Objectifs pédagogiques:
Ce cours a pour objectif de permettre aux étudiants de maîtriser les savoirs et savoir-faire liés aux espaces vectoriels et euclidiens, à la géométrie plane et dans l’espace ordinaire, aux nombres complexes, ainsi qu'aux polynômes et fractions rationnelles. Il vise également à développer leur capacité à réinvestir ces notions pour résoudre des problèmes complexes et à les appliquer dans l'apprentissage des modules de Physique et de Chimie.
Contenu:
Chap I. Espace vectoriel ℝn
Ensemble Rn, addition et multiplication par un réel dans ℝn et leurs propriétés. Définition de l'espace vectoriel réel ℝn, exemples. Définition d'une famille libre (et famille liée) dans ℝn, base de ℝn (sera définie comme famille libre à n éléments), coordonnées d'un vecteur dans une base.
Chap II. Espace euclidien ℝn
Produit scalaire usuel, norme et distance dans ℝn. Propriétés du produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, angle entre deux vecteurs, orthogonalité de deux vecteurs, théorème de Pythagore. Définition (famille orthogonale, orthonormée), relation entre orthogonalité et liberté d'une famille, base orthonormée (existence), exemples de construction d'une base orthonormée (Procédé de Gram-Schmidt). Expression du produit scalaire dans une base orthonormée de ℝn. Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée.
Chap III. Géométrie dans ℝ2
Modes de repérage : coordonnés cartésiennes, changement de base ; coordonnées polaires, orientation et coordonnées polaires.
Produit scalaire et produit mixte : définitions, interprétation géométrique, propriétés.
Droites, cercles et ellipses : équations paramétriques, équation(s) cartésienne(s), équations polaires, positions relatives de deux droites (intersection et orthogonalité), quelques propriétés du cercle, équations d’une ellipse.
Quelques applications affines dans le plan : translations, homothéties, projections, symétries, rotations.
Chap IV. Géométrie dans ℝ3
Modes de repérage : repère cartésien ; repère orthonormé (direct) ; coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques.
Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, interprétation géométrique, propriétés.
Droites, plans : équations paramétriques, équation(s) cartésienne(s), positions relatives et orthogonalité de deux droites (resp. deux plans, resp. une droite et un plan).
Sphères : définition, équation cartésienne, quelques propriétés.
Barycentres : Définition et propriétés.
Quelques applications affines dans l'espace : translations, homothéties, projections, symétries, rotations.
Chap V. Nombres complexes
Ensemble des complexes, écriture algébrique, partie réelle, partie imaginaire, conjugué d’un nombre complexe, fraction de deux nombres complexes, module d’un nombre complexe, propriétés du module, inégalité triangulaire, racine carré d’un nombre complexe, équation du second degré, nombres complexes de modules 1 (exponentielle complexe, propriétés), racines de l'unité, formules d’Euler et de Moivre, applications à la trigonométrie, forme trigonométrique, argument, propriétés. Représentation géométrique des complexes et applications : affixe, distance, angles orientés, similitudes.
Chap VI. Polynômes
Fonctions polynomiales, opérations, degré, divisibilité, division euclidienne, algorithme d’Euclide, PGCD.
Racines, racines multiples, racines et dérivée, polynômes irréductible, Théorème de D’Alembert-Gauss, Théorème de factorisation 1, Théorème de factorisation 2, Formule de Taylor pour les polynômes, Exemples.
Chap VII. Fractions rationnelles
Fractions rationnelles, Opérations sur les fractions, représentants irréductibles,
Degré, pôles et racines d’une fraction, partie entière, partie polaire.
Décomposition dans le cas complexe : forme de la décomposition ; méthodes de calcul.
Evaluation pédagogique:
Examen de fin de semestre : 60%
Contrôles continus : 40%
Bibliographie recommandée:
F. Liret, D. Martinais, Algèbre 1re Année, 2nd edition, Dunod, 2003.
Saliou Toure, Algèbre, Premier Cycle MP1, EDICEF, 1991.
Joseph Grifone, Algèbre linéaire, Toulouse Gépaduès, 2015.
Documents:
Le cours d'Algèbre 1 dispensé au titre de l'année universitaire 2022-2023
Travaux dirigés corrigés: