Triangles

Polígons

2. triangles

Un triangle és un polígon de tres costats. La intersecció de cada dos costats defineix la posició d'un vèrtex, que designem amb lletres majúscules: A, B i C (figura 5). Cada costat és anomenat amb una lletra minúscula que coincideix amb la del vèrtex oposat.

2.1 Propietats i classificació

Perquè amb tres segments qualssevol puguem construir un triangle, s'ha de complir que la longitud de cada segment sigui més petita que la suma dels altres dos i més gran que la seva diferència. En les figures 6 i 7 veiem la comprovació gràfica d'aquesta propietat.

Figures 6 i 7

La suma dels tres angles interiors d'un triangle és sempre 180°.
Cada angle exterior d'un triangle és igual a la suma dels altres dos interiors no adjacents (figura 8).

Figura 8

Classificació dels triangles segons els costats i els angles:

2.2 Rectes i punts notables d'un triangle

En qualsevol triangle podem traçar-hi quatre rectes amb els punts d'intersecció i les propietats que s'expliquen tot seguit. Aquestes rectes i aquests punts són coincidents en el cas particular del triangle equilàter.

Bisectrius. En els angles interiors d'un triangle, hi podem traçar tres bisectrius que es tallen en un punt equidistant dels tres costats, que anomenem incentre i que és el centre de la circumferència inscrita en el triangle (figura 9).

Les bisectrius dels angles exteriors d'un triangle es tallen dos a dos en els centres de les circumferències exinscrites, punts C1, C2 i C3. Aquestes circumferències són tangents a un cosdtat i a la prolongació dels altres dos (figura 10).

Figura 9

Figura 10

Bisectrius, incentre i la circumferència inscrita

Mediatrius. Les mediatrius d'un triangle es tallen en un punt que s'anomena circumcentre i que, per ser equidistant als tres vèrtexs, és el centre de la circumferència circumscrita (figura 11). Segons el tipus de triangle, el circumcentre pot estar situat a l'interior o a l'exterior del triangle.

Figura 11

Mediatrius, circumcentre i circumferència circumscrita

Mitjanes. Les mitjanes són els segments que uneixen un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat. Es tallen en un punt anomenat baricentre (figura 12).

La mitjana BT i la paral·lela a ella traçada pel punt mig M divideixen la mitjana AN en tres parts iguals, dues de les quals queden entre el vèrtex A i el baricentre Bc, i una entre el baricentre i el costat. Aquesta posició del baricentre és la mateixa si considerem qualsevol de les dues mitjanes.

Unint els punts mitjans dels costats, en resulta un triangle MNT de costats paral·lels al triangle ABC i de longituds que són la meitat del corresponent costat paral·lel.

Figura 12

Mitjanes i baricentre

Alçàries. Les alçàries d'un triangle són els segments traçats perpendicularment des d'un vèrtex al costat oposat o a la seva prolongació. Les tres alçàries es tallen en un punt que s'anomena ortocentre.

Si unim a la figura 13 els peus de les alçàries, punts D, E i F, en resulta un nou triangle que s'anomena òrtic del triangle inicial ABC. Les alçàries d'un triangle són bisectrius del seu triangle òrtic i, per tant, l'ortocentre del triangle ABC coincideix amb l'incentre de l'òrtic.

Figura 13

Alçàries i ortocentre

Construcció de triangles

Donats els costats

Donats dos costats i angle comprès

Donats un costat i els sues dos angles adjacents

Construcció d'un triangle equilàter donada l'alçària

Donats un costat i dues alçàries, una en relació amb el costat conegut

Donats dos costats i la mitjana del tercer

Conats un costat, l'alçària corresponent i l'angle oposat

Donats un costat i les mitjanes dels altres dos

Donats dos angles i el radi de la circumferència circumscrita

Conegut el diàmetre de la circumferència circumscrita, un angle i la mitjana que concorda amb l'angle donat.

Donat un costat, la mitjana corresponent i l'angle oposat

En relació amb el costat donat tracem l'arc capaç corresponent al seu angle oposat també conegut. Fent centre al punt mitjà de a i amb un radi igual a la mitjana coneguda, tracem un arc que talla l'arc capaç en dos punts, posicions del vèrtex A de dos possibles triangles solució.

Page updated

Report abuse