Introducció

Dins de les superfícies reglades, generades per una recta, i desenvolupables, extensibles sobre un pla, es troben les superfícies radials; aquestes són superfícies generades pel moviment d’una recta que es recolza en un punt anomenat vèrtex i en una directriu. Distingim quatre tipus de superfícies radials que, en ampliar-ne l'estudi en els pròxims apartats, agruparem pel tipus de vèrtex:

1. Superfícies radials de vèrtex propi

Concepte i classificació

Aquestes superfícies són generades pel moviment d’una recta, la generatriu, obligada a passar per un punt propi, el vèrtex V, recolzant-se en una línia, poligonal o corba, anomenada directriu (figura 1). En considerar la generatriu il·limitada en ambdós sentits a partir del vèrtex, es generen dues superfícies radials oposades i il·limitades. 

Si la perpendicular traçada des del vèrtex incideix en el centre de la base, la piràmide s’anomena recta; en cas contrari, es tractaria d’una piràmide obliqua. Quan, a més a més de recta, el polígon de la seva base és un polígon regular, la piràmide serà regular; en cas contrari, serà irregular. En les regulars, totes les arestes laterals són iguals i també ho són totes les seves cares laterals, aquestes amb forma de triangles isòsceles. L’altura de cada un d’aquests triangles s’anomena apotema de la piràmide.

Classifiquem també les piràmides pel nombre de costats del polígon de la base: així, parlarem de piràmides triangulars, quadrangulars, pentagonals, hexagonals, etc. 

• Amb la base situada en un pla oblic

Coneixem les projeccions d’un pla FGH, on es troba la base d’una piràmide quadrangular regular; el pla conté les dues projeccions del segment AB corresponent a una de les arestes de la base de la piràmide; coneixem també l’altura de la piràmide. 

La unió de les projeccions del vèrtex V, V’ – V’’, amb les corresponents projeccions dels vèrtexs de la base, completa la representació sol·licitada de la piràmide; on diferenciem les arestes interiors de cada contorn aparent segons la visibilitat d’elles mateixes. 

Els vèrtexs de la nova projecció horitzontal es trobaran en la intersecció de les perpendiculars a l’eix de gir, traçades per C’, D’, E’ i V’, amb les línies de correspondència traçades des de les noves projeccions verticals d’ells mateixos. Les arestes laterals que parteixen dels vèrtexs A i B queden en la part inferior de la piràmide i, per tant, com que estan amagades, s’han de representar amb línia discontínua. 

Partint de la mateixa projecció prèvia de la piràmide, una altra forma de resoldre les projeccions demanades seria efectuant un canvi de pla horitzontal, en el que la cara ABV ens quedés com un pla horitzontal i, com a resultat, la nova projecció horitzontal la determinaríem perpendicularment a A’’B’’ - V’’. 

1.2 El con

Quan la unió del vèrtex amb el centre de la base incideix perpendicularment en el pla d’aquesta, el con és recte; en cas contrari, és oblic. 

En el con recte de directriu circular, l’altura es denomina eix del con i aquest és de revolució per formar, en qualsevol de les posicions de la generatriu, un angle invariable amb el seu eix. El con oblic de revolució té una directriu el·líptica, directriu que també podem trobar en un con recte que, lògicament, no serà de revolució (figura 8). 

En el con de revolució, un triangle rectangle relaciona mètricament les longituds del radi de la base, de l’altura i de la generatriu, com s’aprecia en la representació del con recte de revolució de la figura anterior. Conegudes dues d’aquestes magnituds, gràficament, en podem determinar la tercera. 

• Amb la base en un pla oblic qualsevol

Suposem conegudes les projeccions del pla FGH que conté la base del con, el seu radi de la base i la seva altura. Abatem el pla (figura 10) per poder representar la veritable magnitud de la base, en la que tracem els diàmetres perpendiculars (A) (B) i (C) (D). Els desabatem, utilitzant horitzontals auxiliars del pla. Així, determinem A’B’-C’D’, eixos de l’el·lipse corresponent a la projecció horitzontal de la circumferència de la base del con, i A’’B’’-C’’D’’, diàmetres conjugats de la projecció vertical de la mateixa circumferència. A partir d’ells, tracem les el·lipses corresponents. 

Un canvi de pla vertical de projecció, en la direcció de l’horitzontal h’ del pla FGH, ens transforma aquest pla en un pla de cantell. Respecte a la nova projecció vertical, i pel centre O1’’ de la base, tracem una recta frontal perpendicular al pla de cantell; sobre la projecció vertical d’aquesta frontal portem l’altura h del con en veritable magnitud. Així fixem la posició del vèrtex V1’’ del con. La cota relativa de V1’’ ens serveix per determinar la seva projecció vertical V’’. 

Conegudes les projeccions V’ – V’’ del vèrtex del con, tracem des d’elles les generatrius corresponents a ambdós contorns, tangents a les el·lipses representades com a projeccions de les bases. 

Per O’’ tracem les projeccions verticals de dos diàmetres conjugats de la base del con: un horitzontal, sobre el que referim les projeccions verticals de C’ i D’; l’altre, F’’E’’, té l’extrem F’’ coincidint amb la projecció vertical A’’ i l’altre extrem, E’’, es troba en la prolongació del segment F’’O’’, essent O’’ el punt mitjà d’E’’F’’. Per completar la projecció horitzontal del diàmetre EF, situem l’extrem F’ coincidint amb A’; l’altre extrem, E’, queda determinat en la intersecció de la línia de correspondència entre projeccions traçada des d’E’’, amb la prolongació del segment F’O’. 

Les projeccions dels diàmetres conjugats CD i EF permeten traçar les el·lipses corresponents a les dues projeccions de la base del con; traçades aquestes, des de V‘- V’’ dibuixem les línies de contorn aparent tangents a les esmentades el·lipses. 

2. Superfícies radials de vèrtex impropi

Quan les arestes laterals són perpendiculars a les bases, el prisma es denomina recte, en cas contrari, oblic. Si, a més de recte, les bases són polígons regulars, el prisma és regular; en cas contrari, serà irregular. En els prismes regulars totes les cares laterals són rectangles iguals. 

Els prismes, els classifiquem també pel nombre de costats dels polígons de les seves bases: així, parlarem de prismes triangulars, quadrangulars, pentagonals, hexagonals, etc. El que té per bases polígons paral·lelograms rep un nom especial: paral·lelepípede.

Representacions més usuals del prisma

Per exemplificar la intersecció d’una recta amb un sòlid, explicada en 3.3, utilitzem com a model d’aquest últim un prisma oblic, situant la seva base recolzada en el PH. Aquesta és la posició més fàcil de representar aquest sòlid, i hi apareixen en veritable magnitud els elements paral·lels al pla sobre el qual es projecten. Vegem dues noves representacions del prisma:

• Amb una de les bases en un pla oblic qualsevol

Coneixem les dues projeccions del pla oblic ABCD que conté la base del prisma; també les projeccions del costat 1–2 del triangle equilàter de la base del prisma recte i la seva altura H. La resolució implica:

• Dibuixar la base en veritable magnitud sobre el pla abatut.

• Desabatre per trobar les dues projeccions de la base. 

• Per un dels vèrtexs de la base, traçar l’aresta lateral perpendicular al pla de la base. 

• Mesurar l’altura del prisma en veritable magnitud sobre la perpendicular anterior; això suposa situar l’aresta lateral en una posició que tingui una de les seves projeccions en veritable magnitud. 

• Per paral·lelisme entre arestes, completar les dues projeccions. 

Si, mitjançant un canvi de pla, posem el pla de la base en posició de pla projectant respecte a un dels de projecció, les rectes perpendiculars a ell seran paral·leles al pla de projecció amb relació al qual és projectant. D’aquesta manera, directament, podrem mesurar sobre una de les seves projeccions la veritable magnitud de l’altura del prisma. Vegem-ne la resolució, basada en aquesta posició favorable del pla, en la figura 15. 

Passem el pla a posició de pla de cantell, definint la nova projecció vertical en la direcció d’A’B’, recta horitzontal del pla de la base. Girem la projecció projectant del pla de cantell, A1’’B1’’ - C1’’D1’’, fins a col·locar-la horitzontal i amb relació a ella dibuixem, abatuda, la veritable magnitud del pla ABCD i del triangle equilàter (1) (2) (3) que conté. Desabatem el triangle, tenint en compte que la seva projecció vertical auxiliar està sobre la projecció corresponent del pla, A1’’B1’’ - C1’’D1’’. Des de les projeccions 1’, 2’, 3’ i 11’, 21’, 31’, tracem les perpendiculars al pla de la base; perpendiculars que, per estar el pla en posició de pla de cantell, seran rectes frontals. Sobre la projecció vertical d’aquestes perpendiculars podrem mesurar, en veritable magnitud, l’altura H del prisma. Completem la projecció vertical auxiliar i la referim a la projecció horitzontal; des d’aquesta passarem a la projecció vertical inicial, mantenint les cotes relatives observades en els vèrtexs d’ambdues bases sobre la projecció auxiliar. El paral·lelisme, per ser invariant projectiu, ens ajuda a completar les dues projeccions principals del prisma. 

• Amb una cara lateral coincidint amb un pla de projecció 

Volem representar un prisma regular hexagonal, del qual coneixem les longituds de les arestes de la base i lateral, amb una de les seves cares laterals situada en el PH. 

Un prisma regular (recte, per tant) amb una cara lateral situada sobre el pla horitzontal de projecció té els plans de les bases perpendiculars a l’esmentat pla de projecció. 

Comencem per representar (figura 16) la cara ABHG continguda en el PH, amb els valors d’aresta i altura donats. En relació amb la projecció de l’aresta AB, abatem la base ABCDEF sobre el pla horitzontal un cop abatuda:

1. Les perpendiculars a la frontissa A’B’, traçades des de les posicions abatudes dels altres vèrtexs, ens permeten completar la projecció horitzontal del prisma. 

2. Les cotes relatives z1 i z2 permeten, coneguda la projecció horitzontal, representar la projecció vertical del prisma.

2.2. El cilindre

Classificació i elements

El cilindre és el cos comprès entre una superfície cilíndrica tancada i dos plans secants, paral·lels entre si, que tallen totes les generatrius. Les superfícies compreses en els plans secants són les bases del cilindre i, la distància entre elles, la seva altura. Lateralment, mostra un contorn continu, sense cares, anomenat superfície lateral. 

Quan les generatrius són perpendiculars a les bases, el cilindre es denomina recte; en cas contrari, oblic. La paral·lela a les generatrius que passa pel centre de la directriu es denomina eix del cilindre; quan aquest és recte i de directriu circular, el seu eix és de revolució. 

En la figura 17, a més del cilindre recte de revolució, n’hi representem d’altres segons el tipus de directriu i la inclinació de les generatrius. En el cilindre oblic de revolució, les generatrius es mantenen equidistants de l’eix, per tant, la secció per un pla perpendicular a l’eix és una circumferència; la secció per dos plans paral·lels, oblics a l’eix, són sengles el·lipses que són les seves bases. 

Representacions més usuals del cilindre

Com hem realitzat amb els altres tres cossos de superfície radial, ens centrarem en les mateixes posicions respecte als plans de projecció:

• Amb una de les bases en un pla oblic qualsevol 

Coneixem les dues projeccions, e’ – e’’, de l’eix d’un cilindre recte de revolució i, sobre elles, les posicions de dos punts, O i Q, centres de les seves bases; hem de representar les dues projeccions del cilindre per a un radi donat. 

Amb l’ajuda d’una horitzontal i una frontal auxiliar, perpendiculars a l’eix del cilindre, i que fem passar per un dels centres, el Q en la figura 19, determinem el pla que conté aquesta base. Abatem aquest pla respecte a l’horitzontal de projecció per poder representar, a partir de la posició abatuda del centre (Q) (coincident amb Q’), la veritable magnitud de la circumferència de la base corresponent. Dibuixem mitja circumferència a la qual circumscrivim el rectangle de vèrtexs en (A) (B), amb costats paral·lels (rectes horitzontals del pla) i perpendiculars a la frontissa utilitzada, que ens permet realitzar el desabatiment de la circumferència. 

• Amb una generatriu situada en el PH

Hem de representar, amb una generatriu en el pla horitzontal, un cilindre de revolució conegudes la longitud del seu radi i la seva generatriu. 

La seva projecció horitzontal serà un rectangle, de costats el diàmetre de la base i la generatriu del cilindre (figura 20). La cara C’D’ correspon a la projecció d’una de les seves bases i el seu punt mitjà, A’ – B’, és la projecció d’un diàmetre vertical d’aquesta base. Aquest diàmetre, en projecció vertical, es projecta en veritable magnitud, A’’ – B’’, i sobre la perpendicular traçada pel seu punt mitjà, referim les projeccions verticals de C’ i D’. 

3. Seccions planes. Interseccions amb rectes

3.1 Secció plana, mètodes de determinació

Com estudiem en els políedres regulars, anomenen secció plana la intersecció que un pla qualsevol produeix en un sòlid; d’ella pot interessar-nos conèixer dues coses: les seves projeccions i la seva veritable magnitud; per a això últim haurem de col·locar el pla que la conté paral·lel o coincident amb un dels plans de projecció, cosa que realitzem, habitualment, mitjançant un abatiment. Pel que fa a determinar les projeccions de la secció, podem fer-ho de maneres diferents: 

• Quan el pla és projectant, els punts d’intersecció entre la seva projecció projectant i les arestes o generatrius del sòlid són, directament, punts de la secció buscada, que únicament haurem de referir a l’altra projecció del cos. Així ho férem en la figura 37 de la unitat 8. 

