Умови задач

PDF файл з умовами: файл

1. Зламаний коник

Колега доктора Біодольского, професор Комашевський, досліджує родину незвичайних коників (усі коники з цієї родини мають однакові біологофізичні характеристики). Він випускає їх у відкрите поле та спостерігає за їх стрибками. Довжина кожного стрибку складає 30 см. Після кожного стрибку з ймовірністю p=0.2 коник підвертає ногу. Якщо коник підвертає ногу, то йому необхідно t=0.5 хвилини на відпочинок, після чого він знову може продовжити стрибати (якщо коник ногу не підвертає, то відпочинок не потрібен). Знайдіть середню швидкість v коника з такої родини. Для цього виконайте наступні завдання:

1. Вважаючи що час стрибка коника 1 с (і надалі вважайте час стрибку 1 с, якщо це не уточнюється), знайдіть середню швидкість для N=500, 1000, 1500, ... стрибків (чим більше експериментів, тим краще), побудуйте графік залежності v(N);

2. Знайдіть залежність середньої швидкості v від ймовірності p підвертання ноги;

3. Нехай коник зламався і почав стрибати з ймовірністю ps=0.3 на відстань 15 см і з ймовірністю 1-ps= 0.7 на відстань 30 см. За умови що він після кожного стрибка з ймовірністю p=0.2 підвертає ногу, знайдіть середню швидкість коника;

4. Нехай коник зовсім з'їхав з глузду і стрибаючи на відстань 15 см, він почав підвертати ногу з ймовірністю 0.2, а стрибаючи на відстань 30 см --- з ймовірністю 0.3. Враховуючи що ймовірність стрибка на 15 см ps=0.3, а на відстань 30 см це 1-ps = 0.7, знайдіть середню швидкість коника;

5. * Нехай час стрибка коника рівний T, причому T<1 с. Розв'яжіть пункт 1 за різних значень параметра T, зокрема дослідіть як поводиться середня швидкість при T що прямує до 0.

Чат технічної підтримки

2. Музика таємних сфер

Під час чергової подорожі до доктора Біодольского, Рік і Морті телепортувалися у таємну кімнату без жодного виходу. В центрі кімнати знаходився кам'яний куб із відполірованою до дзеркального блиску сталевою півкулею радіусом 150.0 мм. На неї з труби нагорі падали пластикові кульки для пінг-понгу з логотипом відомого китайського маркетплейса. Мелодійно вдаряючи по сталевій півкулі вони відскакували на камінь й щезали. Написи на камені свідчать, що вікно телепорту з таємної кімнати активується правильною мелодією, яку можуть вибити кульки вдаряючи по півкулі. Для цього трубу треба зорієнтувати у просторі так, щоб впавши на сферу, пластикова кулька вдарилася об неї рівно тричі. Кінцева точка телепортації залежить від місця першого ударяння по кулі. 

Допоможіть Ріку й Морті вибратися з кімнати визначивши, куди й з якою точністю треба поцілити кулькою для пінг-понгу. Морті зауважив, що початково труба орієнтована строго вертикально над геометричним центром півсфери, а кульки з'являються з неї з нульовою початковою швидкістю. З цієї позиції трубу можна рухати вертикально так, що вихідний отвір знаходитиметься в межах від 300.0 до 1000.0 мм від каменю. У горизонтальній площині центр отвору можна розмістити всередині кола радіусом 182.0 мм, яке концентричне півсфері. 

1. Які розв'язки (положення труби та відповідні області першого співударяння кульок з півсферою) допускає задача, якщо вважати кульки матеріальними точками, а зіткнення з півсферою абсолютно пружним?

2. Насправді кульки для пінг-понгу, що падають на сферу, повністю задовольняють стандартам для використання у професійних турнірах. Тобто, окрім маси, зазначеної вище, мають діаметр 40.3 мм і відскок при падінні з висоти 305 мм із нульовою початковою швидкістю на горизонтальний сталевий блок складає 250 мм. 

3. * Рік помітив, що трубу можна нахиляти до горизонтального положення. При цьому вихідний отвір труби все одно знаходиться у вищезазначених межах, а от кульки набувають початкової горизонтальної швидкості, яка лінійно зростає з кутом нахилу труби до максимального значення 5.0 мм/с. Чи дозволить це збільшити кількість місць, у які можна телепортуватись?

4. * Врахуйте, що максимальне сплющення кульки при співударянні рівне 0.7 мм.

