Unitat 1

Construccions geomètriques fonamentals

Elements simples: Posicions relatives

En geometria hi ha tres elements simples amb els quals podem construir qualsevol forma més complexa: vèrtex o punt, aresta o línia i cara o pla.

1.1 El punt

És l'element geomètric més simple i queda definit en la intersecció de dues rectes coplanàries. Es designa amb alguna lletra majúscula de l'abecedari: A, B, C, D...

Punt propi: es pot situar en l'espai i representar-se; per exemple: el centre d'una circumferència o l'element cou a dues rectes que es tallen.
Punt impropi: és un ut situat a l'infinit; per exemple: el lloc d'intersecció de dues rectes paral·leles.

1.2 La línia

Una línia està formada per un nombre infinit de punts que, si tenen la mateixa direcció , deifneixen una recta. Es designa amb lletres minúscules: r, s, m, n... Un punt interior d'una recta la divideix en dues semirectes.

La posició d'una recta la determinen dos punts.

Per un punt passen infinites rectes, les quals defineixen un feix de rectes.

Tots els tipus de línies anteriors són rectes pròpies perquè poden situar-se al pla i representar-se. Les rectes impròpies són les que estan situades a l'infinit.

Distingim els següents tipus de rectes:

Segment: part de la recta delimitada entre dos punts.
Línies poligonals: es componen de diversos segments i poden ser obertes o tancades.
Línia corba: és aquella en què els punts no es troben en la mateixa direcció.
Mixta: quan la recta combina parts rectes i corbes.

1.3 El pla

Un pla conté un nombre infinit de punts i de rectes. Necessitem tres punts no alineats per determinar la posició d'un pla. Aquesta posició també pot quedar definida per:

-Dues rectes paral·leles

-Dues rectes que es tallin

-Una recta i un punt exterior a la recta.

Els plans es designen amb lletres de l'alfabet grec: α (alfa), β (beta), etc.

Són plans propis aquells que contenen rectes i punts propis, per exemple les cares d'un cub; el pla impropi o de l'infinit és el que conté rectes i punts impropis.

Per una recta passen una infinitat de plans, que defineixen una figura geomètrica que anomenem feix de plans (fig. 1).

Les rectes d'un mateix pla es denominen coplanàries i poden ser secants o paral·leles. Un cas particular de rectes secants són les rectes perpendiculars.

Les rectes de dos plans diferents, poden ser paral·leles o, en cas contrari, creuar-se, però no es tallaran mai; la seva posició relativa serà la de rectes que es creuen en l'espai.

Figura 1

2. Llocs geomètrics

Un lloc geomètric defineix una posició en el pla o en l'espai; tots els punts d'un lloc geomètric compleixen la mateixa propietat geomètrica.

2.1 La mediatriu

És la perpendicular a un segment en el seu punt mitjà i defineix el lloc geomètric de punts equidistants dels dos extrems d'un segment. Els punts de la mediatriu són les centes de les infinites circumferències que passen pels extrems del segment (figura 2).

Construcció de la mediatriu

Figura 2

2.2 La bisectriu

És la recta que divideix un angle en dues parts iguals passant pel seu vèrtex. Cada punt de la bisectriu és a la mateixa distància dels dos costats, i es defineix com el lloc geomètric de punts equidistants dels costats de l'angle. Qualsevol punt de la bisectriu és el centre d'una circumferència tangent als dos costats de l'angle (Figura 3).

Construcció de la bisectriu

Figura 3

Construcció de la bisectriu d'un angle de vèrtex inaccessible

2.3 La recta paral·lela

Dues rectes es mantenen a distància constant; per tant, la recta paral·lela és el lloc geomètric dels punts equidistants d'una recta donada. D'una recta qualsevol podem traçar dues paral·leles a la mateixa distància; els seus punts són centres de circumferències tangents a la recta inicial (Figura 4).

Construcció d'una recta paral·lela

Figura 4

2.4 La circumferència

És una corba plana i tancada, els punts de la qual equidisten d'un d'interior anomenat centre. Constitueix el lloc geomètric dels punts que equidisten, una distància igual al radi, del seu centre.

Figura 5

2.5 L'arc capaç

L'arc capaç d'un angle α respecte d'un segment AB és el lloc geomètric format per les posicions dels vèrtexs dels angles iguals a α i els costats del qual passen pels extrems A i B del segment (Figura 6).

Construcció de l'arc capaç

Figura 6

3. Traçats de paral·leles i perpendiculars

3.1 Traçats de paral·leles i perpendiculars amb escaire i cartabó

3.2 Traçats de rectes paral·leles i perpendiculars amb compàs

Perpendicular des d'un punt P exterior a una recta

Perpendicular des d'un punt P d'una recta

Paral·lela a una recta que passi per un punt P

4. Angles: Tipus, criteris d'igualtat

Dues rectes que es tallen formen quatre angles; les rectes s’anomenen costats de l’angle i la seva intersecció és el vèrtex. Els angles es designen amb tres lletres majúscules que corresponen als costats i al vèrtex (la corresponent al vèrtex sempre s’escriu entre les altres dues); també es poden designar només amb la lletra assignada al vèrtex, o amb una lletra grega (figura 7).

Figura 7

4.1 Classificació pel seu valor

4.2 Classificació en relació amb altres angles

4.3 Igualtat d'angles

Els angles de costat paral·lels disposats en el mateix sentit o en el contrari són iguals. Si un costat està disposat en el mateix sentit i l'altre en sentit contrari, els angles són suplementaris (figura 8).

Figura 8

Dos angles amb els costats respectivament perpendiculars són iguals o suplementaris (figura 9).

Figura 9

Quan es tallen dues rectes paral·leles per una secant (figura 10), es determinen vuit angles. Aplicant els criteris anteriors d'igualtat (oposats pel vèrtex i de costats paral·lels), podem establir la igualtat dels angles 1, 4, 5 i 8, i també la dels angles 2, 3, 6 i 7.

Figura 10

4.4 Traçats d'angles amb esquadra i cartabó

La figura 11 recorda els angles que trobem a cada vèrtex d'un cartabó i d'un escaire; la seva utilització individual o combinada ens permet traçar línies amb una inclinació respecte de l'horitzontal múltiple de 15°.

Figura 11

A la figura 12 observem les posicions de l'escaire i el cartabó per poder aconseguir diferents angles des de 0° fins a 180°.

Figura 12

Construcció d'angles amb l'escaire i el cartabó

4.5 Construcció d'angles amb compàs

Traçat d'angles de 90°, 45° i 22,5°; 60°, 30° i 15°

5. Operacions amb segments

Gràficament, podem obtenir un segment que sigui suma d'uns altres; de manera combinada fem les operacions se suma, resta i producte.

5.1 Suma, resta i producte de segments

Suma, resta i producte de segments

5.2 Teorema de Tales. Divisió d'un segment en parts iguals

Quan dues rectes secants són tallades per una sèrie de rectes paral·leles, els segments interceptats sobre una de les rectes són proporcionals als determinats en l'altra. Tal com s'acompleix en la figura 13.