Unitat 3

Transformacions geomètriques anamòrfiques:

Homologia, afinitat i inversió.

Transformacions geomètriques

En la geometria descriptiva, tot sovint haurem de transformar una figura en una altra que compleixi unes lleis determinades amb la primera. Aquestes transformacions són les homografies especials: homologia i afinitat homològica.

Homologia

És la relació espacial entre dues figures d'una mateixa radiació del qual es coneix el centre de radiació. Es dibuixa com una transformació plana, encara que sempre és tridimensional.

Afinitat

És una homologia en la qual el centre està situat a l'infinit. Per tant, la radiació resulta ser paral·lela.

Vídeo sobre els fonaments teòrics d'homologia

1. Homologia

L’homologia és la primera de les dues transformacions anamòrfiques que veurem en aquesta unitat. A cada un dels punts i rectes d’una forma plana inicial li corresponen, respectivament, un punt o una recta de la seva forma homòloga, complint unes determinades condicions que veurem en els apartats propers.

Es diu que dues figures F i F' són homològiques quan compleixen les dues condicions següents:

1a. Els punts corresponents de cadascuna es troben dos a dos sobre rectes que concorren en un punt únic anomenat centre d'homologia (V).

2a. Les rectes que uneixen dos punts d'una figura i els dos punts corresponents de l'altra es tallen sobre una recta única anomenada eix d'homologia.

1.1 L'homologia en l'espai

En tallar la radiació de vèrtex V mitjançant dos plans, el de terra i el del dibuix, n’obtindrem sobre cada un, una secció plana, ABC i A’B’C’ respectivament. Ambdues seccions són figures homològiques en l’espai, d’acord amb les condicions següents:

• Tots els raigs que passen per V intercepten punts homòlegs, A i A’, B i B’, etc., sobre cada un dels plans.

• Les rectes homòlogues es tallen en punts de l’eix de l’homologia. Tots els punts de l’eix són punts dobles. En la representació espacial de la figura 1, l’eix de l’homologia és la recta d’intersecció entre el pla de terra i el del dibuix.

• En l’homologia no es conserven propietats mètriques com el paral·lelisme o la perpendicularitat, ni les mesures de segments i angles.

Figura 1

1.2 L'homologia en el pla

Si en la imatge de la figura 1 abatem el pla del dibuix fent sevir de frontissa o xarnera la recta resultant de la intersecció amb el pla de terra fins que ambdós coincideixin, les dues seccions planes seran coplanàries i ambdues defineixen l’homologia plana de la figura 2. Aquesta pot definir-se com a una transformació geomètrica biunívoca d’una figura en una altra, ambdues coplanàries, de forma que entre ambdues es compleixin les relacions següents:

Cada punt i el seu homòleg estan alineats amb el centre V de l’homologia.
Una recta i la seva homòloga es tallen en un mateix punt (homòleg de si mateix, per tant, punt doble) situat en l’eix de l’homologia.
Les rectes que uneixen cada punt amb el seu homòleg passant pel centre de l’homologia són rectes dobles, en ser homòlogues de si mateixes.

Figura 2

Rectes límit (RL) és el lloc geomètric dels punts del pla, dels quals els seus homòlegs es situïn en el infinit. Per tant, a cada una de les dues figures o formes relacionades per una homologia plana li correspon una recta límit. En ser sempre dues les figures homòlogues, en cada homologia hi podrem establir dues rectes límit.

Els homòlegs dels punts de l’infinit del triangle A’B’C’, (figura 3), defineixen un lloc geomètric representat per la recta límit RL corresponent al triangle ABC homòleg de l’anterior. Per trobar aquesta recta límit, ens caldrà buscar un parell de punts homòlegs corresponents a uns altres punts impropis d’A’B’C’.

Pel centre V de l’homologia traçarem la recta VM’ (infinit) paral·lela a B’A’M’ (infinit); ambdues rectes, per ser paral·leles, han de tallar-se en l’infinit. El punt M, determinat en la intersecció de VM’ (infinit) amb la recta AB, homòloga de la seva paral·lela A’B’, és l’homòleg del punt M (infinit) de l’infinit de la figura A’B’C’; per tant, M pertany a la recta límit del seu triangle homòleg ABC.

Figura 3

De forma similar trobem el punt N homòleg d’N’ (infinit) del triangle A’B’C’. La recta que defineixen els punts M i N és la recta límit RL del triangle ABC, posició dels punts homòlegs dels de l’infinit d’A’B’C’. La recta límit RL’, corresponent als punts de l’infinit del triangle ABC, es determina de forma igual a la descrita per trobar els punts M i N; així trobem S’, homòleg del punt S (infinit) d’ABC. Sense cap necessitat de trobar un segon punt, per S’ tracem la recta límit paral·lela, com a l’anterior, a l’eix de l’homologia.

A més a més de la condició de paral·lelisme existent entre les rectes límit i d’ambdues amb l’eix, la distància del vèrtex a una de les rectes límit és la mateixa que la distància existent des de l’eix a la segona recta límit, sent ambdues interiors o exteriors al conjunt de vèrtex i eix.

Maneres de definir una homologia

Una homologia queda definida coneixent els següents elements:

Homologia d'una recta r qualsevol

Buscarem els homòlegs dels punts de tall de la recta r donada amb l’eix i la recta límit (figura 4). La intersecció A-A’ amb l’eix és un punt doble en l’homologia, per la qual cosa la recta homòloga r’ passarà per aquesta intersecció. La recta VM, sent M la intersecció de la recta r donada amb RL, defineix la posició dels punts de l’infinit de r’, per la qual cosa aquesta serà paral·lela a la direcció que defineix VMM’ (infinit) (passant, lògicament, pel punt doble A-A’).