• Si el pla és un oblic qualsevol, podem anar determinant, un a un, els vèrtexs del polígon secció, vèrtexs que seran els punts d’intersecció de cadascuna de les arestes o generatrius del cos amb el pla. Això no obstant, sol ser preferible fer un canvi de pla perquè el pla secant sigui projectant amb relació a algun dels de projecció; d’aquesta manera podem fer la resolució immediata descrita en el paràgraf anterior. No hem d’oblidar d’aplicar al cos el mateix canvi de pla que hem realitzat amb el pla. Així es portà a cap en la figura 38 de la unitat anterior. 

• El tercer procediment és una aplicació de l’homologia. La directriu d’una superfície radiada o d’un políedre i la secció plana produïda per un pla qualsevol són dues formes planes perspectives (Teorema de Desargues) i, per tant, homològiques. 

Per determinar la resta de vèrtexs de la secció prolonguem A’B’ fins a tallar en el punt T l’eix de l’homologia; unim T amb 1’ i la seva intersecció amb l’aresta V’B’ determina el punt 2’ de la secció. Els segments A’B’ i 1’2’ són homològics i, per tant, es tallen en un mateix punt de l’eix de l’homologia. 

Procedim de la mateixa manera per trobar la resta de vèrtexs de la secció; per exemple, la prolongació de B’C’ es talla amb l’eix de l’homologia en el punt S que, unit amb 2’, determina la posició del vèrtex 3’ en l’aresta lateral que parteix de C’. Trobades les projeccions horitzontals dels vèrtexs de la secció, les referim a les corresponents arestes de la projecció vertical. 

Per traçar la seva projecció horitzontal, hem de conèixer les projeccions corresponents dels eixos. M’ i N’ es troben en correspondència dièdrica amb els punts en què la projecció vertical del con es talla amb la projecció projectant del pla. Pel punt mig del segment M’’ i N’’, tracem les generatrius coincidents, V’’ – H’’ i V’’ – J’’, que referim a la projecció horitzontal; la intersecció amb la perpendicular traçada a M’N’ pel seu punt mitjà determina les posicions de C’ i D’. 

Coneguts els eixos M’N’ i C’D’, podem traçar la secció el·líptica en projecció horitzontal. La seva veritable magnitud l’hem determinada per dos procediments distints: mitjançant l’abatiment del pla RST sobre l’horitzontal de projecció i amb un canvi de pla que deixi el pla secant en posició de pla horitzontal. Pel segon procediment situem O1’, perpendicularment a M’’N’’, en qualsevol posició; amb relació a ell, i amb els allunyaments relatius presos respecte a O’ en la projecció horitzontal inicial, determinem la nova projecció horitzontal, en veritable magnitud per correspondre a un pla horitzontal. 

En la resolució efectuada en la figura 23, s’hi han combinat dos procediments: 

1. Utilitzant plans projectants auxiliars, coincidents amb les projeccions verticals de les arestes que parteixen dels vèrtexs bàsics C i D, determinem les projeccions 1’ i 3’.

2. C’ i 1’, i D’ i 3’ són parelles de punts homòlegs, en una homologia que té per eix la projecció horitzontal de la recta QW d’intersecció entre el pla MNP i el pla horitzontal que conté la base del prisma. Per determinar les projeccions dels altres vèrtexs de la secció, 2’ per exemple, prolonguem B’C’ fins a tallar la projecció horitzontal Q’W’ en el punt R que, unit amb 1’, determinarà en la seva prolongació la posició 2’ sobre l’aresta que parteix de B’; de forma similar determinem 4’.

Referim els vèrtexs de la secció a la projecció vertical del prisma. Per últim, completem la representació amb l’estudi de la visibilitat del conjunt. 

3.2 Seccions planes particulars

Depenent de l’orientació del pla secant i del tipus de cos, la secció plana pot presentar alguna de les particularitats que descrivim a continuació:

• Pla paral·lel a la directriu 

En els sòlids de vèrtex impropi, la secció plana serà idèntica a la directriu i paral·lela a ella mateixa. Quan el vèrtex és propi, la secció plana és una forma semblant a la directriu i disposada amb aquesta segons una relació d’homologia el centre de la qual és el vèrtex del cos.

• Seccions rectes 

Són les produïdes en els cossos de vèrtex impropi, prisma i cilindre, per un pla perpendicular a les respectives generatrius. Independentment de la posició del pla secant, sempre obtindrem la mateixa secció recta, ja que, en ser produïda per plans perpendiculars a les generatrius, seran paral·leles entre si. 

