorn continu, sense cares, anomenat superfície lateral. El segment perpendicular traçat des del vèrtex al pla de la base és l’altura del con.
Quan la unió del vèrtex amb el centre de la base incideix perpendicularment en el pla d’aquesta, el con és recte; en cas contrari, és oblic.
En el con recte de directriu circular, l’altura es denomina eix del con i aquest és de revolució per formar, en qualsevol de les posicions de la generatriu, un angle invariable amb el seu eix. El con oblic de revolució té una directriu el·líptica, directriu que també podem trobar en un con recte que, lògicament, no serà de revolució (figura 8).
En el con de revolució, un triangle rectangle relaciona mètricament les longituds del radi de la base, de l’altura i de la generatriu, com s’aprecia en la representació del con recte de revolució de la figura anterior. Conegudes dues d’aquestes magnituds, gràficament, en podem determinar la tercera.
En la figura 9 ja representem les projeccions d’un con de revolució recolzat per la seva base en el PH; en aquesta posició tant el radi de la base, l’altura del con i la projecció vertical de les generatrius frontals, estan en veritable magnitud. Vegem com determinar aquestes projeccions en altres posicions particulars del con.
Amb la base en un pla oblic qualsevol
Suposem conegudes les projeccions del pla FGH que conté la base del con, el seu radi de la base i la seva altura. Abatem el pla (figura 10) per poder representar la veritable magnitud de la base, en la que tracem els diàmetres perpendiculars (A) (B) i (C) (D). Els desabatem, utilitzant horitzontals auxiliars del pla. Així, determinem A’B’-C’D’, eixos de l’el·lipse corresponent a la projecció horitzontal de la circumferència de la base del con, i A’’B’’-C’’D’’, diàmetres conjugats de la projecció vertical de la mateixa circumferència. A partir d’ells, tracem les el·lipses corresponents.
Un canvi de pla vertical de projecció, en la direcció de l’horitzontal h’ del pla FGH, ens transforma aquest pla en un pla de cantell. Respecte a la nova projecció vertical, i pel centre O1’’ de la base, tracem una recta frontal perpendicular al pla de cantell; sobre la projecció vertical d’aquesta frontal portem l’altura h del con en veritable magnitud. Així fixem la posició del vèrtex V1’’ del con. La cota relativa de V1’’ ens serveix per determinar la seva projecció vertical V’’.
Conegudes les projeccions V’ – V’’ del vèrtex del con, tracem des d’elles les generatrius corresponents a ambdós contorns, tangents a les el·lipses representades com a projeccions de les bases.
Amb una generatriu recolzada en el pla horitzontal
Coneixem el radi de la base i les projeccions horitzontal i vertical d’una de les generatrius. En la figura 11 hem realitzat una representació en perspectiva d’anàlisi, amb el con en la posició buscada; la generatriu AV és la hipotenusa d’un triangle rectangle que té per catets el radi de la base i l’altura del con; amb la generatriu sobre el pla horitzontal, l’anterior triangle es projecta horitzontalment sobre la seva hipotenusa.
Amb relació a A’V’, abatem l’anterior triangle rectangle (figura 12) traçant l’arc capaç de 90° respecte a A’V’, i marcant-hi sobre, a la distància r d’A’, la posició abatuda (O) del centre de la base del con. La perpendicular a A’V’ traçada des d’(O) defineix O’. Sobre la mateixa perpendicular i a la distància r d’O’, marquem les posicions C’ i D’, extrems d’un diàmetre conjugat de la base del con.
Tal com deduïm de la figura 21, l’altura del triangle rectangle A’V’(O) representa la cota relativa z del centre de la base del con respecte a la generatriu AV; aquesta cota relativa z ens permet situar O’’ respecte a la projecció vertical d’A’’V’’. Per O’’ i per V’’ passa la projecció vertical e’’ de l’eix del con.
