Умови задач

PDF файл з умовами: файл

1. Повернення черепашок

У вершинах трикутника ABC сидить по черепашці. Вони починають рух зі швидкістю 1, при якому черепашка A завжди рухається до черепашки B, черепашка B завжди рухається до черепашки C, а черепашка C -- до черепашки A. Якщо дві черепашки зустрічаються, вони далі рухаються разом до третьої на зустріч. Нехай сторони трикутника рівні a, b, c.

1. Знайдіть час, через який всі три черепашки опиняться в одній точці, якщо

   • a=1, b=1, c=1

   • a=3, b=4, c=5

   • Побудуйте графік залежності часу від a, для a в інтервалі (0;2), при b=c=1

2. Зобразіть траекторію руху черепашок.

Чат технічної підтримки

2. Зворотня задача колайдера

При зіткненнях на колайдерах ядер при високих енергіях, зазвичай, утворюється купа різноманітних частинок. Один з основних типів даних, які науковці отримують на таких експериментах, є інформація про те, скільки частинок і з якими енергіями досягло детекторів, які розташовані навколо колайдера. Проте, цей розподіл відрізняється від початкового розподілу продуктів зіткнення по енергіям через те, що на своєму шляху між точкою зіткнення та детектором, частинки можуть продовжувати розпадатись або втрачати енергію через взаємодію із елементами конструкції колайдера та між собою. Науковцям цікаво знати справжні властивості частинок, а не модифіковані, тому перед ними постає зворотня задача: знаючи викривлені стінками прискорювача результати вимірів, відновити параметри частинок, які вони мали до проходження через стінки прискорювача.

Як вхідні дані до задачі, ви отримуєтете файл із розподілом частинок по енергіям, які виміряв детектор. У k-ому рядку файла запісано долю від загальної кількості частинок, що утворились в результаті експерименту, і мають енергію від k-1 до k MeV (мега електрон вольт): в першому рядку частинки з енергіями від 0 до 1 MeV, в другому~-- від 1 до 2 і так далі. Скрізь в цій задачі ми будемо наближено вважати енергії частинок цілими числами.

1. Втрати енергії на елементах конструкції при великих кількостях частинок можна описувати ймовірністями. Виходячи з припущеня, що в результаті проходження конструкцій колайдера кожна частинка з ймовірністю 1/2 не змінила свою енергію при проходженні детектора, з ймовірністю 1/3 зменшила свою енергію на 1 MeV і з ймовірністю 1/6 зменшила свою енергію на 2 MeV, розрахуйте як були розподілені частинки по енергіях одразу після зіткнення, себто до проходження через конструкції колайдера.

2. Додамо в модель розпад частинок. Відновіть початковий розподіл, враховуючи, що при проходженні детектора частинка, яка мала початкову енергію E з ймовірністю 1/E, розпадається на дві частинки з енергіями E/2 при парних E і енергіями (E-1)/2 та (E+1)/2 при непарних E. A з ймовірністю 1-1/E частинка лишається цілою. Вважайте, що частинки спершу втрачають енергію згідно пункту 1 задачі, а вже потім можуть розпастись.

В обох пунктах побудуйте на одному графіку обидва розподіли. Також будьте готові надати журі під час захисту файл із даними ``реальних'' розподілів.

Чат технічної підтримки

3. Світлячки в пастці

Світлячок літає зі швідкістю 1 м/c, змінюючи напрям руху кожної секунди. Напрямок обирається випадково як довільна точка на одиничній сфері, описаній навколо світлячка. Якщо світлячок врізається в перешкоду, то він падає на землю й приходить до тями лише через 30 секунд. Після опритомнення світлячок продовжує свій випадковий політ, але першу секунду він летить перпендикулярно до поверхні в місці падіння.

1. Запустіть багато разів N світлячків з випадкових початкових позицій, у випадках коли світлячки:

   • затиснені між двома паралельними горизонтальними площинами, відстань між якими R

   • знаходяться в нескінченній горизонтальній циліндричній трубі радіуса R

   • знаходяться у сферичній ємності радіуса R

Знайдіть середній час до моменту, коли всі світлячки будуть без тями T, як функцію N та R.

2. Зробіть красиву візуалізацію польоту світлячків.

3. Яка асимптотична поведінка T при великих значеннях N та R для всіх трьох геометрій?

Підказка: Для генерації випадкової точки на сфері можна написати свій код, наприклад, користуючись чудовою властивістю площі сферичного пояса. Або використати готовий код тут (python)

Чат технічної підтримки