5. ** Справжні кульки для пінг-понгу трохи різняться між собою. Так, припустимими параметрами вважаються діаметр 40.3+-0.06 мм, вага 2.70+-0.03 г й відскок від сталевого блоку в межах від 240 до 260 мм. Телепорт спрацює, якщо хоча б одна з 24 кульок у серії виб'є правильну мелодію. Як зміниться область на сфері, куди треба поцілити, якщо вимагати щоб з ймовірністю 50% у серії була хоча б одна підходяща кулька? Параметри кульок рівномірно розподілені у зазначених інтервалах.

При розв'язанні задачі можна вважати, що параметри кульок рівномірно розподілені у зазначених інтервалах. В кожний момент часу в кімнаті присутня лише одна кулька для пінг-понгу. 

Чат технічної підтримки

3. Парад планет

Переглядаючи зимовий одяг, професор Сузірський знайшов у кишені старої куртки пожовклий папірус із пророцтвом: якщо планети вишикуються в ряд, то прокинеться Ктулху й з'їсть доктора Біодольского. Знаючи незламну твердість доктора, Сузірський розпереживався за здоров'я рідкісного виду й вирішив встановити найближчі дати параду планет.

1. Оцінити скільки разів за наступні 100, 1000, 1000000 років, Венера Земля та Марс стануть в ряд, тобто кути Земля-Сонце-Марс та Земля-Сонце-Венера не перевищуватимуть 10°?

2. Оцініть сумарний час коли планети перебуватимуть у параді за вказані періоди.

3. Як зміниться відповідь, якщо до цих планет ще додати Меркурій?

4. У скільки разів зміниться відповідь, якщо 10° замінити на 1°?

5. Чи варто сподіватись, що за всю історію всесвіту всі 8 планет нашої системи стануть в такий ряд?

6. * Оцінити точність своїх розрахунків. Варто чітко відзначити як на відповідь може вплинути й чи можна знехтувати:

• тим, що планети та інші космічні тіла (зокрема супутники планет) впливають одна на одну;

• тим, що траєкторії планет знаходяться в різних площинах;

• тим, що траєкторія не кругова;

• тим, що це реальні об'єкти та, наприклад, розмір Сонця не є постійним.

Чат технічної підтримки

4. Бактерія звичайна кругова

Доктор Біодольський не полишає своїх біологічних експериментів. Цього разу він випадково вивів новітній тип бактерій із незвичайною поведінкою - E. coli sphericus. Потрапляючи у поживне середовище, такі бактерії одразу створюють пласку колонію у формі ідеального круга (заповненого). Радіус кола збільшується із постійною швидкістю v міліметрів на хвилину, зберігаючи форму. Але ці бактерії боязкі, тож коли дві колонії дотикаються одна до одної, вони перестають рости. Колонії що ростуть ми будемо називати активними, колонії що не ростуть --- пасивними. Доктор Біодольський збирається ставити експеримент із бактеріями: у велику квадратну чашку Петрі розмірами 1 на 1 метр, кожної секунди в випадкове не зайняте бактеріями місце він буде кидати по одному зародку колонії. Далі він буде слідкувати за ростом колоній протягом 15 хвилин періодично знімаючи виміри. Допоможіть доктору Біодольському спланувати експеримент.

1. Створіть візуалізацію росту колоній

2. Побудуйте графіки залежності загальної площі колоній та кількості активних колоній від часу, для різних значень параметрів v. Які особливості графіків ви бачите? Як їх можна узагальнити та пояснити?

3. Дослідіть час життя колоній. Порівняйте як довго жили колонії на початку експерименту і в період ближче до його кінця. Чи є різниця? Від чого вона залежить.

4. Розгляньте інший спосіб проведення експерименту: протягом 5 хвилин сіються колонії, а потім експеримент триває допоки всі колонії не стануть пасивними.

5. * Дослідіть вище описані графіки у випадку, коли колонії у формі кулі вирощуються у 3D. Порівняйте із двовимірним випадком.

6. * Голодні колонії: якщо колонія дотикається 5-ти інших вона зникає з пробірки повністю і моментально. Дослідіть чи стабілізується сумарна площа (об'єм колоній) через великий проміжок часу. Чи буде картина якісно інша для іншої кількості дотиків що призводять до зникнення? Тут також цікавим стає випадок колоній-відрізків що розмножуються на прямій.

7. * За умов пунктів 5 та 6, знайдіть як через великий проміжок часу колонії будуть розподілені за розмірами?

Чат технічної підтримки