Per O’’ tracem les projeccions verticals de dos diàmetres conjugats de la base del con: un horitzontal, sobre el que referim les projeccions verticals de C’ i D’; l’altre, F’’E’’, té l’extrem F’’ coincidint amb la projecció vertical A’’ i l’altre extrem, E’’, es troba en la prolongació del segment F’’O’’, essent O’’ el punt mitjà d’E’’F’’. Per completar la projecció horitzontal del diàmetre EF, situem l’extrem F’ coincidint amb A’; l’altre extrem, E’, queda determinat en la intersecció de la línia de correspondència entre projeccions traçada des d’E’’, amb la prolongació del segment F’O’.
Les projeccions dels diàmetres conjugats CD i EF permeten traçar les el·lipses corresponents a les dues projeccions de la base del con; traçades aquestes, des de V‘- V’’ dibuixem les línies de contorn aparent tangents a les esmentades el·lipses.
Aquestes superfícies radials poden considerar-se com un cas particular de les anteriors, les de vèrtex propi. Ara, en ser el vèrtex impropi, les generatrius es mantenen, en tot el seu recorregut, paral·leles a si mateixes (figura 13). Amb la generatriu il·limitada, la superfície generada és també il·limitada en els seus dos extrems. Com en les anteriors superfícies radials, ens centrarem únicament en les superfícies de directriu poligonal i corba, per la qual cosa les dues superfícies radials objecte d’estudi seran la superfície prismàtica i la cilíndrica, segons tingui per directriu una poligonal o una corba. El volum limitat per cada una de les dues superfícies, entre el pla de la seva directriu i un segon pla paral·lel a ell, produirà dos cossos que rebran els noms de prisma i cilindre, respectivament, i que descrivim a continuació.
Definim el prisma com el cos limitat per una superfície prismàtica tancada i dos plans secants paral·lels entre si (figura 14). Les cares situades en els plans secants són polígons i s’anomenen bases del prisma, polígons ABCD i EFGH; les restants cares s’anomenen laterals, i són sempre quadrilàters paral·lelograms. La intersecció entre dues cares laterals qualsevol en defineix la posició de cadascuna de les arestes laterals, BF, DH, etc.; en canvi, les arestes de les bases, AB, FG, etc., són els costats dels polígons. L’altura del prisma és la distància entre les seves bases, mesurada perpendicularment a ambdues.
Quan les arestes laterals són perpendiculars a les bases, el prisma es denomina recte, en cas contrari, oblic. Si, a més de recte, les bases són polígons regulars, el prisma és regular; en cas contrari, serà irregular. En els prismes regulars totes les cares laterals són rectangles iguals.
Els prismes, els classifiquem també pel nombre de costats dels polígons de les seves bases: així, parlarem de prismes triangulars, quadrangulars, pentagonals, hexagonals, etc. El que té per bases polígons paral·lelograms rep un nom especial: paral·lelepípede.
Per exemplificar la intersecció d’una recta amb un sòlid, explicada en 3.3, utilitzem com a model d’aquest últim un prisma oblic, situant la seva base recolzada en el PH. Aquesta és la posició més fàcil de representar aquest sòlid, i hi apareixen en veritable magnitud els elements paral·lels al pla sobre el qual es projecten. Vegem dues noves representacions del prisma:
Amb una de les bases en un pla oblic qualsevol
Coneixem les dues projeccions del pla oblic ABCD que conté la base del prisma; també les projeccions del costat 1–2 del triangle equilàter de la base del prisma recte i la seva altura H. La resolució implica:
Dibuixar la base en veritable magnitud sobre el pla abatut.
Desabatre per trobar les dues projeccions de la base.
Per un dels vèrtexs de la base, traçar l’aresta lateral perpendicular al pla de la base.
Mesurar l’altura del prisma en veritable magnitud sobre la perpendicular anterior; això suposa situar l’aresta lateral en una posició que tingui una de les seves projeccions en veritable magnitud.
