Περίληψη: Στο μάθημα αυτό μελετάμε τις γεωμετρικές ιδιότητες διαφόρων μετασχηματισμών του Ευκλειδείου χώρου όπως, ισομετρίες, αντιστροφές, ομοιοθεσίες, ολόμορφες και αντι-ολόμορφες απεικονίσεις, μετασχηματισμούς Moebius καθώς και γενικές σύμμορφες απεικονίσεις. Μεταξύ άλλων, στο μάθημα θα αποδείξουμε και τα εξής αποτελέσματα:
Θεώρημα Leonardo: Έστω G μια πεπερασμένη υποομάδα της ομάδας ισομετριών του επιπέδου. Τότε, είτε η G είναι ισόμορφη με μια κυκλική ομάδα τάξεως d ή με μια διεδρική ομάδα τάξεως 2d.
Θεώρημα Καραθεοδωρή: Έστω f μια 1-1 και επί απεικόνιση του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου η οποία μετασχηματίζει γενικευμένους κύκλους σε γενικευμένους κύκλους. Τότε, είτε η f συμπίπτει με έναν μετασχηματισμό Moebius ή το συζυγές της f συμπίπτει με έναν μετασχηματισμό Moebius.
Θεώρημα Liouville: Έστω f σύμμορφη απεικόνιση ενός ευκλειδείου χώρου με διάσταση μεγαλύτερη η ίση του 3. Τότε η f γράφεται ως σύνθεση ομοιοθεσίας και αντιστροφής.
Ύλη: Η ύλη και το περιεχόμενο του μαθήματος είναι ως ακολούθως:
Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στον Ευκλείδειο χώρο.
Ταξινόμηση ορθογώνιων μετασχηματισμών.
Ταξινόμηση των ισομετριών του Rn.
Το θεώρημα του Leonardo.
Σύμμορφες απεικονίσεις στο επίπεδο.
Μετασχηματισμοί Moebius.
Το θεώρημα του Καραθεοδωρή.
Σύμμορφες απεικονίσεις στο Rn.
Το θεώρημα του Liouville.
Βιβλιογραφία: Στο μάθημα θα παρουσιάσουμε υλικό από τις παρακάτω πηγές:
D. Blair, Inversion theory and conformal mapping, Student Mathematical Library, Vol. 9, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.
C. Caratheodory, The most general transformations of plane regions which transform circles into circles, Bull. Amer. Math. Soc. 43 (1937), 573-579.