Uma introdução à Teoria de Chern-Weil
Resumo
Este minicurso propõe-se a oferecer uma introdução à teoria de Chern-Weil, com foco na construção clássica do homomorfismo de Chern-Weil para fibrados principais. Mais concretamente, ao considerarmos um fibrado principal p: P → M com grupo de estrutura G, cuja álgebra de Lie associada denotaremos por L. O homomorfismo de Chern-Weil é uma aplicação definida no espaço de polinômios Ad(G)-invariantes da álgebra de Lie L que toma valores na cohomologia de de Rham da variedade M,
cw:I(G) → H_{dR} (M).
Em poucas palavras, o homomorfismo de Chern-Weil toma um polinômio Ad-invariante e constrói uma forma diferencial que representa uma classe de cohomologia, na cohomologia de de Rham. Esta classe de cohomologia classifica as classes de isomorfismo de fibrados principais sobre M. Usualmente, estas classes são chamadas de classes características e desempenham um papel essencial na obtenção de invariantes topológicos associados a estruturas geométricas. Assim, os principais tópicos abordados neste minicurso serão fibrados principais, formas de conexão e de curvatura, a ação do grupo gauge de um fibrado principal sobre seu espaço de um formas de conexão, e finalmente, a construção o homomorfismo de Chern-Weil.
Cronograma
Aula 1: Definição de fibrados principal, exemplos, descrição em cociclos, campo de vetores fundamental.
Referências Complementares
Kobayashi, Shoshichi, e Nomizu, Katsumi. "Chapter 1, Section 5." In Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Reino Unido: Wiley.
Tu, Loring W. "Chapter 6, Section 27." In Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes, Alemanha: Springer International Publishing, 2017.
Conlon, Lawrence. "Chapter 11." In Differentiable Manifolds, Alemanha: Birkhäuser Boston, 2008.
Abouqateb, Abdelhak, e Lehmann, Daniel. "Chapter 2, Section 4." In Classes caractéristiques en géométrie différentielle, França: Ellipses, 2010.
Aula 2: Forma de conexão, levantamento horizontal e curvatura.
Referências Complementares
Kobayashi, Shoshichi, e Nomizu, Katsumi. "Chapter 2, Section 1,2." In Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Reino Unido: Wiley.
Tu, Loring W. "Chapter 6, Section 28." In Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes, Alemanha: Springer International Publishing, 2017.
Abouqateb, Abdelhak, e Lehmann, Daniel. "Chapter 3, Section 2." In Classes caractéristiques en géométrie différentielle, França: Ellipses, 2010.
Mackenzie, Kirill C. H. "Chapter 3, Sections 1 and 2." In General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Reino Unido: Cambridge University Press, 2005.
Aula 3: Ação afim do grupo gauge sobre o espaço de formas de conexão.
Referências Complementares
Kobayashi, Shoshichi, e Nomizu, Katsumi. "Chapter 2, Section 5." In Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Reino Unido: Wiley.
Abouqateb, Abdelhak, e Lehmann, Daniel. "Chapter 2, Section 7; Chapter 3, Section 2.5, ." In Classes caractéristiques en géométrie différentielle, França: Ellipses, 2010.
Goldman, William M., e Millson, John J. "Chapter 5." In The deformation theory of representations of fundamental groups of compact Kähler manifolds, Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 67 (1988), pp. 43-96. http://www.numdam.org/item/PMIHES_1988__67__43_0/
Tu, Loring W. "Chapter 4, Section 21." In Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes, Alemanha: Springer International Publishing, 2017.
Dupont, Johan L. "Chapter 5." Fibre Bundles and Chern-Weil Theory. Dinamarca: University of Aarhus, Department of Mathematics, 2003.
Aula 4: Construção clássica do homomorfismo de Chern-Weil.
Referências Complementares
Kobayashi, Shoshichi, e Nomizu, Katsumi. "Chapter 12, Section 1." In Foundations of Differential Geometry, Volume 2, Reino Unido: Wiley.
Dupont, Johan L. "Chapter 9." Fibre Bundles and Chern-Weil Theory. Dinamarca: University of Aarhus, Department of Mathematics, 2003.
Neeb, Karl-Hermann. "Chapter 6, Section 2." Differential Topology of Fiber Bundles. FAU Erlangen-Nuernberg 80 (2010).
Greub, Werner H.. Multilinear Algebra. Alemanha: Springer Berlin Heidelberg, 2012.