Per paral·lelisme entre arestes, completar les dues projeccions.
Si, mitjançant un canvi de pla, posem el pla de la base en posició de pla projectant respecte a un dels de projecció, les rectes perpendiculars a ell seran paral·leles al pla de projecció amb relació al qual és projectant. D’aquesta manera, directament, podrem mesurar sobre una de les seves projeccions la veritable magnitud de l’altura del prisma. Vegem-ne la resolució, basada en aquesta posició favorable del pla, en la figura 15.
Passem el pla a posició de pla de cantell, definint la nova projecció vertical en la direcció d’A’B’, recta horitzontal del pla de la base. Girem la projecció projectant del pla de cantell, A1’’B1’’ - C1’’D1’’, fins a col·locar-la horitzontal i amb relació a ella dibuixem, abatuda, la veritable magnitud del pla ABCD i del triangle equilàter (1) (2) (3) que conté. Desabatem el triangle, tenint en compte que la seva projecció vertical auxiliar està sobre la projecció corresponent del pla, A1’’B1’’ - C1’’D1’’. Des de les projeccions 1’, 2’, 3’ i 11’, 21’, 31’, tracem les perpendiculars al pla de la base; perpendiculars que, per estar el pla en posició de pla de cantell, seran rectes frontals. Sobre la projecció vertical d’aquestes perpendiculars podrem mesurar, en veritable magnitud, l’altura H del prisma. Completem la projecció vertical auxiliar i la referim a la projecció horitzontal; des d’aquesta passarem a la projecció vertical inicial, mantenint les cotes relatives observades en els vèrtexs d’ambdues bases sobre la projecció auxiliar. El paral·lelisme, per ser invariant projectiu, ens ajuda a completar les dues projeccions principals del prisma.
Amb una cara lateral coincidint amb un pla de projecció
Volem representar un prisma regular hexagonal, del qual coneixem les longituds de les arestes de la base i lateral, amb una de les seves cares laterals situada en el PH.
Un prisma regular (recte, per tant) amb una cara lateral situada sobre el pla horitzontal de projecció té els plans de les bases perpendiculars a l’esmentat pla de projecció.
Comencem per representar (figura 16) la cara ABHG continguda en el PH, amb els valors d’aresta i altura donats. En relació amb la projecció de l’aresta AB, abatem la base ABCDEF sobre el pla horitzontal un cop abatuda:
Les perpendiculars a la frontissa A’B’, traçades des de les posicions abatudes dels altres vèrtexs, ens permeten completar la projecció horitzontal del prisma.
Les cotes relatives z1 i z2 permeten, coneguda la projecció horitzontal, representar la projecció vertical del prisma.
El cilindre és el cos comprès entre una superfície cilíndrica tancada i dos plans secants, paral·lels entre si, que tallen totes les generatrius. Les superfícies compreses en els plans secants són les bases del cilindre i, la distància entre elles, la seva altura. Lateralment, mostra un contorn continu, sense cares, anomenat superfície lateral.
Quan les generatrius són perpendiculars a les bases, el cilindre es denomina recte; en cas contrari, oblic. La paral·lela a les generatrius que passa pel centre de la directriu es denomina eix del cilindre; quan aquest és recte i de directriu circular, el seu eix és de revolució.
En la figura 17, a més del cilindre recte de revolució, n’hi representem d’altres segons el tipus de directriu i la inclinació de les generatrius. En el cilindre oblic de revolució, les generatrius es mantenen equidistants de l’eix, per tant, la secció per un pla perpendicular a l’eix és una circumferència; la secció per dos plans paral·lels, oblics a l’eix, són sengles el·lipses que són les seves bases.
Com hem realitzat amb els altres tres cossos de superfície radial, ens centrarem en les mateixes posicions respecte als plans de projecció:
Amb la base situada o paral·lela a un pla de projecció
També ara aquesta és la posició més senzilla per representar un cilindre recte (figura 18). La base paral·lela o continguda en el PH estarà en veritable magnitud, igual que la projecció vertical de les generatrius del seu contorn aparent.
