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Informações Gerais - Ficha 2
Disciplina: CMM203 - Geometria Diferencial.
Semestre: 2º Semestre de 2025.
Programa: Matemática.
Horário: Segunda-feira e Quinta-feira, 13h30-15h30.
Sala: PC-05.
Horário de atenção: Terças das 14h as 15h.
Data da prova P3: 04 de dezembro
Seminários: 8-12 de dezembro
Segundas chamada: 8-12 de dezembro
Exame: 15 de dezembro
Ementa
Ementa
Curvas parametrizadas, triedro de Frenet, movimentos rígidos, teorema fundamental de curvas planas e espaciais, rudimentos de diferenciação em R^n, superfícies regulares, funções diferenciáveis sobre superfícies, plano tangente, campos de vetores, distorção de área e orientação, superfícies orientadas, área superficial, isometrias, primeira forma fundamental, rudimentos de transformações auto-adjuntas em R^3, mapa de Gauss, direções principais, curvaturas principais, curvatura média, curvatura gaussiana, segunda forma fundamental, teorema Egregium.
Conteúdo
Conteúdo
1. Curvas: Curvas, comprimento de arco, curvas regulares e parametrizadas por comprimento de arco, curvatura, torção, triedro de Frenet-Serret, Isometrias do espaço Euclidiano/movimentos rígidos, teorema fundamental de curvas no espaço, Rudimentos de diferenciação em R^n.
Indicação de Leitura:
Montiel, S., & Ros, A. (2009). Curves and Surfaces (Sec. 1.2 e 1.3). Espanha: American Mathematical Society.
O'Neill, B. (2014). Elementary Differential Geometry (Sec. 1.4, 2.2-2.4, 3.1). Estados Unidos: Elsevier Science.
Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (Cap. 1). Springer International Publishing.
Aprofundamento do tema:
Tapp, Kristopher. Symmetry: A Mathematical Exploration (Cap.7 Symmetries of Solid Objects). Suíça: Springer International Publishing, 2021.
Hilgert, Joachim., Neeb, Karl-Hermann. Structure and Geometry of Lie Groups (Sec. 2.2 Groups and Geometry). Alemanha: Springer New York, 2012.
Notas de Aula: 20/11
2. Superfícies: superfícies regulares, funções diferenciáveis sobre superfícies, plano tangente, campos de vetores, distorção de área e orientação, superfícies orientadas, área superficial, isometrias, primeira forma fundamental. Rudimentos de transformações auto-adjuntas em R^3.
Indicação de Leitura:
Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (Sec. 2.1 e App. A, Sec. 2.2 ). Springer International Publishing.
Montiel, S., & Ros, A. (2009). Curves and Surfaces (Sec. 2.2). Espanha: American Mathematical Society.
Aprofundamento do tema:
Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (Sec. 2.10: An Alternative Characterization of Regular Surfaces). Springer International Publishing.
do Carmo, Manfredo P.. Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition (Sec. 5-10: Abstract Surfaces; Further Generalizations). Estados Unidos: Dover Publications, 2016.
3. Curvatura e segunda forma fundamental: mapa de Gauss, direções principais, curvaturas principais, curvatura média, curvatura gaussiana, segunda forma fundamental, Teorema Egregium.
Bibliografia Básica:
Indicação de Leitura:
Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (Sec. 4.1-4.5 ). Springer International Publishing.
Montiel, S., & Ros, A. (2009). Curves and Surfaces (Chap. 3). Espanha: American Mathematical Society.
O'Neill, B. (2014). Elementary Differential Geometry (Sec. 5.1-5.4). Estados Unidos: Elsevier Science.
Lista 3: curvatura e segunda forma fundamental
Bibliografia Complementar
Bibliografia Complementar
Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Springer International Publishing.
O'Neill, B. (2014). Elementary Differential Geometry. Estados Unidos: Elsevier Science.
Oprea, J. (2007). Differential Geometry and Its Applications. Estados Unidos: Mathematical Association of America.
do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition. Estados Unidos: Dover Publications
Montiel, S., Ros, A. (2009). Curves and Surfaces. Espanha: American Mathematical Society.
Kühnel, Wolfgang. Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds. Estados Unidos: American Mathematical Society, 2015.
Leituras dominicais
Leituras dominicais
Jean Frenet (1816 - 1900) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)
Joseph Serret (1819 - 1885) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)
As aventuras de Anselmo Curioso
Quantum Magazine: Strangely Curved Shapes Break 50-Year-Old Geometry Conjecture
Formas de avaliação
Formas de avaliação
Prova 1: 20% Curvas e Superfícies.