Figura 4

Homòloga d’una recta paral·lela a l’eix de l’homologia

Tracem una recta s auxiliar que es talli amb r en un punt P (figura 5). Aquesta recta auxiliar intercepta els punts A i M sobre l’eix de l’homologia i la recta RL, per la qual cosa determinarem la seva homòloga s’ tal com hem fet en l’apartat anterior. Coneguda s’, la situem sobre l’homòleg P’ (amb l’ajuda de la recta VP). Per P’, també paral·lela a l’eix, hi traçarem la recta homòloga buscada, r’.

Figura 5

Homòleg d’un punt qualsevol

L’homòleg d’un punt P (figura 5), es determina fent-hi passar una recta s qualsevol. Hi trobem l’homòloga s’ d’aquesta recta auxiliar i, sobre ella, segons la correspondència VP, hi trobarem la posició de l’homòleg P’.

Homòleg d’un punt qualsevol

El centre O, l'eix e, el triangle ABC i dos punts homòlegs A i A'

Per trobar la figura homòloga del triangle ABC cal dibuixar cadascun de les rectes que neixen del centre O i passen per cada vèrtex del triangle. Després prolonguem la recta que passa pels punts A i C fins que talli l'eix en el punt m. A continuació tracem la recta homòloga m A' i on talla el feix que passa per C, obtenim el seu homòleg C'. Fem el mateix amb la recta que passa per A i B per trobar el punt n i poder trobar així el punt B'. Unint A', B' i C' tenim el triangle homòleg.

Determinar la figura homòloga del quadrilàter, donats el centre d'homologia O, l'eix i un parell de punts homòlegs A i A'.

Determinar l'homòleg A' d'un punt A, donats el centre O, l'eix d'homologia EH i una recta límit RL.

El centre O, l'eix e i la recta límit RL.

Determinar el centre d'homologia i l'eix d'homologia a partir de dues figures homòlogues donades.

Determinar la figura homòloga del triangle conegut ABC, coneixent el centre O d'homologia, a més del punt A', homòleg de A.

Determinar la figura homòloga del triangle conegut ABC, donats el centre O d'homologia, una recta límit RL i l'eix d'homologia.

Homologia que transforma un triangle escalè en un triangle equilàter.

Homologia que transforma un quadrilàter qualsevol en un quadrat de costat donat

Homologia d'una circumferència a el·lipse, coneguts el centre d'homologia, l'eix i un parell de punts homòlegs A i A'

Homologia d'una circumferència a el·lipse, coneguts el centre d'homologia, l'eix i una recta límit RL

Homologia d'una circumferència a paràbola

Homologia d'una circumferència a hipèrbola

2. Afinitat o homologia afí

Amb els mateixos elements d’una homologia, però amb el centre impropi (figura 6), tenim definida l’afinitat. Aquesta és una transformació homogràfica que compleix les següents lleis:

Dos punts afins estan alineats amb una recta que segueix la direcció d'afinitat.
Dues rectes afins, es tallen sempre en una recta fixa anomenada eix d'afinitat.

L'afinitat manté el paral·lelisme, les proporcions entre segments i les àrees de les figures. L’afinitat és un cas particular d'homologia en la qual el centre d'homologia és impropi (que està en el infinit), d'aquí que no existeixi un centre d'afinitat sinó una direcció i que els rajos del feix són paral·lels.

2.1 Elements d'una afinitat

Eix d'afinitat. És la recta en la qual conflueixen les rectes afins. Per aquest motiu és el lloc geomètric dels punts dobles.

Direcció d'afinitat. És la direcció segons la qual tots els parells de punts afins es troben alineats. Pot ser expressada per un vector o un parell de punts afins.

Si la direcció d'afinitat és perpendicular a l'eix, s'anomena afinitat ortogonal (figura 8), i en la resta de casos, afinitat obliqua (figura 7).

En l’afinitat no existeixen els rectes límits.

Una afinitat queda determinada per les següents dades:

L'eix i dos punts afins.
La direcció d'afinitat i el coeficient.
Dues figures afins.

Figura 6

Afinitat obliquaFigura 7

Afinitat ortogonalFigura 8

Afinitat d'un quadrilàter, donats l'eix i un parell de punts afins.

Afinitat d'un punt alineat amb una parella de punts afins.

Determinar la figura afí del triangle ABC, coneguts l'ex i la raó K=1/2.

Determinar l'homologia afí ortogonal d'una figura, donats un parell de punts afins.

Afinitat d'un pentàgon regular, donats l'eix i un parell de punts afins.

Afinitat per convertir un triangle en un triangle rectangle.

Exercici en el qual es demana determinar la figura afí del triangle ABC, del qual es coneixen els vèrtexs A i B, i el baricentre O. També es coneix l'eix i la direcció d'afinitat. A més, el triangle afí A'B'C' ha de ser un triangle rectangle en el vèrtex C.

Afinitat ortogonal d'una circumferència, donats l'eix i el punt afí del centre de la circumferència.

Afinitat obliqua d'una circumferència, donats l'eix i el punt afí del centre de la circumferència.

Homologia afí de la circumferència. Diverses situacions.

Exercici afinitat PAU

Exercici afinitat PAU Castellà i Lleó 2021

Page updated

Report abuse