Amb una de les bases en un pla oblic qualsevol
Coneixem les dues projeccions, e’ – e’’, de l’eix d’un cilindre recte de revolució i, sobre elles, les posicions de dos punts, O i Q, centres de les seves bases; hem de representar les dues projeccions del cilindre per a un radi donat.
Amb l’ajuda d’una horitzontal i una frontal auxiliar, perpendiculars a l’eix del cilindre, i que fem passar per un dels centres, el Q en la figura 19, determinem el pla que conté aquesta base. Abatem aquest pla respecte a l’horitzontal de projecció per poder representar, a partir de la posició abatuda del centre (Q) (coincident amb Q’), la veritable magnitud de la circumferència de la base corresponent. Dibuixem mitja circumferència a la qual circumscrivim el rectangle de vèrtexs en (A) (B), amb costats paral·lels (rectes horitzontals del pla) i perpendiculars a la frontissa utilitzada, que ens permet realitzar el desabatiment de la circumferència.
Amb els quadrilàters A’B’C’D’ i A’’B’’C’’D’’ en projeccions, tracem les el·lipses inscrites corresponents. Mitjançant una translació en la direcció de la projecció corresponent de l’eix, traslladem els quadrilàters anteriors a la posició del centre O’ – O’’, fet que ens permet la traçada, en ambdues projeccions, de la segona base del cilindre. Amb la representació de les arestes del contorn aparent, tangents a ambdues bases, completem la representació.
Amb una generatriu situada en el PH
Hem de representar, amb una generatriu en el pla horitzontal, un cilindre de revolució conegudes la longitud del seu radi i la seva generatriu.
La seva projecció horitzontal serà un rectangle, de costats el diàmetre de la base i la generatriu del cilindre (figura 20). La cara C’D’ correspon a la projecció d’una de les seves bases i el seu punt mitjà, A’ – B’, és la projecció d’un diàmetre vertical d’aquesta base. Aquest diàmetre, en projecció vertical, es projecta en veritable magnitud, A’’ – B’’, i sobre la perpendicular traçada pel seu punt mitjà, referim les projeccions verticals de C’ i D’.
Les projeccions verticals, A’’ – B’’ i C’’ – D’’, dels dos diàmetres anteriors són els eixos de l’el·lipse corresponent a la projecció vertical de la circumferència d’aquesta base; coneguts aquests, la podem representar, seguint el mateix procés amb la segona de les bases del cilindre.
Les tangents comunes del contorn aparent completen la representació, junt amb l’estudi de la visibilitat del conjunt.
Com estudiem en els políedres regulars, anomenen secció plana la intersecció que un pla qualsevol produeix en un sòlid; d’ella pot interessar-nos conèixer dues coses: les seves projeccions i la seva veritable magnitud; per a això últim haurem de col·locar el pla que la conté paral·lel o coincident amb un dels plans de projecció, cosa que realitzem, habitualment, mitjançant un abatiment. Pel que fa a determinar les projeccions de la secció, podem fer-ho de maneres diferents:
Quan el pla és projectant, els punts d’intersecció entre la seva projecció projectant i les arestes o generatrius del sòlid són, directament, punts de la secció buscada, que únicament haurem de referir a l’altra projecció del cos. Així ho férem en la figura 37 de la unitat 8.
Si el pla és un oblic qualsevol, podem anar determinant, un a un, els vèrtexs del polígon secció, vèrtexs que seran els punts d’intersecció de cadascuna de les arestes o generatrius del cos amb el pla. Això no obstant, sol ser preferible fer un canvi de pla perquè el pla secant sigui projectant amb relació a algun dels de projecció; d’aquesta manera podem fer la resolució immediata descrita en el paràgraf anterior. No hem d’oblidar d’aplicar al cos el mateix canvi de pla que hem realitzat amb el pla. Així es portà a cap en la figura 38 de la unitat anterior.