Tornarem a parlar de les seccions rectes quan fem els desenvolupaments de prismes i cilindres. 

• Seccions planes d’un con de revolució 

Segons la inclinació del pla secant, la secció que aquest produeix sobre una superfície cònica de revolució és diferent. Un pla perpendicular a l’eix produeix com a secció una circumferència; si el pla és paral·lel a l’eix, la secció és una hipèrbola; quan el pla és paral·lel a les generatrius, la secció és una paràbola i amb plans oblics a l’eix i no paral·lels a les generatrius, la secció és una el·lipse. 

3.3 Intersecció recta-cos

Determinar la intersecció d’una recta amb un sòlid consisteix a trobar els punts d’entrada i sortida de la recta en el sòlid. 

El procediment general per resoldre aquest problema passa per definir un pla auxiliar que contingui la recta, per determinar-hi la secció plana que produeix en el sòlid. Els punts d’intersecció entre la secció produïda pel pla auxiliar i la recta són els punts buscats. 

El pla auxiliar pot ser un pla projectant, com resolguérem en la figura 40 de la unitat 8, o un pla que, contenint la recta, passi pel vèrtex del sòlid o sigui paral·lel a les seves arestes o generatrius, en el cas de sòlids de vèrtex impropi. Aquests últims plans produiran com a secció alguna de les seccions particulars que veiérem en 3.2. 

Pels punts 1’ i 2’ en què la projecció horitzontal de la recta RT talla la directriu A’B’C’D’ del prisma, tracem les arestes auxiliares paral·leles a les arestes laterals del prisma i que, en tallar-se amb r’, defineixen les projeccions horitzontals, M’ i N’, dels punts buscats. Els referim a la projecció vertical r’’ de la recta i diferenciem, en ambdues projeccions, la representació del segment comprès entre ambdós punts. 

Pels punts 1’ i 2’ d’intersecció entre Q’W’ i la projecció horitzontal de la base del cilindre, tracem les generatrius corresponents que, en tallar-se amb r’, defineixen la posició dels punts M’ i N’. Els referim a la projecció vertical i diferenciem com amagat el segment entre ambdós en les dues projeccions. 

4. Desenvolupaments i transformades

Concepte

Les superfícies radials, en incloure’s dins de les desenvolupables, permeten que els cossos que les tenen per contorn puguin estendre’s sobre un pla, sense experimentar cap deformació ni trencat. Aquesta acció la coneixem com a determinació del desenvolupament d’un cos. 

El desenvolupament d’un cos inclou el seu desenvolupament lateral més el de la base o bases, segons el tipus de cos. Totes les magnituds representades hi han d’estar en veritable magnitud; per obtenir-les en aquesta dimensió, és habitual recórrer a algun dels moviments estudiats en unitats anteriors. 

En els pròxims apartats, veurem dos dels desenvolupaments la determinació dels quals implica realitzar alguna operació diferent respecte al procés descrit. 

4.1 Desenvolupament del prisma oblic

Partim del prisma oblic, de directriu triangular, de la figura 30. Per obtenir-hi el desenvolupament lateral, en determinem una de les seccions rectes (produïda per un pla perpendicular a les arestes laterals). En estar aquestes arestes del prisma en posició de rectes frontals, el pla perpendicular a elles serà un pla de cantell. 

4.2 Desenvolupament del con de revolució. Rectificació

El desenvolupament lateral d’un con de revolució (figura 32) és un sector circular, de radi igual a la generatriu del con, l’arc del qual tindrà la mateixa longitud que la circumferència de la seva base. Podem arribar a representar aquest sector circular de dues maneres:

4.3 Desenvolupament d'una piràmide obliqua

4.4 Desenvolupament d'un cilindre de revolució

En la representació de la figura 36, mostrem el cilindre i la secció que en ell produeix un pla de cantell del que només representem la projecció vertical; mitjançant el seu abatiment, disposarem de la secció plana en veritable magnitud. El desenvolupament lateral serà un rectangle, els costats del qual seran la generatriu del cilindre i la longitud rectificada de la seva base. La realitzem en la figura 37, rectificant ¼ de la circumferència de la base i multiplicant per quatre la longitud obtinguda. Sobre el desenvolupament lateral hem traçat la transformada de la secció plana anterior; per facilitar-ne el traçat, dividim el desenvolupament en les mateixes vuit parts iguals en què, prèviament, hem dividit la projecció horitzontal del cilindre.