Περιγραφή μαθήματος: Το μάθημα αυτό έχει σκοπό να εισάγει τους φοιτητές στις θεμελιώδης έννοιες της γεωμετρικής τοπολογίας. Κάποια από τα κύρια προβλήματα στα οποία θα δώσουμε απάντηση είναι τα εξής:
Πρόβλημα A: Σύμφωνα με κλασικό θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού, μια συνεχής πραγματική συνάρτηση f, ορισμένη σε κλειστο διάστημα [α,β], έχει ρίζα αν ισχύει η συνθήκη f(α)f(β)<0. Ποια είναι η επέκταση αυτού του θεωρήματος όταν η φ είναι συνεχής συνάρτηση της μορφής F=(f,g) όπου f και g είναι δύο πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες σε έναν κλειστό δίσκο του επιπέδου;
Πρόβλημα B: Ποιο είναι το πλήθος των ρίζών ενός μιγαδικού πολυωνύμου;
Πρόβλημα Γ: Στη μοναδιαία 2-διάσταση σφαίρα υπάρχουν δύο λεία κάθετα μοναδιαία διανυσματικά πεδία. Πόσα λεία εφαπτόμενα μοναδιαία διανυσματικά πεδία υπάρχουν στη 2-διάστατη σφαίρα; Τι μπορούμε να πούμε για το πλήθος των λείων διανυσματικών πεδίων στον τόρο;
Δεν απαιτείται καμία εξειδικευμένη γνώση για να συμμετάσχει κάποιος στο μάθημα. Στις πρώτες διαλέξεις ο διδάσκων θα ορίσει τις βασικές έννοιες και θα αναθέτει τις εργασίες στους φοιτητές. Η επιλογή των φοιτητών θα γίνει βάση τον μέσο όρο της βαθμολογίας τους στα μαθήματα της Γραμμικής Άλγεβρας και του Απειροστικού Λογισμού. Όπως αναγράφεται και στον κανονισμό του μαθήματος, δεν θα υπάρξει τελική εξέταση και οι φοιτητές θα αξιολογούνται αποκλειστικά από τις παρουσιάσεις και τις εργασίες.
Ύλη: Η ύλη και το περιεχόμενο του μαθήματος είναι ως ακολούθως:
Αριθμός περιστροφής καμπύλης.
Ομοτοπία και ομοτοπικές καμπύλες.
Το θεώρημα του Bolzano για διανυσματικές απεικονίσεις.
Το θεμελιώδες θέωρημα της Άλγεβρας.
Το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer.
Το θεώρημα Borsuk-Ulam.
Διανυσματικά πεδία στο επίπεδο και στη σφαίρα.
Κυρτά σώματα και το θεώρημα του Kuratowski.
Πολύεδρα και η χαρακτηριστική Euler-Poicare.
Βιβλιογραφία: Σε αυτό το μάθημα θα παρουσιάσουμε υλικό από τα παρακάτω βιβλία:
W.G. Chin and N.E. Steenrod, First concepts of topology-The geometry of mappings of segments, curves, circles and discs. The Mathematical Association of America, 1967.
H. Hopf, Differential geometry in the large, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1000, Springer-Verlag 1989.