El tercer procediment és una aplicació de l’homologia. La directriu d’una superfície radiada o d’un políedre i la secció plana produïda per un pla qualsevol són dues formes planes perspectives (Teorema de Desargues) i, per tant, homològiques.
En la figura 21 hem representat una piràmide de base pentagonal, que està recolzada en el PH, i un pla MNP del que volem determinar la secció que produeix en la piràmide. Mitjançant un pla auxiliar projectant vertical, que farem passar per l’aresta VA, determinem la intersecció, 1’ – 1’’, d’aquesta aresta amb el pla.
Els punts A’ i 1’ són homològics d’una homologia que té per eix la intersecció del pla MNP amb el pla de la directriu de la piràmide. La projecció horitzontal dels punts Q i R en què el pla MNP talla el pla ABCDE, defineixen aquest eix. Amb aquests elements l’homologia queda definida.
Per determinar la resta de vèrtexs de la secció prolonguem A’B’ fins a tallar en el punt T l’eix de l’homologia; unim T amb 1’ i la seva intersecció amb l’aresta V’B’ determina el punt 2’ de la secció. Els segments A’B’ i 1’2’ són homològics i, per tant, es tallen en un mateix punt de l’eix de l’homologia.
Procedim de la mateixa manera per trobar la resta de vèrtexs de la secció; per exemple, la prolongació de B’C’ es talla amb l’eix de l’homologia en el punt S que, unit amb 2’, determina la posició del vèrtex 3’ en l’aresta lateral que parteix de C’. Trobades les projeccions horitzontals dels vèrtexs de la secció, les referim a les corresponents arestes de la projecció vertical.
Con de revolució amb un pla projectant
La secció que el pla RST produeix en el con de revolució de la figura 22, donada la inclinació del primer respecte a l’eix i generatrius del con, és una el·lipse. En ser el pla de cantell, la projecció vertical de l’el·lipse coincideix amb la projecció vertical del pla
Per traçar la seva projecció horitzontal, hem de conèixer les projeccions corresponents dels eixos. M’ i N’ es troben en correspondència dièdrica amb els punts en què la projecció vertical del con es talla amb la projecció projectant del pla. Pel punt mig del segment M’’ i N’’, tracem les generatrius coincidents, V’’ – H’’ i V’’ – J’’, que referim a la projecció horitzontal; la intersecció amb la perpendicular traçada a M’N’ pel seu punt mitjà determina les posicions de C’ i D’.
Coneguts els eixos M’N’ i C’D’, podem traçar la secció el·líptica en projecció horitzontal. La seva veritable magnitud l’hem determinada per dos procediments distints: mitjançant l’abatiment del pla RST sobre l’horitzontal de projecció i amb un canvi de pla que deixi el pla secant en posició de pla horitzontal. Pel segon procediment situem O1’, perpendicularment a M’’N’’, en qualsevol posició; amb relació a ell, i amb els allunyaments relatius presos respecte a O’ en la projecció horitzontal inicial, determinem la nova projecció horitzontal, en veritable magnitud per correspondre a un pla horitzontal.
Secció plana d'un con
Prisma oblic amb un pla qualsevol
Per determinar els vèrtexs del polígon d’intersecció entre el pla MNP i el prisma oblic de la figura 23, podríem efectuar un canvi de pla que ens transformés el primer en projectant vertical o horitzontal; així, la traça projectant determinaria, en la seva intersecció amb la nova projecció del prisma, la secció entre ambdós.
En la resolució efectuada en la figura 23, s’hi han combinat dos procediments:
Utilitzant plans projectants auxiliars, coincidents amb les projeccions verticals de les arestes que parteixen dels vèrtexs bàsics C i D, determinem les projeccions 1’ i 3’.