Prova 1: 20% Curvas e Superfícies.
Prova 2: 20% Primeira e Segunda forma fundamental
Prova 3: 20% Geodésicas e Derivada Covariante.
Trabalho escrito: 30%
Temário do trabalho escrito:
Superfícies completas (Teorema de Hopf-Rinow) ------Daniel
Superfícies Mínimas ------------------------Laci e Matheus
Teorema de Fairy-Milnor (incluindo teorema de Frenchel)
Teorema de Brouwer-Samelson
Teorema de Hilbert-Liebman
Lema de Morse -------- Lucas Xavier e Camilly
Mapa exponencial e Campos de Jacobi
Curvas e Superficies no espaço de Minkowski---- João
Teorema de Hopf (Umlaufsatz) e Teorema de separação de Jordan
Sustentação oral: 10%
Recursos Educacionais Abertos REAs
Recursos Educacionais Abertos REAs
Links interessantes:
Links interessantes:
Sinal da curvatura Gaussiana
Sinal da curvatura Gaussiana
O seguinte carrossel de imagens contem uma pequena coleção de plots de superfícies regulares e parametrizadas geradas usando computadora. A principal intenção é destacar o sinal da curvatura gaussiana (K) das superfícies apresentadas. Para isso, cada superfície foi pintada de preto e branco seguindo a regra: preto para pontos onde a curvatura gaussiana é negativa e branco para pontos com curvatura positiva (preto para K < 0, branco para K > 0).
Intuição Geométrica: "Um ponto tem curvatura positiva (K > 0) se, ao tomar o plano tangente nesse ponto, a superfície estiver localmente contida em um dos dois semi-espaços determinados pelo plano tangente."
Fluxo irracional no toro
Fluxo irracional no toro
Orientação
Orientação
Faixa de Möbius
Faixa de Möbius
O que não é uma superfície regular?
O que não é uma superfície regular?
Uma superfície abstrata, ou mais precisamente, uma variedade suave de dimensão 2, é um espaço topológico que satisfaz as seguintes propriedades: é Hausdorff, segundo enumerável, localmente euclidiano e possui um atlas suave.
Uma superfície regular é uma superfície abstrata que está mergulhada em R^3. Por "mergulhada", entende-se que a topologia da superfície é induzida pela topologia de R^3, ou seja seus abertos básicos são a interseção de uma bola aberta 3-dimensional com a superfície.
Um critério simples para verificar se um espaço é ou não uma superfície regular é observar se ela apresenta pontas, arestas, dobradura ou auto interseções. Alguns exemplos simples de espaços que não são superfícies regulares incluem:
O cone, incluindo seu vértice na origem;
O semiplano superior, incluindo o eixo x;
Exemplos interessantes são o toro pinçado e o crossed cap.
Por que o critério funciona?
No caso do toro pinçado, observe que sempre que considerarmos a interseção de toro com uma bola 3-dimensional centrada no ponto singular, sempre obtemos um espaço homeomorfo a um cone. O que implica que nosso espaço não é localmente euclidiano, não se parece a um aberto de R^2.
Animação
O código ilustra a apresenta o gráfico de um toro pinçado junto com uma bola centrado no seu ponto singular. Para executar o código basta com clicar no botão de rodar o código, manipule o gráfico e perceba que efetivamente, a interseção de esses espaços é homeomorfo a um cone.
O código permite visualizar o cenário de interseção do cross-cap junto com um bola centra em seus pontos de auto-interseção, de novo, observe que esse interseção não é homeomorfo a um aberto de R^2.
O seguinte código permite visualizar o processo de deformação de um toro em um toro com n-pinçamentos, o parâmetro n pode ser ajustado de 1 até 10. Observe que no médio do processo de deformação são geradas varias "espaços singulares".
Exemplo: superfície implícita
Exemplo: superfície implícita
Corte transversal
Corte transversal
Animação: Para interagir com a superfície precisa rodar o código e variar o deslizador.
Estimativas da curvatura de uma curva esférica
Estimativas da curvatura de uma curva esférica
Hipocicloide de 5 cuspides junto com seus circulo osculador
Hipocicloide de 5 cuspides junto com seus circulo osculador
Grafico da curvatura do hipocicloide de 5 cuspides
Grafico da curvatura do hipocicloide de 5 cuspides
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