Objectifs pédagogiques:
Ce cours vise à introduire les concepts de dualité en dimension finie, incluant les bases duale et pré-duale, ainsi que les matrices de passage entre deux bases duales. Les étudiants comprendront le rôle des hyperplans et leur relation avec les formes linéaires, ainsi que l'expression d'un sous-espace vectoriel comme intersection d'hyperplans et ses conséquences. Le cours traite également des propriétés des formes bilinéaires symétriques, de l'orthogonalité, des réductions de Gauss, ainsi que des formes quadratiques réelles et de leurs caractéristiques. Les étudiants se familiariseront avec la théorie des espaces euclidiens, des espaces euclidiens orientés, et des espaces hermitiens, et développeront des compétences pour résoudre des problèmes complexes en lien avec ces théories.
Contenu:
Chap I. Dualité (2 séances)
Formes linéaires. Hyperplans. Bases duales en dimension finie. Bidual.
Chap II. Espaces Préhilbertiens réels (3,5 séances)
Formes bilinéaires symétriques. Formes quadratiques. Orthogonalité. Rang. Noyau. Vecteurs isotropes. Sous-espaces orthogonaux. Matrice d’une forme quadratique en dimension finie. Matrices congruentes. Méthode de Gauss. Théorème de Sylvester.
Chap III. Espaces Euclidiens (3,5 séances)
Produit scalaire. Orthogonalité. Bases orthogonales. Bases orthonormées. Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. Endomorphismes orthogonaux. Endomorphismes symétriques. Formes quadratiques dans un espace euclidien.
Chap IV. Espaces Hermitiens (3 séances)
Formes hermitienne. Produit scalaire hermitien. Orthogonalité. Adjoints. Endomorphisme auto-adjoint. Endomorphismes unitaires. Endomorphismes Normaux. Diagonalisation.
Prérequis:
Algèbre 1 (S1), Algèbre 2 (S1), Algèbre 3 (S2), Algèbre 4 (S3)
Evaluation pédagogique:
Examen de fin de semestre : 50%
Contrôles continus : 50%
Bibliographie recommandée:
Joseph Grifone, Algèbre linéaire, Toulouse Gépaduès, 2015.
Gérard Debeaumarché, Algèbre et Géométrie: 2ème année de prépas scientifiques MP-MP*, Ellipses, 2006.
Jean-Marie Monier, Algèbre 2 – Cours et 500 exercices corrigés, Dunod, 2009.
Jean-François Havet, Algèbre bilinéaire et géométrie euclidienne, Université d’Orléans, Département de Mathématiques, 2013.
Jean-Marie Arnaudiès, Henri Fraysse, Algèbre bilinéaire et géométrie, Bordas, Paris, 1990.
Coordinatrice: Pr. S. AOUISSI
Documents:
Notes de cours (version 2021-2022)
Travaux dirigés corrigés 2021-2022
Corrigés de la série 1
Corrigés de la série 2
Corrigés de la série 3
Corrigés de la série 4
Evaluation:
Examen de la session ordinaire 2021-2022
Examen de la session de rattrapage 2021-2022
Objectifs pédagogiques:
Ce cours vise à introduire les bases de l'algèbre linéaire tout en développant des compétences pratiques. Les étudiants apprendront à résoudre des systèmes d’équations par la méthode du pivot de Gauss, à manipuler les applications linéaires, les endomorphismes et les automorphismes, et à appliquer le théorème du rang. Ils maîtriseront également le calcul matriciel et la notion de déterminant pour inverser des matrices, calculer le rang et résoudre des systèmes, établissant ainsi un lien entre théorie et applications.
Contenu:
Chap I. Résolutions des systèmes linéaires par la méthode de Gauss (1 séance)
Systèmes linéaires. Opérations élémentaires (Systèmes linéaires équivalents). Méthode de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires.
Chap II. Espaces vectoriels (4 séances)
Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels. Famille génératrice. Famille libre. Bases. Somme et somme directe de sous espaces. Applications linéaires: Définitions et notations. Sous espace image, noyau. Opérations sur les applications linéaires.
Chap III. Espaces vectoriels de dimension finie (1,5 séances)
Définition. Sous espace d’un espace vectoriel de dimension finie. Rang d’un système de vecteurs. Rang d’une application linéaire. Théorème du rang.
Chap IV. Matrices (3,5 séances)
Définitions. Opérations sur les matrices. Algèbre des matrices carrées. Matrices inversibles. Matrice d’un système de vecteurs. Rang d’une matrice. Matrice d’une application linéaire. Changement de bases.
Chap IV. Déterminant et applications (2 séances)
Notions et propriétés des déterminants. Application du déterminant : calcul du rang, inversion d’une matrice et résolution des systèmes linéaires.
Prérequis:
Algèbre 1 (S1), Algèbre 2 (S1)
Evaluation pédagogique:
Examen de fin de semestre : 50%
Contrôles continus : 50%
Bibliographie recommandée:
Michel Queysanne, Algèbre. Premier cycle et préparation aux grandes écoles, Armand Colin.
F. Liret, D. Martinais, Algèbre 1re Année, 2nd edition, Dunod, 2003.
Saliou Toure, Algèbre, Premier Cycle MP1, EDICEF, 1991.
Gilbert Strang, Introduction à l’algèbre linéaire, Presses internationales Polytechnique, 2015 (translated by Steven Dufour).
Joseph Grifone, Algèbre linéaire, Toulouse Gépaduès, 2015.
Jean-Marie Monier. Cours et 700 exercices corrigés. Algèbre MPSI. Dunod, 3ème édition, 2010.
Coordinatrice: Pr. S. AOUISSI
Documents:
Notes de cours (version 2021-2022)
Travaux dirigés corrigés 2021-2022
TD1
Corrigés de la série 1
TD2
Corrigés de la série 2
TD3
Corrigés de la série 3
Evaluation:
Examen de la session ordinaire 2021-2022
Examen de la session de rattrapage 2021-2022