C’ i 1’, i D’ i 3’ són parelles de punts homòlegs, en una homologia que té per eix la projecció horitzontal de la recta QW d’intersecció entre el pla MNP i el pla horitzontal que conté la base del prisma. Per determinar les projeccions dels altres vèrtexs de la secció, 2’ per exemple, prolonguem B’C’ fins a tallar la projecció horitzontal Q’W’ en el punt R que, unit amb 1’, determinarà en la seva prolongació la posició 2’ sobre l’aresta que parteix de B’; de forma similar determinem 4’.
Referim els vèrtexs de la secció a la projecció vertical del prisma. Per últim, completem la representació amb l’estudi de la visibilitat del conjunt.
Depenent de l’orientació del pla secant i del tipus de cos, la secció plana pot presentar alguna de les particularitats que descrivim a continuació:
Pla que passa pel vèrtex de la superfície radial
Pels punts M i N d’intersecció del pla amb la directriu, traçarem sengles arestes o generatrius que passaran també, lògicament, pel vèrtex propi del cos (figura 24). En les figures de vèrtex impropi, la condició de passar-hi implica que el pla secant sigui paral·lel a les arestes o generatrius del sòlid, a les que també seran paral·leles les rectes d’intersecció, determinades a partir dels punts M i N en què la traça del pla talla la directriu (figura 25).
Pla paral·lel a la directriu
En els sòlids de vèrtex impropi, la secció plana serà idèntica a la directriu i paral·lela a ella mateixa. Quan el vèrtex és propi, la secció plana és una forma semblant a la directriu i disposada amb aquesta segons una relació d’homologia el centre de la qual és el vèrtex del cos.
Seccions rectes
Són les produïdes en els cossos de vèrtex impropi, prisma i cilindre, per un pla perpendicular a les respectives generatrius. Independentment de la posició del pla secant, sempre obtindrem la mateixa secció recta, ja que, en ser produïda per plans perpendiculars a les generatrius, seran paral·leles entre si.
Tornarem a parlar de les seccions rectes quan fem els desenvolupaments de prismes i cilindres.
Seccions planes d’un con de revolució
Segons la inclinació del pla secant, la secció que aquest produeix sobre una superfície cònica de revolució és diferent. Un pla perpendicular a l’eix produeix com a secció una circumferència; si el pla és paral·lel a l’eix, la secció és una hipèrbola; quan el pla és paral·lel a les generatrius, la secció és una paràbola i amb plans oblics a l’eix i no paral·lels a les generatrius, la secció és una el·lipse.
A partir de les definicions que hem donat en apartats anteriors dels cossos de directriu corba, podem deduir, per exemple, que la secció el·líptica també pot obtenir-se com a secció plana d’altres cossos: del cilindre oblic de directriu circular, del con oblic de revolució, etc.; en el primer cas la secció seria recta i en el segon s’obtindria mitjançant un pla paral·lel a la directriu (figura 26).
Determinar la intersecció d’una recta amb un sòlid consisteix a trobar els punts d’entrada i sortida de la recta en el sòlid.
El procediment general per resoldre aquest problema passa per definir un pla auxiliar que contingui la recta, per determinar-hi la secció plana que produeix en el sòlid. Els punts d’intersecció entre la secció produïda pel pla auxiliar i la recta són els punts buscats.
El pla auxiliar pot ser un pla projectant, com resolguérem en la figura 40 de la unitat 8, o un pla que, contenint la recta, passi pel vèrtex del sòlid o sigui paral·lel a les seves arestes o generatrius, en el cas de sòlids de vèrtex impropi. Aquests últims plans produiran com a secció alguna de les seccions particulars que veiérem en 3.2.
En la figura 27 resolem la intersecció d’una recta amb un prisma oblic donat per les seves projeccions dièdriques. Per un punt P qualsevol de la recta r, tracem una recta auxiliar t paral·lela a les arestes laterals del prisma. Les rectes r i t defineixen un pla del qual determinem la recta d’intersecció R - T amb el pla horitzontal de la base de la directriu del prisma.
Pels punts 1’ i 2’ en què la projecció horitzontal de la recta RT talla la directriu A’B’C’D’ del prisma, tracem les arestes auxiliares paral·leles a les arestes laterals del prisma i que, en tallar-se amb r’, defineixen les projeccions horitzontals, M’ i N’, dels punts buscats. Els referim a la projecció vertical r’’ de la recta i diferenciem, en ambdues projeccions, la representació del segment comprès entre ambdós punts.
Recta amb un cilindre recte de revolució
Amb la projecció horitzontal de la recta r, fem coincidir la traça horitzontal d’un pla auxiliar, projectant vertical (figura 28) la seva intersecció amb el cilindre són les dues generatrius m’ i n’ que, en projecció horitzontal, coincideixen en la intersecció de r’ amb la projecció horitzontal del cilindre. Referim les generatrius m i n a la projecció vertical, i les seves interseccions amb r’’ són els punts, M’’ i N’’, en què la recta i el cilindre es troben. Considerant els punts anteriors com d’entrada i sortida de la recta en el cilindre, el segment entre ambdós està amagat i s’ha de representar amb línia discontínua.
Recta amb un cilindre oblic
Com en el cas anterior, busquem un pla auxiliar que contingui la recta r i en determinem després la intersecció amb el cilindre. Perquè aquesta intersecció sigui fàcil de determinar, fem que el pla auxiliar sigui paral·lel a les generatrius del cilindre; per això, per un punt P qualsevol de la recta r, tracem una segona recta, la t, paral·lela a aquestes (figura 29). El pla que defineixen r i t compleix amb la doble condició de contenir r i ser paral·lel a les generatrius del cilindre; la seva intersecció QW amb el pla de la base del cilindre, ens serveix per resoldre el problema.
Pels punts 1’ i 2’ d’intersecció entre Q’W’ i la projecció horitzontal de la base del cilindre, tracem les generatrius corresponents que, en tallar-se amb r’, defineixen la posició dels punts M’ i N’. Els referim a la projecció vertical i diferenciem com amagat el segment entre ambdós en les dues projeccions.
Intersecció recta amb un con oblic
Intersecció recta amb un cilindre oblic
Les superfícies radials, en incloure’s dins de les desenvolupables, permeten que els cossos que les tenen per contorn puguin estendre’s sobre un pla, sense experimentar cap deformació ni trencat. Aquesta acció la coneixem com a determinació del desenvolupament d’un cos.
El desenvolupament d’un cos inclou el seu desenvolupament lateral més el de la base o bases, segons el tipus de cos. Totes les magnituds representades hi han d’estar en veritable magnitud; per obtenir-les en aquesta dimensió, és habitual recórrer a algun dels moviments estudiats en unitats anteriors.
En els pròxims apartats, veurem dos dels desenvolupaments la determinació dels quals implica realitzar alguna operació diferent respecte al procés descrit.
Partim del prisma oblic, de directriu triangular, de la figura 30. Per obtenir-hi el desenvolupament lateral, en determinem una de les seccions rectes (produïda per un pla perpendicular a les arestes laterals). En estar aquestes arestes del prisma en posició de rectes frontals, el pla perpendicular a elles serà un pla de cantell.
Representem únicament i en qualsevol posició la projecció vertical del pla vertical que produeix la secció recta; els vèrtexs d’aquesta secció es troben als punts 1’’ – 2’’ – 3’; els referim a la projecció horitzontal del prisma i abatem el pla de cantell, per disposar de la veritable magnitud d’aquesta secció.
Per dibuixar el desenvolupament (figura 31), sobre una recta qualsevol, portem el perímetre 1 – 2 – 3 – 1 de la secció recta abatuda i, per cada un dels punts 1, 2, 3, hi tracem perpendiculars; sobre aquestes portem les longituds de les dues parts en què la secció recta divideix cada una de les arestes, que mesurem en veritable magnitud en la seva projecció vertical; així, traçarem el segment 1A igual a 1’’A’’, 2B igual a 2’’B’’ i 3C igual a 3’’C’’. De forma similar procedirem en l’altra meitat.
Afegint al desenvolupament anterior les veritables magnituds d’ambdues bases, completaríem el desenvolupament total del prisma; la veritable magnitud d’aquestes coincideix amb la seva projecció horitzontal.
El desenvolupament lateral d’un con de revolució (figura 32) és un sector circular, de radi igual a la generatriu del con, l’arc del qual tindrà la mateixa longitud que la circumferència de la seva base. Podem arribar a representar aquest sector circular de dues maneres:
Determinant l’angle α del sector circular, en funció del radi r de la base del con i de la longitud g de la seva generatriu:
Gràficament, rectificant la circumferència de la base del con i passant, a continuació, la seva longitud rectificada sobre una nova circumferència de radi igual a la generatriu del con.
Tracem dues circumferències tangents (figura 33), una de radi r igual al de la base del con i l’altra amb radi g igual a la seva generatriu. Amb un radi de ¾ del radi de la base del con, determinem el punt P que, unit amb A, extrem d’un arc d’un quart de circumferència, determina sobre la tangent comuna a les dues circumferències la longitud rectificada d’¼ de circumferència, punt A’. Doblem aquesta longitud a partir d’A’, determinant B’ corresponent a la longitud rectificada de la meitat de la circumferència de la base del con.
Ara passem aquesta longitud rectificada sobre la circumferència de radi g; per això, amb un radi igual a ¾ de g, tracem un arc que determina el punt Q, que unim amb B’ per determinar el punt B sobre la circumferència. El punt simètric de B respecte al segment PQ, i la unió d’ambdós amb O’, determina el sector circular corresponent al desenvolupament lateral del con.
Vídeo desenvolupament d'un con
Reprenem novament la piràmide obliqua de la figura 9. En la figura 34 representem l’esmentada piràmide i la secció que el pla MNP hi produeix. En aquesta representació la projecció horitzontal de la base de la piràmide està en veritable magnitud, però no així les seves arestes laterals, totes elles, rectes obliqües. Per disposar de la veritable magnitud d’aquestes últimes, les girem respecte a un eix vertical que fem passar pel vèrtex de la piràmide fins a la posició de rectes frontals. A la nova projecció vertical de les arestes, traslladem també els vèrtexs del polígon secció.
Amb tots els segments que intervenen en el desenvolupament de la piràmide en veritable magnitud, només ens falta disposar-los en conjunt formant els dos desenvolupaments de la figura: el lateral i el de la seva base. Situem en una posició arbitrària del paper l’aresta VA de la piràmide (figura 35) fent centre en els extrems i amb radis iguales a les distàncies VB i AB, determinem el vèrtex B, i amb ell la primera cara del desenvolupament. Mitjançant el mateix procés de triangulació trobem les altres cares laterals i la base, que disposem amb relació a qualsevol de les arestes ja representades.
Si en el desenvolupament anterior, sobre les arestes VB, VC…, portem la veritable magnitud dels segments V5, V1… corresponents, la línia trencada que n’obtenim es denomina transformada de la secció plana.
En la representació de la figura 36, mostrem el cilindre i la secció que en ell produeix un pla de cantell del que només representem la projecció vertical; mitjançant el seu abatiment, disposarem de la secció plana en veritable magnitud. El desenvolupament lateral serà un rectangle, els costats del qual seran la generatriu del cilindre i la longitud rectificada de la seva base. La realitzem en la figura 37, rectificant ¼ de la circumferència de la base i multiplicant per quatre la longitud obtinguda. Sobre el desenvolupament lateral hem traçat la transformada de la secció plana anterior; per facilitar-ne el traçat, dividim el desenvolupament en les mateixes vuit parts iguals en què, prèviament, hem dividit la projecció horitzontal del cilindre.